VII.2 Einige Beispiele

Welche Funktion erfüllt $\mathrm{d}m/\mathrm{d}t = k\, m$, und nach welcher Zeit hat sich die Grösse verdoppelt?

Aus Kap. VII.1 §3.2 kennen wir bereits die allgemeine Lösung $m(t) = C\, e^{k t}$ mit einem freien Scharparameter $C \in \mathbb{R}$. Eine ganze Funktionen-Schar also, eine Funktion pro Wahl von $C$.

Eine konkrete Funktion bekommen wir durch eine Anfangsbedingung. Nimm $m(0) = m_0$, die Anfangsmasse bei $t = 0$. Einsetzen bei $t = 0$ gibt $m_0 = C\, e^{0} = C$, also $C = m_0$, und die spezielle Lösung $m(t) = m_0\, e^{k t}$.

Jetzt zur Verdopplungszeit $\tau_d$, definiert durch $m(\tau_d) = 2\, m(0)$. Einsetzen: $m_0\, e^{k \tau_d} = 2\, m_0$.

$m_0$ kürzt sich weg, es bleibt $e^{k \tau_d} = 2$. Logarithmieren und auflösen: $\tau_d = \ln(2)/k$.

Beobachtung: $\tau_d$ hängt nicht vom Anfangsbestand $m_0$ ab. Egal ob die Petrischale mit zehn oder zehntausend Bakterien startet, die Verdopplung dauert immer gleich lang.

Wo taucht $y' = k\, y$ in der Wirklichkeit auf? Drei klassische Bilder, alle mit derselben DGL hinter den Kulissen.

Bakterienkultur. Eine Population von Bakterien in einer Petrischale vermehrt sich, solange Nährstoffe und Platz ausreichen, mit konstantem prozentualem Zuwachs pro Zeit. Die Wachstumsrate $k$ hängt von der Spezies und den Umgebungsbedingungen ab.

Zinseszins. Auf einem Bankkonto mit kontinuierlicher Verzinsung wächst das Kapital $K(t)$ proportional zum aktuellen Stand. Der Wachstumsfaktor ist der Zinssatz $k$ (pro Jahr). Die Lösung ist $K(t) = K_0\, e^{k t}$ mit Startkapital $K_0$.

Wirtschaftswachstum. Bei konstanter Wachstumsrate $k$ wächst das Bruttoinlandsprodukt exponentiell. Auch Energieverbrauch und Bevölkerungswachstum (ohne Sättigung) folgen diesem Schema.

In allen drei Fällen ist die Mathematik identisch. Was sich unterscheidet, ist nur die Zahl $k$ und die Bedeutung der Grösse $y$.

Stell dir eine radioaktive Probe vor. Nach welcher Zeit ist genau die Hälfte zerfallen?

Wir definieren die Halbwertszeit $\tau$ als die Zeit, nach der eine abklingende Grösse auf die Hälfte ihres Anfangswerts gesunken ist: $y(\tau) = \tfrac{1}{2}\, y(0)$.

Einsetzen in $y(t) = y_0\, e^{-k t}$ (Startzeitpunkt $t_0 = 0$): $\tfrac{1}{2}\, y_0 = y_0\, e^{-k \tau}$.

$y_0$ kürzt sich weg, es bleibt $e^{-k \tau} = \tfrac{1}{2}$. Logarithmieren: $-k\, \tau = -\ln(2)$, also $\tau = \ln(2)/k$.

Auffällig: dieselbe Formel wie für die Verdopplungszeit in Abschnitt 1.2. Das ist kein Zufall, sondern die direkte Konsequenz davon, dass die exponentielle Funktion sich pro festem Zeitintervall immer um denselben Faktor ändert.

Wo taucht $y' = -k\, y$ in der Wirklichkeit auf? Drei klassische Bilder, alle mit derselben DGL hinter den Kulissen.

Radioaktiver Zerfall. $y(t)$ ist die aktive Teilchenzahl (oder Masse) eines radioaktiven Materials; die Zahl der pro Zeit zerfallenden Atome ist proportional zur noch vorhandenen. In der Kernphysik heisst $k$ Zerfallskonstante, oft $\lambda$ genannt.

Die Halbwertszeit $\tau = \ln(2)/\lambda$ ist eine Materialeigenschaft: Iod-131 hat $\tau \approx 8$ Tage, Caesium-137 etwa 30 Jahre, Uran-238 etwa 4,5 Milliarden Jahre.

RC-Entladung. Ein geladener Kondensator $C$ wird über einen Widerstand $R$ entladen. Der Maschensatz liefert $\mathrm{d}u/\mathrm{d}t = -u/(R C)$ mit der Kondensatorspannung $u(t)$; Vergleich mit der Standardform gibt $k = 1/(R C)$.

Die Zeitkonstante $\tau_{R C} = R C = 1/k$ sagt, nach welcher Zeit die Spannung auf $1/e \approx 37\,\%$ gefallen ist.

Newton-Abkühlung. $y(t)$ ist die Temperaturdifferenz zwischen Körper und Umgebung, ihre Änderung proportional zur Differenz: $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t = -k\, y$ mit $k > 0$. Anschaulich: je heisser der Topf gegenüber der Küche, desto schneller kühlt er ab.

Achtung: nicht die absolute Temperatur des Körpers klingt exponentiell ab, sondern die Differenz zur Umgebung.

Ein verwandtes Beispiel zeigt, wie weit dieser eine Bauplan trägt, auch wenn rechts nicht null steht. Stell dir einen Stromkreis mit Widerstand $R$ und Spule (Induktivität $L$) vor. Zum Zeitpunkt $t = 0$ legst du eine feste Spannung $U$ an und fragst: wie baut sich der Strom $I(t)$ auf? Die Physik (Kirchhoff plus Induktionsgesetz) liefert $L\,\dot{I} = -R\,I + U$. Das ist nicht mehr reines Abklingen, denn rechts steht ein störender Zusatzterm $+U$. Trotzdem lässt es sich mit einem Trick auf das Abkling-Modell zurückführen.

Was unterscheidet ein Anfangswertproblem von der reinen DGL?

Die DGL allein liefert eine ganze Funktionen-Schar (allgemeine Lösung). Ein Anfangswertproblem (AWP) besteht aus der DGL plus genau so vielen Anfangsbedingungen, wie die DGL Ordnung hat. Für Ordnung 1 reicht eine Anfangsbedingung der Form $y(t_0) = y_0$. Die zugehörige Lösung heisst spezielle Lösung.

Begrifflich kennen wir das schon aus Kap. VII.1 §3.4. In Abschnitt 3.1 oben haben wir den Mechanismus an Wachstum und Abklingen ein zweites Mal exerziert, jetzt formalisieren wir die Standardform für DGL 1. Ordnung.

Hat ein AWP immer genau eine Lösung, oder können verschiedene Funktionen durch denselben Anfangspunkt verlaufen?

Geometrische Intuition: an jedem Punkt $(t_0, y_0)$ gibt die DGL $y' = f(t, y)$ genau einen Wert für die Steigung vor, nämlich $f(t_0, y_0)$. Eine Lösungskurve folgt dieser Steigungsvorschrift Schritt für Schritt. Zwei verschiedene Lösungen durch denselben Punkt müssten dort dieselbe Steigung haben, also lokal übereinstimmen, und liefen damit identisch weiter.

Daraus folgt anschaulich: Lösungen können sich nicht kreuzen, sie partitionieren die $(t, y)$-Ebene wie nicht-überschneidende Bahnen in einem Strömungsbild. Für glatte rechte Seiten $f$ ist diese Eindeutigkeit auch mathematisch streng beweisbar (Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf, Kap. VII.3). Bei den Wachstums- und Abkling-Modellen aus Abschnitt 1 und 2 ist $f(t, y) = \pm k\, y$ überall glatt, also ist die Eindeutigkeit garantiert.

Wirf einen Stein aus dem Fenster. Ohne Luftwiderstand würde er unbegrenzt schneller werden. Mit Luftwiderstand stellt sich nach einer Weile eine Endgeschwindigkeit ein. Welche DGL beschreibt das?

Newton in vertikaler Richtung: Schwerkraft $m g$ nach unten, Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit und entgegen der Bewegung. Mit positiver Richtung nach unten und Reibungskonstante $a > 0$ (Einheit kg/s): $m\, \ddot{x} = m g - a\, \dot{x}$. Achtung: $a$ ist hier die Reibungskonstante, nicht zu verwechseln mit der Wachstumsrate $k$ aus Abschnitt 1.

Eine DGL Ordnung 2 in $x$. Trick: uns interessiert nur die Geschwindigkeit $v = \dot{x}$, nicht die Position. Mit $v = \dot{x}$ ist $\dot{v} = \ddot{x}$, und die DGL wird $m\, \dot{v} = m g - a\, v$: eine lineare DGL 1. Ordnung in $v$ mit konstanter Inhomogenität $m g$. Dieselbe Reduktion kennen wir aus Kap. VII.1 §1.1, systematisch dann in Kap. VII.12.

Ansatz: $v(t) = v_{\mathrm{part}} + v_{\mathrm{hom}}(t)$. Die konstante Partikulär-Lösung folgt aus $0 = m g - a\, v_{\mathrm{part}}$, also $v_{\mathrm{part}} = m g / a$.

Die homogene Gleichung $m\, \dot{v} = -a\, v$ ist das Abkling-Modell aus Abschnitt 2.1 mit Rate $a/m$, Lösung $v_{\mathrm{hom}}(t) = C\, e^{-a t / m}$. Gesamtlösung: $v(t) = m g / a + C\, e^{-a t / m}$.

Anfangsbedingung $v(0) = 0$ (Stein losgelassen, nicht geworfen): $0 = m g / a + C$, also $C = -m g / a$. Einsetzen: $v(t) = (m g / a)\, (1 - e^{-a t / m})$.

Die Endgeschwindigkeit ist die Asymptote für $t \to \infty$: $v_\infty = m g / a$. Die allgemeine Behandlung dieser Klasse folgt in Kap. VII.5.