VII.9 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

Was passiert mit dem System, wenn die externe Anregung wegfällt? Das ist die homogene Variante, formal die rechte Seite auf null gesetzt. Genau das fragt die homogene DGL, bei der das Störglied verschwindet, $q(x) \equiv 0$:

Anschaulich: das Störglied $q(x)$ ist der Antrieb von aussen. Eine Schaukel, die niemand anschubst, schwingt nur in ihrem Eigenrhythmus aus, das ist die homogene Lösung.

Schubst du sie im Takt an, kommt eine erzwungene Bewegung dazu, die Antwort auf das inhomogene $q(x)$.

Die homogene Lösung beschreibt also das Eigenverhalten des Systems (wie es ganz von selbst reagiert), die inhomogene Lösung enthält zusätzlich die erzwungene Antwort auf den Antrieb. Diese Trennung kennst du aus VII.5, sie trägt unverändert in höhere Ordnung.

Lass uns die linke Seite als einen Operator $L$ denken, der jede Funktion $y$ auf eine neue Funktion abbildet. Was macht $L$ so freundlich? Wir geben der ganzen linken Seite einen Namen:

Bild dazu: $L$ ist eine Maschine. Du steckst eine Funktion $y$ hinein, heraus kommt eine neue Funktion $L[y]$. Mit dieser Maschine schreibt sich die homogene DGL kurz als $L[y] = 0$ und die inhomogene als $L[y] = q$.

Das Entscheidende: $L$ ist eine lineare Maschine. Sie respektiert Skalierung (doppelt rein heisst doppelt raus) und Addition (Summe rein heisst Summe raus):

Warum gilt das? Es folgt in einer Zeile aus zwei bekannten Tatsachen: Ableiten ist linear, also $(\alpha y + \beta z)' = \alpha y' + \beta z'$, und das Multiplizieren mit einem Vorfaktor $p_i(x)$ ist ebenfalls linear. Setzt man $\alpha y + \beta z$ in $L$ ein, darf man darum jeden Term auseinanderziehen und die Konstanten herausheben.

Stell dir $n$ Lösungs-Bausteine vor, alle linear unabhängig. Jede andere homogene Lösung ist eine Linearkombination dieser Bausteine. Genau diese Sammlung von Bausteinen hat einen Namen.

Definition. Ein Fundamentalsystem der homogenen DGL ist eine Menge $\{ y_1, y_2, \dots, y_n \}$ aus $n$ linear unabhängigen Lösungen von $L[y] = 0$.

In Worten: ein Fundamentalsystem sind $n$ verschiedene Lösungs-Bausteine, aus denen sich jede homogene Lösung zusammenmischen lässt. Die allgemeine homogene Lösung ist die Linearkombination dieser Bausteine mit beliebigen Konstanten:

Die $C_i$ sind genau die $n$ Freiheitsgrade aus 2.1, wie bei Lego: aus $n$ Steinen baust du jede Form dieser Familie.

Bei einem Anfangswertproblem legen die $n$ Anfangsbedingungen die $C_i$ eindeutig fest, danach ist die Lösung fixiert.

Wie prüfst du, ob deine $n$ Lösungen wirklich $n$ verschiedene Bausteine sind, oder ob eine sich aus den anderen zusammensetzt? Bei Vektoren in LinAlg testest du lineare Unabhängigkeit über eine Determinante. Bei Funktionen geht es genauso, mit der Wronski-Determinante:

So ist die Matrix gebaut: in die erste Zeile schreibst du die Funktionen $y_1, \dots, y_n$ selbst, in die zweite Zeile ihre ersten Ableitungen, in die dritte die zweiten, und so weiter bis zur $(n-1)$-ten Ableitung. Dann nimmst du die Determinante dieser $n \times n$-Matrix.

In Worten: die Wronski-Determinante ist ein Lackmustest. $W \neq 0$ heisst unabhängig (echte Bausteine, taugt als Fundamentalsystem), $W = 0$ heisst abhängig (eine Lösung ist eine Kombination der anderen).

Als konkreter Fall: für $y'' - y = 0$ ist $\{ e^x, e^{-x} \}$ ein Kandidat. Die Wronski-Determinante ist

Warum reicht eine partikuläre Lösung, obwohl es unendlich viele gibt? Tatsächlich ist $y_p$ alles andere als eindeutig: addierst du zu einer partikulären Lösung irgendeine homogene Lösung, bekommst du wieder eine partikuläre Lösung. Es gibt also unendlich viele Kandidaten für $y_p$.

Das Argument: seien $y_p$ und $\tilde{y}_p$ zwei partikuläre Lösungen. Dann ist $L[y_p - \tilde{y}_p] = q - q = 0$, ihre Differenz also eine homogene Lösung.

Zwei partikuläre Lösungen unterscheiden sich somit nur um eine homogene, und die steckt in $y_h$ ohnehin schon. Egal also, welche $y_p$ du erwischst, die allgemeine Lösung $y = y_h + y_p$ ist immer dieselbe.

Was passiert, wenn dein Ansatz schon zur homogenen Lösung gehört? Dann liefert die DGL null zurück und der Ansatz scheitert. Steckt deine geratene Form $y_p$ nämlich bereits im Fundamentalsystem, so gilt $L[y_p] = 0$. Das kann niemals gleich einem Störglied $q \neq 0$ sein, der Ansatz kollabiert.

Genau dieser Fall ist das Standard-Beispiel der Vorlesung: bei $y'' + \omega^2\, y = P \cos(\omega x)$ ist der naheliegende Ansatz $y_p = A \cos(\omega x) + B \sin(\omega x)$ selbst schon homogene Lösung, löst also $(H)$ und kann damit unmöglich auch $(I)$ erfüllen.

Der Vorlesungsweg in diesem Fall: Variation der Konstanten (§5). Die Vorlesung bricht hier den geschickten Ansatz ab und löst die Resonanz konsequent über die Variation der Konstanten. Für $y'' + \omega^2\, y = P \cos(\omega x)$ liefert sie die partikuläre Lösung

In Worten: trifft die Anregung die Eigenfrequenz, wächst die Amplitude linear in $x$ an. Dieser anschwellende Faktor $x$ fällt automatisch aus der Variation der Konstanten heraus, du musst ihn nicht raten.

Welcher Ansatz gehört zu welchem Störglied? Die komplette Übersicht in einem Spickzettel: welches $q$ ergibt welchen Ansatz, mit welchem Resonanz-Faktor. Lern diese Tabelle, sie deckt fast jedes Klausur-Störglied ab.

Die Spalte bei Resonanz ist die Lehrbuch-Abkürzung aus 4.2: tritt der Standard-Ansatz schon im Fundamentalsystem auf, multiplizierst du ihn mit $x^k$ ($k$ = Vielfachheit der Nullstelle), ohne Resonanz lässt du den Faktor weg ($k = 0$). An der Prüfung wird im Resonanzfall die volle Herleitung über die Variation der Konstanten (§5) erwartet, so wie es die Vorlesung vormacht.

Wenn der Ansatz nicht funktioniert (das Störglied $q$ ist kein Polynom, Exponential oder Sinus und Kosinus), greifst du zur Variation der Konstanten. Wann genau lohnt sich der Aufwand? Der grosse Vorteil der Methode: sie ist universell. Sie funktioniert für jedes beliebige Störglied $q$, solange du die auftretenden Integrale lösen kannst.

Die Entscheidungsregel: ist $q$ ein Polynom, ein Exponential, harmonisch oder ein Produkt davon, nimm den geschickten Ansatz aus §4, er ist schneller. Ist $q$ etwas anderes (etwa $\tan(x)$, $\tfrac{1}{x}$, $\ln(x)$ oder $\tfrac{1}{\cos(x)}$), dann führt nur die Variation der Konstanten zum Ziel.

Der Preis: du musst Integrale wie $\int \tfrac{y_2\, q}{W}\, \mathrm{d}x$ lösen, und die können hässlich werden, manchmal sogar nicht-elementar. Der Kompromiss: universell, aber potenziell rechenintensiv.

Was passiert, wenn wir die Potenzreihe in die DGL einsetzen und Koeffizienten gleicher Potenzen vergleichen? Es entsteht eine Rekursion für die $a_k$. Zuerst brauchen wir die Ableitungen der Reihe, gliedweise differenziert mit verschobenem Index:

Der Kern der Methode ist der Koeffizientenvergleich: zwei Potenzreihen sind genau dann gleich, wenn alle ihre Koeffizienten übereinstimmen. Setzt du die Reihe in die DGL ein und bringst alles auf die Form einer einzigen Potenzreihe gleich null, muss jeder Koeffizient für sich verschwinden:

Jedes $c_k$ verknüpft einige der $a_k$. Aufgelöst nach dem höchsten beteiligten Koeffizienten entsteht eine Rekursion: spätere Koeffizienten aus früheren.

Die ersten Koeffizienten bleiben frei, und zwar genau $n$ Stück, dieselben $n$ Freiheitsgrade wie das Fundamentalsystem aus §2.

Wie weit konvergiert die Reihe? Gibt es einen Garantie-Satz für lineare DGLs? Eine Potenzreihe ist nur innerhalb ihres Konvergenzradius $R$ eine sinnvolle Funktion. Die berechtigte Sorge: vielleicht ist die hingeschriebene Lösungsreihe nur ein formales Gebilde, das nirgends konvergiert. Der Konvergenzsatz nimmt diese Sorge weg.

Der Konvergenzsatz, anschaulich: sind alle Koeffizienten $p_0(x), \dots, p_{n-1}(x)$ und das Störglied $q(x)$ um $x_0$ brave Potenzreihen (analytisch), dann ist auch jede Lösung um $x_0$ eine konvergente Potenzreihe.

Du musst also keine Angst haben, dass die Reihe auseinanderfliegt: solange die DGL-Koeffizienten brav sind, ist auch die Lösung brav.

Wie weit reicht die Garantie? Der Konvergenzradius der Lösung ist mindestens so gross wie der kleinste Konvergenzradius unter den $p_i$ und $q$. Anders gesagt: die Lösung konvergiert mindestens so weit, bis die erste Koeffizientenfunktion Ärger macht.

Was liefert der Potenzreihenansatz an konkreten Funktionen? Zwei klassische Beispiele zum Mitrechnen: die Exponentialfunktion fällt aus $y' = y$ heraus, die Airy-Funktion ist neu und nicht elementar darstellbar.

Erstes Beispiel: $y' = y$ mit $y(0) = 1$. Das ist das Wachstumsmodell aus VII.2. Mit dem Ansatz $y = \sum a_k x^k$ und der Ableitung aus 6.2 wird $y' = y$ zu $(k+1)\, a_{k+1} = a_k$. Aufgelöst:

Zweites Beispiel: die Airy-Gleichung $y'' - x\, y = 0$. Diese DGL hat keine elementare Lösung. Mit $y = \sum a_k x^k$ liefert $y'' = \sum (k+2)(k+1)\, a_{k+2}\, x^k$ und $x\, y = \sum a_{k-1}\, x^k$ (für $k \geq 1$). Der Koeffizientenvergleich gibt:

Die beiden freien Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ sind genau die zwei Parameter, die man bei einer DGL 2. Ordnung erwartet (die Freiheitsgrade aus §2).

Die ersten Koeffizienten lauten $a_2 = 0$, $a_3 = \tfrac{a_0}{6}$, $a_4 = \tfrac{a_1}{12}$, $a_5 = 0$, $a_6 = \tfrac{a_0}{180}$. Sortiert nach $a_0$ und $a_1$ ergeben sich zwei Reihen:

Bei welchen DGLs greifst du zum Potenzreihenansatz? Die Faustregel: der Ansatz lohnt sich, wenn die Koeffizientenfunktionen $p_i(x)$ variabel sind (also wirklich von $x$ abhängen, wie bei Airy mit $p_0(x) = -x$) und keine elementare Lösung in Sicht ist.

Der wichtige Gegenfall: sind die Koeffizienten konstant, brauchst du keine Potenzreihen. Dann gibt es das charakteristische Polynom und handfeste elementare Lösungen ($e^{\lambda x}$, $\sin$, $\cos$). Dieser Spezialfall ist so zentral, dass er ein eigenes Kapitel bekommt, VII.10.

Voraussetzung nicht vergessen: der Konvergenzsatz aus 6.3 verlangt analytische Koeffizienten, bei polynomialen (wie Airy) automatisch erfüllt.

Genau aus solchen DGLs mit variablen Koeffizienten entstehen die speziellen Funktionen der Physik: neben Airy auch Bessel, Legendre und Hermite.