IV.1 Funktionen von zwei Variablen
Funktionen $f(x,y)$, Definitionsbereich, Wertebereich, Graph als Fläche im Raum, Niveaulinien als Isothermen und Isobaren.
Analysis II
Funktionen von mehreren Variablen: Differentialrechnung (Kap. IV)
IV.2 Partielle Ableitungen
Definition der partiellen Ableitung, mehrfache Ableitungen, Gradient, inverse Aufgaben.
IV.3 Satz von Schwarz und Integrabilitätsbedingung
Vertauschbarkeit gemischter Ableitungen, Integrabilitätsbedingung $\varphi_y = \psi_x$, Rekonstruktion einer Funktion aus partiellen Ableitungen.
IV.4 Linearisierung und Fehlerrechnung
Lineare Ersatzfunktion, Tangentialebene, totales Differential, absolute und relative Fehlerrechnung.
IV.5 Extrema
Globale und lokale Extrema in mehreren Variablen, Existenzsatz, kritische Punkte, Randanalyse, Sattelpunkte.
IV.6 Verallgemeinerte Kettenregel
Ableitung längs einer Kurve, Tangenten an Niveaulinien und implizit definierte Kurven, Gas-Zustandsgleichungen.
IV.7 Funktionen in drei Variablen
Niveauflächen, Gradient, Nabla- und Laplace-Operator, Richtungsableitung, Tangentialebene an implizite Flächen.
IV.8 Koordinatentransformation
Polarkoordinaten, verallgemeinerte Kettenregel in Matrixform, Laplace-Operator in Polarkoordinaten, Wellengleichung.
Funktionen von mehreren Variablen: Integralrechnung (Kap. V)
V.1 Das Gebietsintegral
2D-Integrale über Gebiete in der Ebene, iterierte Integration, Wahl der Integrationsreihenfolge, Anwendungen Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmoment.
V.2 Koordinatentransformationen bei Gebietsintegralen
Polarkoordinaten als Spezialfall, Flächenelement $dF = \rho\,d\rho\,d\varphi$, Anwendungen zylindrischer Kugelausschnitt und Gauss-Integral.
V.3 Das Volumenintegral
3D-Integrale in kartesischen Koordinaten, dreifache iterierte Integration, Beispiele Trägheitsmoment von Würfel und Einheitstetraeder.
V.4 Transformation für Gebiets- und Volumenintegrale
Jacobi-Matrix, $dF = |\det J|\,du\,dv$, Zylinder- und Kugelkoordinaten, Anwendungen Vollkugel-Volumen, Schwerpunkte und Gravitationskraft.
V.5 Integrale mit Parameter
Differentiation unter dem Integral, Parameter in den Integralgrenzen, Hauptsatz der Infinitesimalrechnung, Methode der kleinsten Quadrate.
Vektoranalysis (Kap. VI)
VI.1 Skalarfelder und Vektorfelder
Skalar- und Vektorfelder, Feldlinien, stationär und instationär, Beispiele Coulomb, Magnetfeld eines Leiters, Gravitation und Hagen-Poiseuille-Strömung.
VI.2 Differentialoperatoren
Gradient, Divergenz und Rotation als Differentialoperatoren, Zusammensetzungen wie Laplace, $\operatorname{div}\operatorname{rot}$ und $\operatorname{rot}\operatorname{grad}$.
VI.3 Flächen im Raum
Parameterdarstellung einer Fläche, u-Linie, v-Linie, Tangentialebene, Normaleneinheitsvektor, Schraubenlinie, Oberflächeninhalt.
VI.4 Der Fluss
Fluss eines Vektorfelds durch eine Fläche, Flussintegral bei parametrisierten Flächen, Wahl des Normaleneinheitsvektors.
VI.5 Der Divergenzsatz
Divergenzsatz von Gauss, Koordinatenfreiheit der Divergenz, Quellen und Senken, quellen- und wirbelfreie Felder.
VI.6 Anwendungen des Divergenzsatzes
Kontinuitätsgleichung der Hydrodynamik, Wärmeleitungsgleichung, Grundgleichung der Elektrostatik, hydrostatischer Auftrieb.
VI.7 Die Arbeit
Weg, Arbeit entlang eines Wegs, Addition und Umkehrung von Wegen.
VI.8 Der Satz von Stokes
Satz von Stokes, Koordinatenfreiheit der Rotation, Rotation als Wirbelstärke.
VI.9 Anwendungen des Satzes von Stokes
Maxwell-Gleichung $\operatorname{rot}\mathbf{E} + \mu_0 \mathbf{H}_t = 0$ als Anwendung des Satzes von Stokes.
VI.10 Potentialfelder
Konservative Vektorfelder, Potential und Gradientenfeld, Zusammenhang mit der Rotation, Integrabilitätsbedingung in einfach zusammenhängenden Gebieten.
Differentialgleichungen (Kap. VII)
VII.1 Einleitung
Gewöhnliche Differentialgleichung, Ordnung einer DGL, allgemeine Lösung, Lösungsschar und Scharparameter.
VII.2 Einige Beispiele
Exponentielles Wachstum, Abklingvorgänge, Anfangsbedingung und Anfangswertproblem, weitere Standardbeispiele.
VII.3 Die allgemeine Lösung einer DGL 1. Ordnung
Richtungsfeld, Anfangswertproblem und Existenzsatz, DGL aus einem Vektorfeld, Zusammenhang mit Feldlinien, reguläre Kurvenschar.
VII.4 Separierbare Differentialgleichungen
Separierbare DGL, Trennung der Variablen, logistisches Populationsmodell, Substitution als Lösungsmethode.
VII.5 Lineare Differentialgleichungen
Lineare DGL 1. Ordnung, homogene und partikuläre Lösung, geschickter Ansatz, Variation der Konstanten, Anwendung auf den RC-Schwingkreis.
VII.6 Niveaulinien, exakte DGL und Orthogonaltrajektorien
DGL einer Kurvenschar, exakte DGL und Integrabilitätsbedingung, Orthogonaltrajektorien, Zusammenhang mit Feldlinien des Gradienten.
VII.7 Enveloppen, singuläre Lösungen und die Clairaut'sche DGL
Enveloppe einer Kurvenschar, singuläre Lösungen, Clairaut'sche Differentialgleichung.
VII.8 Differentialgleichungen höherer Ordnung
DGL höherer Ordnung, n-parametrige Kurvenschar, Anfangswertproblem und Existenzsatz, harmonische Schwingung als Modellfall, DGL zu einer Kurvenschar.
VII.9 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Homogene und inhomogene lineare DGL, Struktur der allgemeinen homogenen Lösung, geschickter Ansatz für das Störglied, Variation der Konstanten.
VII.10 Zwei Klassen von leicht lösbaren linearen DGL
Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten, charakteristisches Polynom und Nullstellen, homogene Euler-DGL mit Index-Polynom.
VII.11 Schwingungsprobleme
Gedämpfte und angeregte Schwingung, RCL-Schaltkreis, Schwingfall, aperiodischer Grenzfall und Kriechfall, stationäre Lösung, Resonanzfrequenz, Linearisierung.
VII.12 Systeme von Differentialgleichungen
System von DGL, Überführen von DGL n-ter Ordnung in ein System 1. Ordnung, autonome Systeme, Trajektorie und Phasenporträt.
VII.13 Lineare autonome Systeme mit konstanten Koeffizienten
Lösen via Diagonalisierung über Eigenwerte, Lösen via Überführung in DGL n-ter Ordnung, federgekoppelte Pendel und Normalmoden.
VII.14 Stabilitätsverhalten
Gleichgewichtspunkte, Stabilitätsbegriffe nach Ljapunov, Klassifikation in 2D (Knoten-, Sattel-, Strudelpunkt, Zentrum), Linearisierung nichtlinearer Systeme.
Mechanik
Mechanik II Vorlesung
1. Beanspruchungen → Spannungen
Beanspruchungen, Schnittprinzip, Spannungsvektor und Spannungstensor, Normal- und Schubspannung, Einheiten und Vorzeichenkonvention.
2. Spannungstensor
Cauchy-Spannungstensor, Koordinatentransformation in der Ebene, Mohrscher Kreis, Hauptspannungen und Hauptrichtungen 2D.
3. Spannungen 3D, Hauptachsen
Spannungstensor in 3D, Eigenwertproblem für Hauptspannungen, Invarianten, maximale Schubspannung im Raum.
4. Verzerrungen
Verzerrungsfeld und Verzerrungstensor, lineare Normaldehnung, Schubwinkel, Hauptdehnungen und Volumendehnung.
5. Stoffgleichungen, Versagenskriterien
Hookesches Gesetz, Nachgiebigkeits- und Steifigkeitsmatrix, Querkontraktion, thermische Dehnung, klassische Versagenskriterien.
6. Spezielle Biegung
Biegung um eine Hauptachse, Normalspannungsverteilung, Biegelinie, DGL der Mittellinie, Querkraft- und Biegemomentenverlauf.
7. Biegung mit Normalkraft
Kombination aus Biegung und Normalkraft, Überlagerung der Spannungsverteilungen, Verschiebung der neutralen Faser.
8. Schiefe Biegung, Querkraft
Biegung um beliebige Achsen, Schubspannungen infolge Querkraft im Vollquerschnitt und in dünnwandigen offenen Profilen, Schubmittelpunkt.
Mechanik II · Zwischenprüfung
Alte Zwischenprüfungen als simulierte Vollprüfung mit Timer (60 min, alle Aufgaben gleichzeitig, Submit am Ende) oder als Kategorien-Übung mit Filter pro Themenbereich. Aktuell verfügbar: FS21 bis FS25.
9. Torsion (Vollquerschnitt)
Torsionsmoment, Verdrillung, Torsionssteifigkeit und Widerstandsmoment, Profil-Tabellen für Kreis- und Vollquerschnitte.
Bald
10. Torsion (dünnwandige Querschnitte)
Bredtsche Formeln für geschlossene Profile, Schubfluss, dünnwandige offene Profile, Wölbung.
Bald
11. Arbeitsgleichung (statisch bestimmt)
Arbeitssatz, innere und äussere Arbeit, virtuelle Kräfte, Berechnung von Verschiebungen mit der Energiemethode.
Bald
12. Arbeitsgleichung (statisch unbestimmt)
Superpositionsprinzip, Auflösung statisch unbestimmter Systeme über die Arbeitsgleichung, Lagerkraft als Unbekannte.
Bald
Maschinenkonstruktion
I. Zahnräder und Getriebe
Wirkprinzip, Evolventenverzahnung, Zahnradkennwerte, Profilverschiebung, Kräfte und Wirkungsgrad, Eingriffsverhalten und Zahnradpaarung, Vorentwurf, Umlaufgetriebe.
II. Welle-Nabe-Verbindung, Achsen und Wellen
Form-, Reib- und Stoffschluss, formschlüssige Verbindungen (Passfeder, Kerbverzahnung), reibschlüssige Verbindungen (Pressverband), Achsen und Wellen unter Belastung, Dimensionierung.
III. Toleranzen und Passungen
Genauigkeit als Richtigkeit und Präzision, ISO-System der Toleranzen, Passungsarten (Spiel, Übergang, Press), Gestaltabweichungen, Oberflächenrauheit und Temperatureinfluss.
IV. Federn
Sechs Federarten (Schrauben-, Teller-, Schenkel-, Drehstab-, Blattfeder, Schnappverbindung), Federkennlinie und Federrate, Parallel- und Reihenschaltung, Federarbeit, progressive und degressive Kennlinien.
V. Lager
Wälzlager-Wirkprinzip und Bauformen, Lagerungs-Konzepte (Fest-Los, schwimmend, angestellt X/O), Passungen, Tragfähigkeit und Lebensdauer, Schmierung und Dichtungen.
VI. Kupplungen und Schaltgetriebe
Nicht-schaltbare und schaltbare Kupplungen (drehsteif, drehelastisch, fremd- und selbstbetätigt), Fliehkraftkupplung mit Grenz-, Einschalt- und Betriebsdrehzahl, 2-Gang-Schaltgetriebe mit Sperrsynchronisation.
VII. Schrauben und Gewindesteigung
Aufbau und Wirkprinzip einer Schraube, Gewindesteigung als schiefe Ebene, Schraubenverbindung, Festigkeitsklassen, Anziehmoment und Schraubensicherung.
VIII. Mechanische Mechanismen
Goldene Regel der Mechanik, Kraftverstärkung über Hebel, Kniehebel, Keil und Schraube, Flaschenzüge sowie die Wandlung von Rotation in Translation mit Schubkurbel, Kurbelschleife und Kurvengetrieben.
IX. Elektromotoren
Permanentmagneterregte Gleichstrommotoren mit Motorkonstanten, Drehzahlkennlinie und Wirkungsgrad, Servos als geregelte Antriebe sowie Hybridschrittmotoren mit Voll- und Halbschritt.
Maschinenkonstruktion · Musterprüfung
Vier Musterprüfungen Maschinenkonstruktion mit Musterlösungen, gegliedert nach den Kapiteln I bis VIII der Vorlesung (Zahnräder, Welle-Nabe, Toleranzen, Federn, Lager, Kupplungen, Schrauben, Mechanismen).
Bald
Physik
1. Strom und Ladung
Strom und Ladung, Stromkreise, Ohm'sches Gesetz, Kirchhoff'sche Regeln, Leistung, spezifischer Widerstand, Aufgaben mit Musterlösungen.
2. Elektrisches Feld
E-Felder, Satz von Gauss, Potential, Coulomb, Kondensatoren, Ladevorgang, Dielektrikum, Kraft und Energie, Fluss.
3. Magnetisches Feld
Magnetismus, Induktion, Wechselstrom: Feldlinien, Lorentzkraft, Maxwell-Gleichungen, Biot-Savart.
4. Elektromagnetische Wellen
Maxwell-Gleichungen vervollständigt, Verschiebungsstrom, Wellengleichung, Lichtgeschwindigkeit, ebene Welle, Energie und Poynting-Vektor, Strahlungsdruck, EM-Spektrum.
5. Eigenschaften des Lichts
Lichtgeschwindigkeit, Brechzahl, Reflexion und Brechung, Snellius, Totalreflexion, Dispersion, Polarisation und Malus, Brewster, Lichtspektren, Photonenenergie.
6. Geometrische Optik
Reelle und virtuelle Bilder, sphärische Spiegel, Brechung an Kugelflächen, dünne Linsen und Linsenschleifer, Linsensysteme, Lupe und Fernrohr, Abbildungsfehler, das Auge.
7. Interferenz und Beugung
Kohärenz und Interferenzbedingung, dünne Schichten, Doppelspalt, Beugungsgitter, Auflösungsvermögen, Einzelspalt, Rayleigh-Kriterium, Bragg-Reflexion.
Lineare Algebra
1. Grundlagen
Lineare Gleichungssysteme, Lösungsfälle, Rang, Determinante, Invertierbarkeit, homogene Systeme.