Kap. 1: Strom und Ladung

Wenn derselbe Strom $I$ durch einen dicken und einen dünnen Draht fliesst: wo drängeln sich die Ladungen mehr? Die Stromstärke $I$ allein verrät das nicht, denn sie zählt nur die Gesamtladung pro Sekunde. Was fehlt, ist eine lokale Grösse, die sagt, wie viel Strom durch jedes einzelne Stückchen Querschnitt geht. Das ist die Stromdichte.

In Worten: $j$ ist eine punktweise Grösse, $I$ eine Gesamtgrösse. Bei homogener Stromdichte reduziert sich das Integral zu $I = j\cdot A$, sonst musst du über die Fläche aufsummieren. Dasselbe Pattern wie der Fluss eines Vektorfelds in der Vektoranalysis.

Die beiden Drähte unten führen denselben Strom $I$ (Schieber), aber der untere ist viermal dünner. Beobachte: im dünnen Draht drängeln sich die Träger und fliessen sichtbar schneller, weil $j = I/A$ dort viermal grösser ist. Die genauen $j$-Werte für beide Drähte stehen im Readout-Streifen unter der Leinwand.

Kann man beliebig wenig Ladung haben, so wie man beliebig wenig Wasser abmessen kann? Nein. Ladung kommt in festen Päckchen. Das kleinste Päckchen ist die Elementarladung $e$; jede Ladung, die man je gemessen hat, ist ein ganzzahliges Vielfaches davon.

In Worten: Integrierst du den Strom über die Zeit, bekommst du die durchgeflossene Ladung $Q$. Zählst du stattdessen die Träger, ist $Q = N\,e$ mit der Anzahl $N$. Beide Sichtweisen liefern dasselbe $Q$. Weil $N$ eine ganze Zahl ist, wächst $Q$ in winzigen, aber diskreten Stufen von je $e$, nie kontinuierlich.

Unten kreuzen einzelne Elektronen die gestrichelte Querschnittslinie. Jedes Mal, wenn eines durchgeht, springt der Zähler $n$ um eins, und die Gesamtladung $Q = n\cdot e$ wächst um genau ein Päckchen $e$, sichtbar als Stufe auf dem Zahlenstrahl. Der Speed-Schieber beschleunigt den Durchfluss, der Reset-Knopf stellt den Zähler auf null zurück. Die Live-Werte stehen im Readout-Streifen.

Ladung muss nicht in einem Punkt sitzen. Sie kann auf einer Linie verschmiert sein (ein geladener Draht), auf einer Fläche (eine Kondensatorplatte) oder in einem Volumen (eine Raumladungswolke). Für jeden dieser drei Fälle gibt es eine eigene Dichte, die sagt, wie viel Ladung pro Längen-, Flächen- oder Volumeneinheit sitzt.

Unten siehst du dieselbe Gesamtladung $Q$ dreimal anders verteilt: links auf einer Linie ($\lambda$), in der Mitte auf einer Fläche ($\sigma$), rechts in einem Volumen ($\rho$). Zieh den Schieber $Q$ und beobachte, wie sich die Punktdichte in allen drei Spalten gleichzeitig ändert; die zugehörigen Dichtewerte aktualisieren sich live im Readout-Streifen.

Du drückst den Lichtschalter, und die Lampe leuchtet sofort. Rasen die Elektronen mit Lichtgeschwindigkeit durch den Draht? Überraschenderweise nein: die einzelnen Elektronen kriechen geradezu. Trotzdem kommt das Signal fast augenblicklich an. Diese zwei Geschwindigkeiten muss man auseinanderhalten.

Drift gegen Signal. Die Driftgeschwindigkeit $v_d$ ist nicht die thermische Geschwindigkeit der Elektronen. Die thermische Bewegung im Kupfer liegt bei rund $10^6\,\mathrm{m/s}$, chaotisch in alle Richtungen, mittelt sich zu null. Die mittlere Drift in Stromrichtung dagegen ist nur $\sim 0.1\,\mathrm{mm/s}$. Trotzdem leuchtet die Lampe sofort: nicht die einzelnen Elektronen rasen durch den Draht, sondern das elektrische Signal breitet sich praktisch mit Lichtgeschwindigkeit aus, ähnlich wie ein Schubs am Anfang einer langen Murmelkette sofort am Ende ankommt.

Oben kriechen viele Elektronen mit der winzigen Driftgeschwindigkeit $v_d$ nach links. Unten rast ein einzelner gelber Signal-Puls fast mit Lichtgeschwindigkeit. Mit dem Toggle blendest du nur die Drift, nur das Signal oder beide gleichzeitig ein; der Schieber Strom $I$ erhöht $v_d$. Der gewaltige Faktor zwischen Signal und Drift steht im Readout-Streifen.

Gilt $U = R\cdot I$ immer? Nur für brave Bauteile. Bei einem Stück Kupferdraht ist $R$ tatsächlich konstant. Bei einer Glühbirne, einer Diode oder einem Halbleiter dagegen hängt der Widerstand vom Arbeitspunkt ab. Solche Bauteile heissen nicht-ohmsch, und ihre Kennlinie ist keine Gerade mehr.

In Worten: Ohmsche Leiter haben einen konstanten $R$, ihre $U(I)$-Kennlinie ist eine Gerade durch den Ursprung. Nicht-ohmsche Leiter haben gekrümmte Kennlinien. Wenn man bei ihnen trotzdem einen lokalen Widerstand definieren will, nimmt man den differentiellen Widerstand $R_{\text{diff}} = dU/dI$, also die Tangentensteigung an einem Arbeitspunkt.

Im Plot unten ist die grüne Gerade ein ohmscher Widerstand ($R = 2\,\Omega$ konstant), die orange Kurve ein nicht-ohmsches Bauteil. Schieb den Arbeitspunkt $I_0$ entlang der Kurve: die eingezeichnete Tangente ist der differentielle Widerstand $R_{\text{diff}} = dU/dI$ an dieser Stelle. Bei der Geraden bleibt er konstant, bei der Kurve ändert er sich sichtbar. Die Werte stehen im Readout.

Warum wird der Widerstand eines Metalls grösser, wenn es heiss wird? Anschaulich: bei höherer Temperatur schwingen die Atome im Gitter heftiger. Ein Elektron, das durchwill, stösst dann häufiger an, kommt schlechter durch, der Widerstand steigt. Quantitativ linearisiert man diesen Effekt mit einem Temperaturkoeffizienten $\alpha$.

Achtung Bauteil-Falle. Das Ohmsche Gesetz mit $R = \text{const}$ gilt nur bei konstanter Temperatur. Eine Glühbirne im Betrieb wird heiss, ihr $\rho$ und damit ihr $R$ steigen stark an, sie ist im Betrieb also nicht-ohmsch. Genau das macht sie zu einem der nicht-ohmschen Bauteile aus Abschnitt 2.2.

Die Kurve unten ist $\rho(T)$ für Kupfer. Zieh den Temperatur-Schieber: der Arbeitspunkt (Fadenkreuz) wandert die Gerade entlang, und im Readout siehst du $\rho(T)$ und den Widerstand pro Meter steigen. Bei Metallen geht es bergauf, weil das Gitter mit der Temperatur heftiger schwingt.

Warum leitet Kupfer den Strom mühelos, Glas praktisch gar nicht und Silizium irgendwo dazwischen? Der spezifische Widerstand $\rho$ spannt einen gewaltigen Bereich auf, über mehr als zwanzig Zehnerpotenzen. Drei Material-Klassen sollte man im Kopf haben.

Leiter (Metalle): $\rho \sim 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$. Cu = $1.68\times 10^{-8}$, Al = $2.82\times 10^{-8}$, Ag = $1.59\times 10^{-8}$.

Halbleiter: $\rho$ irgendwo zwischen $10^{-3}$ und $10^{3}\,\Omega\,\mathrm{m}$. Si bei Raumtemperatur $\sim 10^3$.

Isolatoren: $\rho \gtrsim 10^{8}\,\Omega\,\mathrm{m}$. Glas, Gummi, Keramik.

Unten sitzen die Materialien als Balken auf einer logarithmischen $\rho$-Achse über 24 Grössenordnungen. Schieb die Probe-Linie über die Achse: der Readout zeigt $\rho$ an dieser Stelle und in welche Klasse (Leiter, Halbleiter, Isolator) sie fällt. Sieh, wie eng die Metalle links beieinander liegen und wie weit weg Glas und Gummi rechts sitzen.

Die zweite Kirchhoff-Regel betrifft eine geschlossene Schleife (Masche). Sie ist die Energieerhaltung in Schaltungsform: läufst du einmal im Kreis herum und kommst wieder am Start an, muss die Summe aller Spannungs-Hubs und -Abfälle null sein.

In Worten: Läufst du im Kreis durch eine geschlossene Masche, kommst du am Startpunkt mit demselben Potential an, mit dem du losgegangen bist. Konkret: die Summe aller Spannungs-Hubs (Batterien) gleich der Summe aller Spannungsabfälle (Widerstände).

Unten siehst du eine geschlossene Masche mit Batterie und zwei Widerständen in Reihe. Das Balkendiagramm rechts startet beim Spannungs-Hub $+U_Q$ der Batterie und zieht für jeden Widerstand seinen Spannungsabfall ab; am Ende landet es wieder bei $0\,\mathrm{V}$. Zieh $R_1$ und $R_2$ und beobachte, wie sich die Abfälle umverteilen, ihre Summe aber stets gleich $U_Q$ bleibt.

Was passiert, wenn du mehrere Widerstände hintereinander in einen einzigen Strompfad hängst? Es gibt keinen Abzweig, also fliesst durch alle derselbe Strom. Aus den zwei Kirchhoff-Regeln folgt sofort, wie sich die Widerstände addieren.

Reihenschaltung erklärt. Der Strom durch alle ist gleich (KCL am Knoten zwischen zwei Widerständen). Die Spannungen addieren sich (KVL um die Masche). Daraus $R_{\text{tot}} = \sum R_i$. Faustregel: Serie macht den Gesamtwiderstand grösser.

Unten hängen drei Widerstände in Reihe an einer Batterie. Derselbe Strom $I$ läuft durch alle. Zieh die drei $R$-Schieber: im Readout siehst du $R_{\text{ges}} = R_1+R_2+R_3$ wachsen und $I = U_Q/R_{\text{ges}}$ entsprechend sinken, während sich die drei Spannungsabfälle exakt zu $U_Q$ aufsummieren.

Und wenn du die Widerstände stattdessen nebeneinander zwischen dasselbe Knotenpaar hängst? Dann liegt an allen dieselbe Spannung, aber jeder zieht seinen eigenen Strom. Das Ergebnis ist umgekehrt zur Reihenschaltung: der Gesamtwiderstand wird kleiner.

Parallelschaltung erklärt. Die Spannung über allen ist gleich (alle hängen am selben Knotenpaar). Die Ströme addieren sich (KCL am Eingangsknoten). Daraus $1/R_{\text{tot}} = \sum 1/R_i$. Faustregel: Parallel macht den Gesamtwiderstand kleiner als jeder Einzelwiderstand.

Stromteiler. Zwei Widerstände $R_1, R_2$ parallel mit Gesamtstrom $I$: $I_1 = I\cdot R_2/(R_1+R_2)$. Achtung, umgekehrt zum Spannungsteiler: der kleinere Widerstand bekommt den grösseren Strom-Anteil.

Quickie für zwei parallele Widerstände: $R_{\text{tot}} = R_1 R_2 / (R_1+R_2)$ (Produkt durch Summe). Spart das Kehrwert-Hin-und-Her.

Unten hängen drei Widerstände parallel an derselben Quellspannung $U_Q$. Jeder Zweig führt seinen eigenen Strom, der kleinste Widerstand am meisten. Zieh die Schieber und beobachte: $R_{\text{ges}}$ wird kleiner als der kleinste Einzelwiderstand, und die drei Zweigströme addieren sich exakt zum Gesamtstrom (Readout).

Manche Netzwerke lassen sich nicht durch reine Serie- oder Parallelschaltungen reduzieren. Klassisches Beispiel: drei Widerstände im Dreieck zwischen drei Knoten oder als Stern um einen zentralen Knoten. Die Stern-Dreieck-Umwandlung (auch Y-Δ-Transformation) verwandelt eine Konfiguration in die andere und löst damit das Problem.

Setup. Im Dreieck verbinden drei Widerstände $R_{ab}, R_{bc}, R_{ac}$ drei äussere Knoten $a, b, c$ paarweise. Im Stern führen drei Widerstände $R_a, R_b, R_c$ von einem zentralen Knoten $0$ zu den drei äusseren Knoten. Beide Konfigurationen sind elektrisch äquivalent, wenn sie zwischen den drei Aussenknoten dieselben Widerstände aufweisen. Die folgenden Formeln liefern den Umrechnungsmechanismus.

Wann brauche ich das? Genau dann, wenn weder Serie noch Parallel allein das Netzwerk vereinfachen. Typische Beispiele: die Wheatstone-Brücke (siehe 7.1) im allgemeinen, nicht-abgeglichenen Zustand; ein Würfel mit 12 gleichen Widerständen entlang der Kanten; Drei-Phasen-Netzwerke in der Energietechnik. Symmetrie-Spezialfall: wenn alle drei Stern- oder Dreieckswiderstände gleich sind, vereinfachen sich die Formeln zu $R_Y = R_\Delta/3$ beziehungsweise $R_\Delta = 3\,R_Y$.

Links das Dreieck mit den Widerständen $R_{ab}, R_{bc}, R_{ac}$, rechts der äquivalente Stern. Zieh die drei Dreieckswiderstände an den Schiebern: die Sternwerte $R_a, R_b, R_c$ im Readout werden live aus den Δ→Y-Formeln berechnet. Beide Schaltungen verhalten sich an den drei Aussenknoten $a, b, c$ exakt gleich.

Bei grossen Netzwerken (mehr als drei oder vier Maschen) wird Kirchhoff per Hand schnell unübersichtlich. Zwei systematische Verfahren reduzieren das Problem auf ein lineares Gleichungssystem mit klar definierten Unbekannten: die Maschenstrom-Methode und die Knotenpotential-Methode.

Maschenstrom-Methode. Definiere für jede unabhängige Masche einen Maschenstrom $J_i$, der die ganze Masche umrundet. Tatsächliche Zweigströme sind Summen der durchlaufenden Maschenströme: ein Zweig, der zu zwei Maschen $i$ und $j$ gehört, trägt den Strom $J_i \pm J_j$ (Vorzeichen je nach Umlaufrichtung). KVL um jede Masche liefert so viele Gleichungen wie Maschenströme. Vorteil: KCL ist automatisch erfüllt, weil jeder Maschenstrom in jeden Knoten genauso hineinfliesst wie er hinausfliesst.

Knotenpotential-Methode. Wähle einen Knoten als Bezugspunkt (Masse, $\varphi = 0$). Definiere für jeden anderen Knoten ein Potential $\varphi_k$. Zweigströme folgen aus dem Ohmschen Gesetz: zwischen Knoten $a$ und $b$ über Widerstand $R$ fliesst $I_{ab} = (\varphi_a - \varphi_b)/R$. KCL an jedem Knoten ausser der Masse liefert die Gleichungen. Vorteil: KVL ist automatisch erfüllt, weil ein Potential per Definition wegunabhängig ist.

Wann welche Methode? Faustregel über die Anzahl Unbekannter:

Maschenstrom wenn das Netzwerk wenige Maschen, aber viele Knoten hat (planare Schaltung mit wenigen Bereichen).

Knotenpotential wenn wenige Knoten, aber viele Zweige (sternförmige Topologie).

Beide Methoden sind äquivalent und liefern dasselbe Resultat. Wähle die mit weniger Unbekannten.

Unten ein Zwei-Maschen-Netzwerk. Der blaue Kreispfeil ist der Maschenstrom $J_1$ der linken Masche, der orange $J_2$ der rechten. Im gemeinsamen Widerstand $R_3$ überlagern sie sich zum echten Zweigstrom $J_1 - J_2$. Zieh die Schieber für $U_Q$ und die drei Widerstände und beobachte im Readout, wie die drei Ströme zusammenhängen.

Wo bleibt die Energie, die die Batterie liefert, wenn ein Strom durch einen Widerstand fliesst? Sie wird im Widerstand zu Wärme (Joule-Erwärmung). Wie viel pro Sekunde, also welche Leistung, sagt eine der meistgebrauchten Formeln des ganzen Kapitels.

In Worten: Leistung ist Energie pro Zeit. An einem Bauteil mit Spannungsabfall $U$ und Strom $I$ wird $P = U\,I$ Energie pro Sekunde umgesetzt. Mit dem Ohmschen Gesetz $U = R\,I$ folgen die zwei äquivalenten Formen $P = I^2 R$ und $P = U^2/R$. Welche du nimmst, hängt davon ab, was gegeben ist. Tipp: alle drei aufschreiben und die wählen, in der nur bekannte Grössen stehen.

Energie aus Leistung. Über eine Zeit $t$ aufaddiert: $W = P\,t$. Übliche Einheit für Stromrechnungen ist die Kilowattstunde, $1\,\mathrm{kWh} = 3.6\,\mathrm{MJ}$. Dein Stromzähler zu Hause misst genau das.

Im Kreis unten glüht der Widerstand orange, und die Stärke des Glühens folgt direkt der vom Solver berechneten Leistung $P$. Zieh $U$ hoch oder $R$ herunter: der Readout zeigt, dass die drei Formen $P = U\cdot I = R\,I^2 = U^2/R$ stets denselben Wert ergeben. Mehr Leistung heisst sichtbar heisseres Glühen.

In Aufgaben ist der Drahtquerschnitt fast nie direkt gegeben, sondern über den Durchmesser $d$. Bevor man $R = \rho\,l/A$ einsetzen kann, muss man daraus die Fläche $A$ rechnen. Für einen runden Draht ist das eine kleine, aber unverzichtbare Geometrie-Formel.

Worauf achten. Weil $A \propto d^2$, ist der Effekt des Durchmessers überproportional: verdoppelst du $d$, vervierfachst du $A$ und viertelst damit den Widerstand pro Meter. Das ist der Grund, warum schon kleine Durchmesser-Unterschiede den Widerstand stark verändern.

Unten vier Kupferdrähte im Querschnitt mit Durchmessern von 0.5 bis 2.6 mm. Unter jedem stehen die Fläche $A = \pi d^2/4$ und der Widerstand pro Meter für Kupfer. Vergleiche die vier: der doppelte Durchmesser ergibt die vierfache Fläche und nur ein Viertel des Widerstands pro Meter. Der Speed-Schieber regelt die kreisenden Elektronen im Inneren.

Eine reale Quelle hat einen Innenwiderstand $R_i$. Wann gibt sie die meiste Leistung an eine externe Last $R_{\text{ext}}$ ab? Und ist das dasselbe wie der beste Wirkungsgrad? Überraschenderweise nicht: maximale Leistung und maximaler Wirkungsgrad sind zwei verschiedene Optimierungsziele, die sich sogar ausschliessen.

Setup. Eine reale Quelle mit Quellspannung $U_Q$ und Innenwiderstand $R_i$ speist eine externe Last $R_{\text{ext}}$. Strom im Kreis (KVL): $I = U_Q/(R_i + R_{\text{ext}})$. Spannung an der Last: $U_L = R_{\text{ext}}\,I$. Daraus die abgegebene Leistung an die Last:

Maximum bestimmen. Ableiten nach $R$ und null setzen: $\frac{dP_{\text{ext}}}{dR} = U_Q^2 \cdot \frac{R_i - R}{(R+R_i)^3}$. Null genau bei $R = R_i$ (Impedanzanpassung). Zweite Ableitung negativ, also Maximum. Eingesetzt:

Der Trade-off. Bei Impedanzanpassung ($R_{\text{ext}} = R_i$) ist $\eta = 50\,\%$: genau die Hälfte der Energie geht in $R_i$ verloren (die Batterie wird heiss). Will man hohen Wirkungsgrad, muss $R_{\text{ext}} \gg R_i$ sein, aber dann ist die abgegebene Leistung klein. Will man maximale Leistung, ist $R_{\text{ext}} = R_i$, aber Wirkungsgrad nur 50 Prozent. Beide Ziele schliessen sich gegenseitig aus.

Im Plot unten ist die blaue Kurve die an die Last abgegebene Leistung $P_{\text{ext}}(R)$, die grüne gestrichelte der Wirkungsgrad $\eta$. Schieb $R$: der Arbeitspunkt wandert, und genau bei $R = R_i$ (goldener Marker) ist $P_{\text{ext}}$ maximal, der Wirkungsgrad aber nur 50 Prozent. Schiebst du $R_i$, wandert das Maximum mit. Die Live-Werte stehen im Readout.