Kap. 1: Lineare Gleichungssysteme

Das viele $a_{ij}$-Hinschreiben nervt schnell, vor allem bei grösseren Systemen. Geht das kürzer? Ja. Wir sortieren die Koeffizienten in ein Rechteck, die Unbekannten in eine Spalte und die rechten Seiten in eine zweite Spalte. Aus dem ganzen Block wird dann eine einzige kompakte Gleichung.

Die Koeffizientenmatrix $A$ sammelt alle $a_{ij}$ in einem rechteckigen Schema: Zeile $i$, Spalte $j$ trägt den Eintrag $a_{ij}$. Der Unbekanntenvektor $\mathbf{x}$ stapelt $x_1, \ldots, x_n$ in eine Spalte, der Vektor $\mathbf{b}$ stapelt die rechten Seiten $b_1, \ldots, b_m$. Damit schrumpft das ganze System auf die Matrixform $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Vektoren schreiben wir in der linearen Algebra fett ($\mathbf{x}$, $\mathbf{b}$), nicht mit Pfeil; ein fettes Symbol ist also immer ein ganzer Spaltenvektor, ein normales Symbol eine einzelne Zahl.

Eine kleine, aber wichtige Notationsregel zur Grösse: $A^{m \times n}$ (oder $A_{m \times n}$) bedeutet, dass $A$ genau $m$ Zeilen und $n$ Spalten hat. Reihenfolge: Zeilen zuerst, Spalten danach. Das ist die klassische Verwechslungsstelle; präg dir „Zeilen mal Spalten" ein, wie bei einer Kinosaal-Angabe „Reihen mal Plätze".

Unser 2×2-Beispiel von oben sieht in Matrixform so aus.

Beim Rechnen tippt man $A$ und $\mathbf{b}$ nicht getrennt, sondern schreibt sie nebeneinander in ein Schema und trennt sie durch einen senkrechten Strich. Das heisst augmentierte Matrix $[\,A \mid \mathbf{b}\,]$. Der Strich ist reine Buchhaltung: er erinnert dich nur daran, wo die Koeffizienten aufhören und die rechte Seite beginnt, und hat selbst keine mathematische Bedeutung. So musst du bei den Umformungen die rechte Seite nicht aus den Augen verlieren.

Jetzt das Rezept selbst, in drei Schritten. Danach kennst du zu jedem System die vollständige Lösungsmenge, egal ob es eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat. Das Bild dazu: wir bauen aus dem Wust von Gleichungen eine Treppe. Jede Stufe der Treppe fixiert eine Variable mehr, und ganz unten steht am Ende die einfachste Gleichung, aus der wir starten.

Schritt 1. Bringe die augmentierte Matrix $[\,A \mid \mathbf{b}\,]$ mit den Zeilenoperationen aus 1.2.1 auf Zeilenstufenform (ZSF), auch Dreiecksform genannt. Ziel: unterhalb der Treppenstufen stehen nur noch Nullen. Schritt 2. Lies die Lösung durch Rückwärtseinsetzen ab: starte bei der untersten nicht-trivialen Zeile, berechne die dortige Variable, setze sie in die Zeile darüber ein, und arbeite dich nach oben. Schritt 3. Bestimme, welcher der drei Fälle vorliegt: eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung. Wie man diesen Fall der ZSF ansieht, ist genau das Thema von 1.2.3.

Das erste Nicht-Null-Element einer Zeile in der ZSF heisst Pivot (sprich: „Piwo", franz. für Dreh- oder Angelpunkt). Die Pivots sind die Vorderkanten der Treppenstufen und der Bezugspunkt für das ganze Verfahren: an ihnen orientiert sich, was du eliminierst und welche Variable eine Stufe bekommt.

Ein konkretes Zahlenbeispiel einer fertigen ZSF, damit du die Pivots wirklich siehst. Hier sind $1$, $4$ und $6$ die Pivots (die markierten Einträge).

Die Zeilenstufenform steht da, die Treppe ist gebaut. Wie liest man ihr jetzt ab, ob es Lösungen gibt und wie viele? Das ist die wichtigste Frage des ganzen Kapitels, und sie hängt an einer einzigen Zahl: dem Rang. Wir bauen die Antwort Stück für Stück auf.

Zuerst die Variablen. Eine Variable $x_k$, über deren Spalte ein Pivot steht, heisst Pivot-Variable. Alle übrigen Variablen heissen freie Variablen oder freie Parameter: ihren Wert darfst du frei wählen, und jede Wahl liefert eine eigene Lösung. Die Pivot-Variablen ergeben sich dann zwangsläufig aus den freien.

Jetzt die zentrale Kennzahl. Der Rang $r$ einer Matrix ist die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen in ihrer Zeilenstufenform, gleichbedeutend: die Anzahl der Pivots. Anschaulich misst $r$, wie viele der Zeilen wirklich unabhängige Information tragen; eine Zeile, die sich aus anderen kombinieren lässt, fällt in der ZSF zu einer Nullzeile zusammen und zählt nicht mit. Man kann den Rang gleichwertig als die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen (oder Spalten) definieren. Wir notieren ihn $r = \operatorname{rang}(A)$. Ein Hinweis aus der Vorlesung: der Rang ist eine Eigenschaft der Matrix, nicht des LGS.

Der Rang verknüpft sich direkt mit der Zählung der Variablen. Erinnerung an die Grössen-Notation: $A^{m \times n}$ hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Es gilt immer $0 \le r \le m$ (mehr Pivots als Zeilen kann es nicht geben). Und wenn $m = n$ (quadratische Matrix), ist die Anzahl der Pivot-Variablen genau $r$, und die Anzahl der freien Variablen genau $n - r$. Diese Differenz $n - r$ ist die Zahl, die uns gleich verrät, wie viele Parameter eine unendliche Lösungsmenge hat.

Bleibt die Frage nach der Lösbarkeit. Bringt man $[\,A \mid \mathbf{b}\,]$ auf ZSF, kann es passieren, dass eine Zeile auf der linken Seite komplett Null wird, rechts aber eine Zahl $\neq 0$ stehenbleibt. So eine Zeile fordert $0 = (\text{etwas} \neq 0)$, also etwas Unmögliches. Das allgemeine Schema sieht so aus: die ersten $r$ Zeilen tragen Pivots, darunter (Zeilen $r+1$ bis $m$) ist die linke Seite Null.

Daraus liest man die Verträglichkeitsbedingungen ab: Sind alle diese unteren rechten Seiten Null ($b_{r+1} = \cdots = b_m = 0$), gibt es keinen Widerspruch, das LGS heisst konsistent (lösbar). Steht hingegen in irgendeiner dieser Zeilen rechts ein $b_i \neq 0$ (mit $i > r$), ist das System inkonsistent (unlösbar). Ein konkretes unlösbares Beispiel: die letzte Zeile fordert $0 \cdot x_3 = 9$, was nie stimmen kann.

Jetzt lassen sich die drei Fälle als saubere Regeln formulieren. Halte $r = \operatorname{rang}(A)$ und $n =$ Anzahl Spalten (Unbekannte) bereit:

Ein Wort zur Vorlesungsformulierung: das dortige Kriterium für „mindestens eine Lösung" lautet sinngemäss $r = m$, oder $r < m$ mit erfüllten Verträglichkeitsbedingungen. Sauber zusammengefasst ist das genau die Verträglichkeit von oben: lösbar ist das System dann und nur dann, wenn keine widersprüchliche Zeile $0 = (\neq 0)$ entsteht. Man trifft dasselbe auch unter dem Namen Frobenius-Kriterium: $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}([\,A \mid \mathbf{b}\,])$, der Rang der Koeffizientenmatrix muss gleich dem Rang der augmentierten Matrix sein. „Verträglichkeitsbedingungen" ist unser Hauptbegriff, „Frobenius" der gängige Aliasname.

Zum Schluss der Sonderfall, der nie unlösbar sein kann. Ein LGS heisst homogen (ein HLGS), wenn die rechte Seite komplett Null ist: $\mathbf{b} = \mathbf{0} = (0, \ldots, 0)^{\mathsf{T}}$. Dann lösen $x_1 = \cdots = x_n = 0$ trivialerweise jede Zeile, denn $A\mathbf{0} = \mathbf{0}$. Diese triviale Lösung $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ existiert immer. Interessant ist nur, ob es zusätzlich nichttriviale Lösungen gibt, und das ist genau dann der Fall, wenn $r < n$.

Ein letzter Zusammenhang für quadratische Systeme ($m = n$), der in Prüfungen oft als Brücke gebraucht wird: das System $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ist für jede beliebige rechte Seite $\mathbf{b}$ lösbar genau dann, wenn das zugehörige homogene System $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ nur die triviale Lösung besitzt. Anschaulich: hat das homogene System „Spielraum" (nichttriviale Lösungen), dann gibt es rechte Seiten, die danebenliegen und nicht erreicht werden.

Genug Theorie, jetzt rechnen wir vollständig durch. Wir nehmen fünf Systeme: je eines für die drei Fälle (eindeutig, unendlich viele, und die Verträglichkeit), dann das Schmuckstück, ein System mit einem Parameter $a$, bei dem sich der Fall mit $a$ ändert und eine saubere Fallunterscheidung verlangt, und zum Schluss eine Anwendung aus der Physik, bei der das LGS gar nicht vorgegeben ist, sondern erst aus einer ganz anderen Frage entsteht. Achtung zur Notation: das $a$ hier ist eine echte reelle Zahl als Parameter ($a \in \mathbb{R}$), kein Matrixeintrag-Index. Folge bei jedem Beispiel den nummerierten Schritten, das „Warum" steht jeweils kursiv dabei.

Die Disziplin aus Beispiel C ist prüfungswichtig: bei einem Parameter immer sauber alle Fälle durchgehen ($a = 0$, $a = 1$, $a = -1$, Rest), sonst vergisst man einen Teil der Lösung. Genau dafür rechnet man die Elimination einmal allgemein mit $a$ durch und liest die Fälle danach ab.

Wozu der ganze Aufwand mit Zeilenstufenform und Rang eigentlich? Hier ein Beispiel, das zeigt, wann man ein LGS überhaupt braucht: in der Physik taucht ein Gleichungssystem oft nicht fertig auf, sondern man baut es sich selbst, um eine ganz andere Frage zu beantworten. Ein Klassiker ist die Dimensionsanalyse: man weiss, von welchen Grössen eine gesuchte Grösse abhängt, und sucht die Potenzen, mit denen sie eingehen, damit die Einheiten am Ende stimmen. Genau dieses „die Einheiten müssen passen" wird gleich zu einem LGS.