V.4 Transformation für Gebiets- und Volumenintegrale

V.2 hat das Polar-Flächenelement geometrisch hergeleitet, über Bogenlängen-Tortenstückchen. Aber was, wenn die Koordinaten nicht Polar sind? Eine Ellipse mit unterschiedlichen Halbachsen, ein schiefes Parallelogramm, ein Roboterarm mit zwei Gelenken, eine Kugelschicht in drei Dimensionen. Für jede dieser Situationen das geometrische Argument neu zu erfinden, ist mühsam und fehleranfällig. Wir brauchen eine allgemeine Methode.

Setup. Eine Koordinatentransformation in der Ebene ist eine Abbildung, die einem Paar neuer Variablen $(u, v)$ einen Punkt $(x, y)$ in der alten Ebene zuordnet. Mit der Vektor-Notation lautet das kompakt:

Tilde-Konvention. Wie schon in IV.8 §2.1 und V.2 §1 markieren wir mit einem Tilde, dass eine Grösse in den neuen Variablen ausgewertet ist. Eine Funktion $f(x, y)$ wird zu $\tilde{f}(u, v) = f(x(u, v),\, y(u, v))$, das Integrationsgebiet $B$ in den alten Variablen wird zu $\tilde{B}$ in den neuen, mit $B = \vec{r}(\tilde{B})$. Wert identisch, Adresse anders.

Was kommt als nächstes. In §2 zeigen wir, dass das transformierte Flächenelement $\mathrm{d}F$ einen Korrekturfaktor braucht, der wie in V.2 §2 für Polar geometrisch motiviert ist, jetzt aber für jede Trafo gilt. Dieser Faktor ist der Betrag der Determinante einer $2 \times 2$-Matrix, der Jacobi-Matrix $J$. §3 zeigt, dass Polar als Spezialfall direkt herausfällt. §4 verallgemeinert auf drei Dimensionen, §5 und §6 spezialisieren auf Zylinder- und Kugelkoordinaten, §7 enthält die Anwendungen.

Die infinitesimale Trafo-Box ist kein Quader mehr, sondern ein Parallelogramm. Seine Fläche kennen wir aus der Linearen Algebra: Betrag der Determinante der zwei Kantenvektoren. Genau das geben wir dem Flächenelement.

Bild im Kopf. Starte bei einem Punkt $A$ mit Adresse $(u, v)$. Gehe um $\mathrm{d}u$ in $u$-Richtung weiter zu $B$ mit Adresse $(u + \mathrm{d}u,\, v)$. Gehe um $\mathrm{d}v$ in $v$-Richtung zu $C$ mit Adresse $(u,\, v + \mathrm{d}v)$. In den alten $(x, y)$-Koordinaten sind das die Punkte $\vec{r}(u, v)$, $\vec{r}(u + \mathrm{d}u,\, v)$ und $\vec{r}(u,\, v + \mathrm{d}v)$. Die kleinen Kantenvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ sind die ersten Taylor-Glieder der Trafo:

Fläche des Parallelogramms. Aus LinAlg: Betrag des Kreuzprodukts der Kantenvektoren. Auch wenn wir in der Ebene rechnen, fassen wir die Kanten als Vektoren im Raum mit dritter Komponente $0$ auf, dann hat das Kreuzprodukt nur eine $z$-Komponente, und ihr Betrag ist genau die gewünschte Parallelogramm-Fläche:

Pack die vier Ableitungen $x_u, x_v, y_u, y_v$ als Jacobi-Matrix $J$ zusammen, dann ist $x_u y_v - x_v y_u = \det J$. Das ist die zentrale Aussage des Kapitels:

Erster Test: kann unser Satz das Polar-Element aus V.2 reproduzieren? Ja, und in einer Zeile.

Die Polar-Trafo $\vec{r}(\rho, \varphi) = (\rho\cos(\varphi),\, \rho\sin(\varphi))$ hat die vier Ableitungen $x_\rho = \cos(\varphi)$, $x_\varphi = -\rho\sin(\varphi)$, $y_\rho = \sin(\varphi)$, $y_\varphi = \rho\cos(\varphi)$. Aus IV.8 §2.1 kennen wir das schon. Daraus folgt die Jacobi-Matrix und ihre Determinante:

Erstes Anwendungs-Beispiel: polares Flächenträgheitsmoment der Vollellipse. Mitschrift. Bestimme $J_0$ durch den Schwerpunkt der Vollellipse $\tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} \leq 1$ mit Halbachsen $a, b > 0$. Wir benutzen Ellipsenkoordinaten $(s, t)$, eine an die Form angepasste Trafo, mit $s$ als skaliertem Radius und $t$ als Winkel.

Zweites Anwendungs-Beispiel: Roboterarm mit zwei Segmenten. Mitschrift. Ein zweigliedriger Arm steht im Ursprung. Das erste Segment hat Länge $R$ und Winkel $\varphi$ zur $x$-Achse, das zweite Segment hat Länge $r$ und macht zum ersten Segment einen Innenwinkel von $\pi - \gamma$ (also $\gamma$ ist die Abweichung von der gestreckten Lage). Die Spitze des zweiten Segments hat in $(x, y)$ die Koordinaten:

Was bringt die Jacobi-Matrix hier? Eine direkte physikalische Interpretation: wenn sich die Gelenkwinkel mit Geschwindigkeiten $\dot\varphi, \dot\gamma$ ändern, ist die Geschwindigkeit der Armspitze $\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix} = J \cdot \begin{pmatrix} \dot\varphi \\ \dot\gamma \end{pmatrix}$ (Verallgemeinerte Kettenregel).

Ausnahmestellen. $\det J = R\,r\,\sin(\gamma)$ wird $0$ für $\gamma = 0$ (gestreckter Arm) und $\gamma = \pi$ (eingeklappter Arm). Geometrisch heisst das: in diesen zwei Konfigurationen sind nicht alle Geschwindigkeitsvektoren der Armspitze erreichbar, weil die Trafo dort singulär ist. Mitschrift nennt das Ausnahmepunkte. Bei jeder Trafo lohnt es sich zu prüfen, wo $\det J = 0$ ist, das markiert die Stellen, an denen die neuen Koordinaten lokal nicht mehr funktionieren.

Genau dasselbe Argument funktioniert in drei Dimensionen, nur dass wir jetzt einen Spat statt eines Parallelogramms haben. Eine Trafo in drei Variablen ordnet einem Tripel $(u, v, w)$ einen Punkt $(x, y, z)$ zu:

Das infinitesimale Volumenelement hat jetzt drei Kantenvektoren $\vec{r}_u\,\mathrm{d}u$, $\vec{r}_v\,\mathrm{d}v$ und $\vec{r}_w\,\mathrm{d}w$. Zusammen spannen sie einen Spat auf (verzerrter Schuhkarton, Parallelepiped). Aus LinAlg: das Volumen eines Spats ist der Betrag des Spatprodukts seiner Kantenvektoren, also $\lvert(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\rvert$. Und das Spatprodukt ist wieder eine Determinante, jetzt einer $3 \times 3$-Matrix:

Zylinderkoordinaten sind Polarkoordinaten in der $xy$-Ebene plus eine zusätzliche Höhenkoordinate $z$. Massgeschneidert für rotationssymmetrische Körper um eine Achse: Vollzylinder, Hohlzylinder, Schraubenfedern, Tonnen. Trafo:

Anwendungs-Beispiel: Massenträgheitsmoment des Vollzylinders um die $x$-Achse. Mitschrift. Ein gerader Vollzylinder mit Radius $a$, Höhe $h$, homogener Massendichte $1$, steht so im Raum, dass die untere Kreisfläche in der $xy$-Ebene am Ursprung liegt (also Symmetrie-Achse $=$ $z$-Achse, $z \in [0, h]$). Wir wollen $\Theta_x$ um die $x$-Achse berechnen. Das Abstandsquadrat eines Punktes $(x, y, z)$ zur $x$-Achse ist $y^2 + z^2$.

Vergleich: Trägheit um die Symmetrie-Achse $z$. Mitschrift. Diesmal ist das Abstandsquadrat zur $z$-Achse $x^2 + y^2 = \rho^2$, der Integrand schrumpft. Rechnung in zwei Zeilen:

Wer ist grösser? Mitschrift-Anmerkung: je nach Verhältnis von $a$ und $h$ (bei gleichem $m$) ist $\Theta_x$ oder $\Theta_z$ grösser. Konkret vergleichst du $\tfrac{a^2}{4} + \tfrac{h^2}{3}$ mit $\tfrac{a^2}{2}$. Bei einer dünnen, sehr hohen Stange ($h \gg a$) dominiert der $h^2/3$-Term, $\Theta_x \gg \Theta_z$. Bei einer flachen, breiten Scheibe ($a \gg h$) dominiert $\Theta_z$. Bei $h^2/3 = a^2/4$, also $h = \sqrt{3}\,a/2$, sind beide gleich.

Kugelkoordinaten beschreiben jeden Punkt im Raum durch drei Zahlen: Radius $r$ (Abstand zum Ursprung), Azimut $\varphi$ (Längengrad, Ost-West-Ausrichtung in der $xy$-Ebene) und Polarwinkel $\theta$ (Winkel zum Nordpol, also zur positiven $z$-Achse). Ideal für punkt-symmetrische Probleme um den Ursprung: Kugeln, Kugelschalen, Punktladungen, Gravitations-Probleme. Trafo:

Bild im Kopf. Stell dir einen Globus vor. Der Radius $r$ ist der Abstand vom Erdmittelpunkt. Der Azimut $\varphi$ ist die Längengrad-Linie (Greenwich, östlich/westlich), läuft von $0$ bis $2\pi$ einmal rund um die Erde. Der Polarwinkel $\theta$ misst, wie weit du vom Nordpol ($\theta = 0$) entfernt bist; $\theta = \pi/2$ ist der Äquator, $\theta = \pi$ der Südpol. Achtung: das ist nicht der klassische Breitengrad (der zählt vom Äquator), sondern $\pi/2$ minus Breitengrad.

Geometrische Identitäten. Direkt aus der Trafo folgen $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ (Pythagoras im Raum) und die Länge der Projektion auf die $xy$-Ebene ist $\sqrt{x^2 + y^2} = r\sin(\theta)$ (am Äquator maximal, an den Polen null).