9. Torsion (Vollquerschnitt)

Frage: Wie bewegt sich das Material, wenn der Stab tordiert wird? Schau auf einen runden Stab und denk dir aufgemalte Kreisscheiben quer zur Achse. Beim Verdrehen passiert beim Kreisquerschnitt etwas Schönes: jede Scheibe dreht sich als Ganzes ein Stück weiter, bleibt aber eben und kreisrund. Sie kippt nicht, sie wölbt sich nicht, sie ändert ihre Form nicht. Das ist der Deformationsansatz von Saint-Venant für den Kreis.

Der Verdrehwinkel $\vartheta(x)$. Jede Scheibe an der Stelle $x$ ist um einen Winkel $\vartheta(x)$ gegenüber dem unverdrehten Zustand verdreht. Weiter hinten am Stab ist die Verdrehung grösser, also wächst $\vartheta$ mit $x$. Die Ableitung $\vartheta'(x) = \mathrm{d}\vartheta/\mathrm{d}x$ nennen wir Verdrillung: sie sagt, wie viel Verdrehwinkel pro Längeneinheit dazukommt. (Manche Texte schreiben den Winkel als $\theta$; das ist derselbe Buchstabe.)

Vom Drehen zur Verzerrung. Dreht sich eine Scheibe um den kleinen Winkel $\vartheta$, verschiebt sich ein Punkt $(y, z)$ tangential. Setzt man diese Drehbewegung in die Verzerrungs-Definition aus Kap. 4 ein, entstehen genau zwei von null verschiedene Schub-Verzerrungen, und zwar proportional zur Verdrillung $\vartheta'$ und zum Abstand von der Achse.

Frage: Wie hängt die Verdrillung mit dem aufgebrachten Moment zusammen? Bis jetzt steckt in den Formeln noch die unbekannte Verdrillung $\vartheta'$. Die bestimmen wir, indem wir das Torsionsmoment $T$ als Summe aller Schubspannungen über den Querschnitt aufschreiben. Jeder kleine Flächenanteil $\mathrm{d}A$ trägt mit seinem Hebelarm zum Gesamtmoment um die Achse bei.

Aufsummieren über den Querschnitt. Das Moment der Schubspannungen um die $x$-Achse ist $T = \int_A (y\,\tau_{xz} - z\,\tau_{xy})\,\mathrm{d}A$. Setzt man die Spannungen aus Sec. 2.1 ein, klammert man $G\,\vartheta'$ aus, und es bleibt ein rein geometrisches Integral über $r^2 = y^2 + z^2$.

Das geometrische Integral ist das polare Flächenträgheitsmoment. Den Ausdruck $\int_A r^2\,\mathrm{d}A$ kennen wir: er misst, wie weit das Material im Mittel von der Achse weg sitzt. Er heisst polares Flächenträgheitsmoment $I_p$ und ist gerade die Summe der beiden Biege-Trägheitsmomente $I_y$ und $I_z$ aus Kap. 6.

Die Grundgleichung der Torsion. Stellt man die Beziehung nach der Verdrillung um, erhält man die zentrale Differentialgleichung der Torsion. Sie ist das exakte Gegenstück zu den Biege-Differentialgleichungen aus Kap. 6 und 7. Für den Kreisquerschnitt steht im Nenner $I_p$; allgemein schreibt man das Torsionsträgheitsmoment $I_T$, das beim Kreis mit $I_p$ übereinstimmt (mehr dazu in Sec. 3 und 4).

Jetzt setzen wir alles zusammen. Aus Sec. 2.1 wissen wir $|\tau| = G\,|\vartheta'|\,r$, aus Sec. 2.2 die Verdrillung $\vartheta' = T/(G\,I_T)$. Einsetzen, $G$ kürzt sich weg, und wir erhalten die Schubspannung direkt aus dem Torsionsmoment und der Geometrie. Für den Kreisquerschnitt schreibt man die tangentiale Komponente als $\tau_{x\varphi}$ (der Index $\varphi$ steht für die Umfangsrichtung).

Wo ist die Spannung am grössten? Weil $\tau_{x\varphi}$ linear mit $r$ wächst, sitzt das Maximum immer am äusseren Rand, bei $r = R$. Diesen Wert braucht man für den Festigkeitsnachweis. Man fasst die Geometrie dort in einer einzigen Kennzahl zusammen, dem Torsionswiderstandsmoment $W_T = I_T/R$, und erhält die kompakte Maximalspannungs-Formel.

Frage: Um wie viel verdreht sich der ganze Stab? Die Grundgleichung $\vartheta' = T/(G\,I_T)$ gibt die Verdrillung an jeder Stelle. Den gesamten Verdrehwinkel zwischen zwei Querschnitten bekommst du durch Aufintegrieren über die Länge, genau wie du aus der Krümmung die Durchbiegung gewinnst.

Der einfache Standardfall. Sind das Torsionsmoment $T$, der Schubmodul $G$ und das Trägheitsmoment $I_T$ über die ganze Länge $L$ konstant, ist das Integral trivial: der Verdrehwinkel wächst linear mit $x$, und über die volle Länge $L$ ergibt sich ein einfacher Bruch.

Die Analogie zu Dehnung und Biegung. Vergleiche die Steifigkeits-Gesetze nebeneinander: ein Zugstab verlängert sich um $\Delta\ell = N\,L/(E\,A)$, ein Stab unter Torsion verdreht sich um $\Delta\vartheta = T\,L/(G\,I_T)$. Dieselbe Struktur: Last mal Länge, geteilt durch Steifigkeit. Wer Zug und Biegung verstanden hat, kann Torsion auf genau dieselbe Art lesen.

Wann brauche ich den Verdrehwinkel? Immer dann, wenn nicht die Spannung, sondern die Verformung zählt: Wie stark verdreht sich die Antriebswelle unter Last? Passt das Bauteil noch zusammen, wenn es sich um $\vartheta$ dreht? Bei statisch unbestimmten Systemen liefert der Verdrehwinkel zudem die nötige geometrische Bedingung (siehe Kap. 11 und 12).

Ein Fall, der sich noch von Hand lösen lässt. Die Ellipse ist der einfachste nicht-kreisförmige Vollquerschnitt mit geschlossener Lösung. Sie zeigt schön, wie die Verwölbung aussieht und wie das Torsionsträgheitsmoment von der reinen Geometrie $I_y + I_z$ abweicht. Für eine Ellipse mit den Halbachsen $a$ (in $y$) und $b$ (in $z$) lautet die Verwölbung:

Das Torsionsträgheitsmoment der Ellipse. Trägt man die Spannungen wieder zum Moment auf, erhält man dieselbe Struktur $T = G\,I_T\,\vartheta'$ wie beim Kreis, nur mit einem anderen $I_T$. Für die Ellipse ist es das Ersatz-Flächenmoment $I_T = \pi a^3 b^3/(a^2 + b^2)$, das man auch direkt der Tabelle in Sec. 3 entnimmt.