10. Torsion (dünnwandige Querschnitte)

Denk an ein Getränkedöschen, ein Stahlrohr oder einen Fahrradrahmen. Das sind alles Stäbe, aber das Material steckt nur in einer dünnen Haut aussen, drinnen ist Luft. Genau solche Querschnitte heissen dünnwandig: die Wandstärke ist viel kleiner als die übrigen Abmessungen des Profils. Sie sind im Leichtbau allgegenwärtig, weil sie pro Kilogramm Material erstaunlich steif und fest sind.

Im vorigen Kapitel war der Stab massiv. Bei Kap. 9 ging es um den Vollquerschnitt: ein voller Kreis, ein voller Rechteckblock. Die Schubspannung lief dort über den ganzen, gefüllten Querschnitt. Hier ist alles hohl oder dünn, und genau das macht die Rechnung am Ende einfacher statt schwerer, weil sich die Spannung über die kleine Wandstärke kaum ändert und wir sie als konstant durch die Wand annehmen dürfen.

Worum es im ganzen Kapitel geht. Wir tordieren einen dünnwandigen Stab und fragen nur zwei Dinge: Wie gross wird die Schubspannung in der Wand? (Festigkeit) und um wie viel verdreht sich der Stab? (Steifigkeit). Wie schon beim Vollquerschnitt brauchen wir dafür zwei Querschnittskennzahlen, ein Torsionsträgheitsmoment $I_T$ und ein Torsionswiderstandsmoment $W_T$. Nur ihre Formeln sehen jetzt anders aus.

Die Schnittgrösse bleibt dieselbe. Wie in Kap. 9 ist die Beanspruchung das Torsionsmoment $T$: das Moment, dessen Achse entlang der Stabachse zeigt. Auch die Grundgleichung der Torsion $\vartheta' = T/(G\,I_T)$ aus Kap. 9 gilt unverändert weiter. Neu ist nur, wie wir $I_T$, $W_T$ und die Spannungsverteilung für ein dünnwandiges Profil bestimmen. Und dabei trennen sich zwei Welten: geschlossene und offene Profile.

Bild im Kopf: ein ringförmiger Wasserkanal. Denk an eine geschlossene Rinne, in der Wasser im Kreis fliesst, mal durch einen breiten, mal durch einen engen Abschnitt. Weil kein Wasser verschwindet, muss pro Sekunde überall dieselbe Menge durchlaufen: wo der Kanal eng ist, fliesst es schnell, wo er breit ist, langsam. Das Produkt aus Geschwindigkeit und Kanalbreite ist überall gleich. Genau dieses Bild trägt die ganze Theorie der geschlossenen Profile.

Übersetzt auf die tordierte Wand. In der dünnen Wand läuft die Schubspannung $\tau_{xs}$ rundherum, parallel zur Profilmittellinie (der Index $s$ steht für die Umlaufrichtung). Schneidet man ein kleines Stück Wand frei und stellt das Kräftegleichgewicht in Längsrichtung auf, kommt etwas Bemerkenswertes heraus: das Produkt aus Schubspannung und Wandstärke ist überall am Umfang gleich gross. Dieses Produkt heisst Schubfluss $q$.

Was bedeutet das für die Spannung? Wenn $q = \tau_{xs}\,e$ konstant ist, dann muss dort, wo die Wand dünn ist, die Schubspannung gross sein, und wo die Wand dick ist, klein. Spannung und Wandstärke sind zueinander umgekehrt proportional. Das ist exakt das Wasser-Bild: enge Stelle, schnelle Strömung. Daraus folgt sofort die wichtigste Konsequenz für die Festigkeit, gleich in Sec. 2.2.

Frage: Wie finde ich $A_m$ für ein konkretes Profil? $A_m$ steckt in jeder Bredt-Formel, also lohnt es sich, sie sauber zu bestimmen. Die Regel ist einfach: zeichne die Profilmittellinie (mittig durch die Wandstärke) und bestimme die Fläche, die diese Linie umschliesst. Bei einem dünnwandigen Profil ist die Wandstärke klein, also darfst du oft direkt mit den äusseren Massen rechnen, der Unterschied ist von der Ordnung der Wandstärke und damit vernachlässigbar.

Die häufigsten Fälle. Bei einem Kreisrohr mit Mittellinienradius $R_m$ ist $A_m = \pi R_m^2$. Bei einem quadratischen Kastenprofil mit Mittellinien-Seitenlänge $a$ ist $A_m = a^2$. Bei einem rechteckigen Kasten mit den Mittellinienmassen $b$ und $h$ ist $A_m = b\,h$. Immer die vom Hohlraum eingeschlossene Fläche, nie die Materialfläche der Wand.

Frage: Was tun, wenn die Schleife fehlt? Bei einem offenen Profil (I, L, U, Schlitzrohr) gibt es keinen umschlossenen Hohlraum, also kein $A_m$ und keine Bredtschen Formeln. Stattdessen denkt man sich das Profil in seine geraden Wandstücke zerlegt: jeder Schenkel ist ein langes, schmales Rechteck. Für ein einzelnes schmales Rechteck der Länge $s_i$ und Dicke $e_i$ kennen wir das Torsionsträgheitsmoment bereits ($s_i e_i^3/3$, Sec. 3.3).

Einfach aufsummieren. Das gesamte Torsionsträgheitsmoment des offenen Profils ist näherungsweise die Summe der Beiträge aller Teilrechtecke. Jeder Schenkel trägt mit seiner Länge mal der dritten Potenz seiner Dicke bei. Genau diese dritte Potenz ist der Grund, warum dünne offene Profile so weich sind: halbiert man die Wandstärke, sinkt $I_T$ auf ein Achtel.

Wie sieht die Spannung in einem Schenkel aus? Anders als beim geschlossenen Profil läuft die Schubspannung in einem offenen Schenkel nicht einseitig rundherum, sondern bildet über die kleine Wandstärke eine Schleife: auf der einen Wandseite hin, auf der anderen zurück. Über die Dicke wächst sie linear von der Mitte (null) zum Rand. In jedem Teilrechteck gilt $\tau_{xs} = 2\,G\,\vartheta'\,e_i$ am Rand, sie ist also proportional zur lokalen Wandstärke $e_i$.

Die wichtigste Praxis-Botschaft des Kapitels. Nimm zweimal exakt dasselbe Blech und forme einmal ein geschlossenes Rohr, einmal ein längs aufgeschlitztes Rohr. Gleiches Material, gleiche Masse. Trotzdem ist das geschlossene Profil unter Torsion um Grössenordnungen steifer und fester. Der einzige Unterschied ist die schliessende Zelle, die den Schubfluss rundlaufen lässt.

Woran liegt das? Im geschlossenen Profil läuft der Schubfluss einmal voll um den grossen Hohlraum herum, mit dem riesigen Hebelarm $A_m$ ($I_T = (2 A_m)^2/U$ wächst mit dem Quadrat der Fläche). Im offenen Profil bleibt der Schub in jedem dünnen Schenkel auf sich allein gestellt und bildet nur eine winzige Schleife über die Wandstärke ($I_T \approx \frac{1}{3}\sum s_i e_i^3$, nur dritte Potenz der dünnen Wand). Die grosse umschlossene Fläche fehlt komplett.

Konkrete Grössenordnung. Das durchgerechnete Beispiel in Sec. 6 vergleicht ein quadratisches Kastenprofil einmal geschlossen, einmal aufgeschlitzt (gleiche Masse, gleiche Last). Das geschlossene Profil ist dort rund 90-mal steifer (verdreht sich 90-mal weniger) und seine Maximalspannung ist etwa 13-mal kleiner. Ein einziger Schnitt durch die Wand kostet also fast die gesamte Torsionsfähigkeit.

Worum geht es? Ein einseitig eingespannter Stab (Länge $L$) trägt am freien Ende ein Torsionsmoment $M_T$. Der Querschnitt ist ein quadratisches Kastenprofil mit Mittellinien-Seitenlänge $a$ und Wandstärke $t$ (dünnwandig, $t \ll a$). Gesucht sind die maximale Schubspannung und der Verdrehwinkel am freien Ende. Danach schneiden wir denselben Kasten längs auf und vergleichen, das ist die Pointe aus Sec. 5.

Jetzt der Vergleich: derselbe Kasten, aber aufgeschlitzt. Schneidet man den Kasten der Länge nach auf, ist er offen. Statt Bredt gilt jetzt die Rechteck-Summe $I_T \approx \frac{1}{3}\sum s_i e_i^3$, und die Maximalspannung sitzt an der dicksten Wand ($\tau_{\max} \approx (T/I_T)\max(e_i)$). Setzt man konkrete Zahlen ein ($a = 20$ mm, $t = 1$ mm, $L = 500$ mm, $G = 80$ GPa, $M_T = 2$ N·m), wird der Unterschied drastisch sichtbar.