VII.10 Zwei Klassen von leicht lösbaren linearen DGL

Welche eine Funktion bleibt bei beliebig oft Ableiten formal immer dieselbe, nur mit anderem Vorfaktor? Genau diese Eigenschaft des Exponentials machen wir uns hier zunutze.

Schau auf die Funktion $y = e^{\lambda x}$ mit einer noch unbekannten Zahl $\lambda$. Jede Ableitung produziert wieder ein Exponential, nur mit einem zusätzlichen Faktor $\lambda$:

Anschaulich: $e^{\lambda x}$ ist die Eigenfunktion des Ableitens. Wie ein Eigenvektor von der Matrix nur skaliert (nicht gedreht) wird, wird $e^{\lambda x}$ vom Ableiten nur skaliert, mit Faktor $\lambda$.

Setze nun $y = e^{\lambda x}$ in die DGL aus 1.1 ein. Jeder Term hat denselben Exponential-Faktor $e^{\lambda x}$, der sich überall herausklammern lässt:

Die ganze DGL kollabiert auf eine Polynomgleichung in $\lambda$. Sie bekommt in §2 einen Namen und ist der Schlüssel zum Kapitel. Aus einem unendlich-dimensionalen Funktionen-Problem wird ein endliches algebraisches, das du in Minuten knackst.

Wie viele Nullstellen gibt das charakteristische Polynom, und sind das genug Lösungen für ein Fundamentalsystem? Wenn $\lambda$ Nullstelle des Polynoms ist, ist $e^{\lambda x}$ Lösung der DGL.

Der Übergang aus 1.2 sagt es bereits: einsetzen von $y = e^{\lambda x}$ liefert $\chi(\lambda)\, e^{\lambda x} = 0$. Da das Exponential nirgends null ist, muss $\chi(\lambda) = 0$ gelten. Wir formulieren das als Hauptsatz:

Anschaulich: die Nullstellen sind die erlaubten Exponenten. Jede Nullstelle $\lambda_k$ liefert einen Lösungs-Baustein $y_k = e^{\lambda_k x}$. Damit ist die Suche nach Lösungen der DGL auf die Suche nach Nullstellen eines Polynoms reduziert.

Wie viele Nullstellen gibt es? Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert: ein Polynom vom Grad $n$ hat genau $n$ Nullstellen, gezählt mit Vielfachheit und über den komplexen Zahlen. Genau diese $n$ Nullstellen liefern uns die $n$ Bausteine, die wir gemäss VII.9 für ein Fundamentalsystem brauchen. Die Dimension passt zur Ordnung der DGL, ganz wie in VII.9 §2.1 versprochen.

Achtung Stolperstellen: eine mehrfache Nullstelle liefert nur eine Lösung, obwohl wir mehrere bräuchten; komplexe Nullstellen geben formal komplexe Exponentiale, wir wollen aber reelle Lösungen. Beides reparieren wir in §3.

Der Plan steht aber: Polynom-Nullstellen einsammeln, daraus Exponential-Basis bauen, fertig.

Eine doppelte Nullstelle gibt dir nur eine Exponential-Lösung, obwohl du zwei brauchst. Wo kommt die zweite her?

Sei $\lambda_0$ eine Nullstelle von $\chi(\lambda)$ mit Vielfachheit $k$. Das heisst, $\chi$ enthält den Faktor $(\lambda - \lambda_0)^k$. Naiv bekommst du nur den einen Baustein $e^{\lambda_0 x}$. Du brauchst aber $k$ unabhängige, sonst zerreisst die Dimensions-Bilanz aus 2.2.

Der Trick: multipliziere $e^{\lambda_0 x}$ mit $x, x^2, \dots, x^{k-1}$. Diese $k$ Funktionen sind linear unabhängig und lösen alle die DGL. Damit hast du genau $k$ Bausteine pro Nullstelle der Vielfachheit $k$.

Anschaulich: die doppelte Nullstelle ist wie eine doppelte Resonanz: zwei Bausteine kollabieren in einen, und du erzeugst den zweiten, indem du den ersten mit $x$ multiplizierst. Dieselbe Idee wie der Resonanzfall in VII.9 §4.2.

Konkreter Fall. Nimm $y''' - 3\, y'' + 3\, y' - y = 0$, also $\chi(\lambda) = (\lambda - 1)^3$, dreifache Nullstelle $\lambda_0 = 1$. Fundamentalsystem $\{e^{x}, x\, e^{x}, x^2\, e^{x}\}$, Lösung $y_h = C_1\, e^{x} + C_2\, x\, e^{x} + C_3\, x^2\, e^{x}$.

Probe am mittleren Baustein: $(x\, e^{x})' = (1 + x)\, e^{x}$, $'' = (2 + x)\, e^{x}$, $''' = (3 + x)\, e^{x}$, einsetzen $(3 + x) - 3(2 + x) + 3(1 + x) - x = 0$. Passt.

Bei komplex-konjugierten Nullstellen $\lambda = \alpha \pm i\beta$ kämen formal komplexe Exponentiale heraus. Wie holst du daraus reelle Lösungen?

Wir gehen schrittweise vor. Reelle Koeffizienten in $\chi(\lambda)$ garantieren, dass komplexe Nullstellen paarweise als $\lambda_\pm = \alpha \pm i\beta$ auftreten ($\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $\beta > 0$). Beide liefern formal je einen Exponential-Baustein:

Eulersche Formel: $e^{i\beta x} = \cos(\beta x) + i\, \sin(\beta x)$. Damit wird $y_+ = e^{\alpha x}\, \bigl(\cos(\beta x) + i\, \sin(\beta x)\bigr)$, und entsprechend $y_- = e^{\alpha x}\, \bigl(\cos(\beta x) - i\, \sin(\beta x)\bigr)$ (Vorzeichenwechsel beim Imaginärteil).

Trick: dank Linearität (VII.9 §1.3) ist jede Linearkombination erlaubt. Halb-Summe der beiden komplexen Bausteine gibt den Realteil, Halb-Differenz (durch $2i$) den Imaginärteil. Beide sind reell und linear unabhängig.

Anschaulich: $\alpha$ ist die Dämpfungs-Rate (positives $\alpha$: Anschwellen, negatives $\alpha$: Abklingen, $\alpha = 0$: ungedämpft) und $\beta$ die Schwingungs-Frequenz. Reale Schwingungs-Systeme (Pendel mit Luftreibung, Schwingkreis mit Widerstand) tragen genau diese Bauteile, und der Mantel $e^{\alpha x}$ ist die Einhüllende, in der die Sinus-Welle steckt.

Diese geometrische Lesart ist die Schiene, auf der das nächste Kapitel zur gedämpften Schwingung läuft: die Stärke der Dämpfung entscheidet, ob $\alpha$ und $\beta$ beide auftreten oder ob die Nullstelle reell wird.

Kombiniere die beiden Spezialfälle: was ist, wenn ein komplexes Nullstellen-Paar mit Vielfachheit zwei auftritt?

Sei $\alpha \pm i\beta$ ein konjugiert-komplexes Paar mit Vielfachheit $k$. Aus 3.2 weisst du: pro Vielfachheit musst du den Standard-Baustein mit $1, x, x^2, \dots, x^{k-1}$ versehen. Aus 3.3 weisst du: das komplexe Paar liefert reelle Bausteine $e^{\alpha x}\, \cos(\beta x)$ und $e^{\alpha x}\, \sin(\beta x)$. Beides kombinierst du:

Konkreter Fall. Nimm $y^{(4)} + 2\, y'' + y = 0$, also $\chi(\lambda) = (\lambda^2 + 1)^2$, $\lambda = \pm i$ jeweils doppelt ($\alpha = 0$, $\beta = 1$, $k = 2$).

Das Fundamentalsystem ist $\{\cos(x), \sin(x), x\, \cos(x), x\, \sin(x)\}$, vier reelle Bausteine (passt zu Polynom-Grad $4$).

Diese Tabelle ist dein Spickzettel: vier Zeilen, jede liefert die genaue Form. In der Klausur faktorisierst du $\chi(\lambda)$, identifizierst die Nullstellen-Typen, liest die Zeilen ab, mischst alles mit Konstanten. Mehr Stoff hat dieses Kapitel-Stück nicht.

Was passiert, wenn das Vorzeichen vor $y$ umkippt? Aus den Schwingungen werden hyperbolische Funktionen. Die Theorie produziert das automatisch aus dem charakteristischen Polynom.

Gegeben sei $y'' - y = 0$. Verglichen mit 4.1 hat sich nur das Vorzeichen vor $y$ umgedreht (statt $+\omega^2$ steht $-1$). Konsequenz für das charakteristische Polynom:

Tabellen-Anwendung (Zeile reell, einfach aus 3.4): zwei reelle Bausteine $e^{x}$ und $e^{-x}$. Die allgemeine Lösung lautet

Anschaulich: das Vorzeichen des Glieds bei $y$ entscheidet alles. Vorzeichen $+\omega^2$ heisst rücktreibende Kraft (Schwingung), Vorzeichen $-1$ heisst abstossende Kraft (exponentielles Auseinanderlaufen). Genau diesen Unterschied liest das charakteristische Polynom aus dem Vorzeichen ab, ohne dass du physikalisch argumentieren müsstest.

Anwendung: hyperbolische Funktionen tauchen in der Wärmeleitung mit festem Temperatur-Profil, in der Statik eines hängenden Seils (Kettenlinie), und im stationären E-Feld in Schichten auf. Immer dort, wo etwas fern vom Rand exponentiell abklingt, statt zu schwingen.

Wie kombinierst du die drei Bauteile aus §3, wenn eine DGL 3. oder 4. Ordnung gleichzeitig reelle, doppelte und komplexe Nullstellen hat? Wie ein Lego-Set: jeder Nullstellen-Typ bringt seine Bausteine ein, am Ende stehst du mit $n$ unabhängigen Lösungen da.

Beispiel 1. Nimm $y''' + y' = 0$. Lese-Trick: $\chi(\lambda) = \lambda^3 + \lambda = \lambda\, (\lambda^2 + 1)$, Nullstellen $\lambda \in \{0, +i, -i\}$.

Drei verschiedene Nullstellen: eine reell ($\lambda = 0$), ein konjugiert-komplexes Paar ($\pm i$).

Auswertung mit der Tabelle aus 3.4:

• Zeile reell-einfach: $\lambda = 0$ liefert $e^{0 \cdot x} = 1$.
• Zeile komplex-einfach: $\alpha = 0$, $\beta = 1$ liefert $\cos(x)$ und $\sin(x)$.

Damit ist das Fundamentalsystem $\{1,\, \cos(x),\, \sin(x)\}$ und die allgemeine Lösung

Beispiel 2 (komplex und Vielfachheit zusammen). Nimm $y^{(4)} + 2\, y'' + y = 0$. Das charakteristische Polynom ist $\chi(\lambda) = \lambda^4 + 2\, \lambda^2 + 1 = (\lambda^2 + 1)^2$. Damit ist $\lambda = \pm i$ jeweils doppelt. Mit der Tabellen-Zeile komplex-$k$-fach ergibt sich das Fundamentalsystem $\{\cos(x), \sin(x), x\, \cos(x), x\, \sin(x)\}$ und die allgemeine Lösung

Warum funktioniert bei der Euler-DGL der Exponentialansatz nicht mehr, und was tritt an seine Stelle? Bei konstanten Koeffizienten war $e^{\lambda x}$ der natürliche Ansatz; jetzt sind es Potenzen $x^\mu$.

Der Skalierungs-Bauplan aus 5.1 verlangt eine Ansatz-Funktion, die unter Skalierung $x \to c\, x$ wieder dieselbe Form bekommt. Das tut die Potenz: $(c\, x)^\mu = c^\mu\, x^\mu$. Bis auf einen Vorfaktor identisch. Setze also $y = x^\mu$ mit unbekannter Zahl $\mu$ und schaue, was beim Ableiten passiert:

Beobachtung. Multipliziere $y^{(k)}$ mit dem zugehörigen $x^k$ aus der Euler-DGL: $x^k\, y^{(k)} = \mu\, (\mu - 1)\, \cdots\, (\mu - k + 1)\, x^\mu$. Die Potenz $x^\mu$ ist dieselbe wie bei $y$ selbst. Damit lässt sich $x^\mu$ in der ganzen Euler-DGL überall ausklammern, ähnlich wie das Exponential bei konstanten Koeffizienten in 1.2.

Anschaulich: $x^\mu$ ist die Eigenfunktion des Operators $x \cdot (\mathrm{d}/\mathrm{d}x)$: jede Anwendung gibt $x^\mu$ mal eine Konstante. Damit ist $x^\mu$ die natürliche Sprache skalierungs-invarianter Probleme, wie $e^{\lambda x}$ die der translations-invarianten.

Wie beim charakteristischen Polynom presst der Ansatz die DGL auf eine einzige Polynomgleichung. Hier heisst sie Index-Polynom; die Mechanik ist dieselbe.

Setze $y = x^\mu$ in die Euler-DGL aus 5.1 ein und klammere $x^\mu$ aus. Übrig bleibt das

Speziell für $n = 2$ (häufigster Klausurfall): die Euler-DGL $x^2\, y'' + a\, x\, y' + b\, y = 0$ liefert das einfachere Index-Polynom

In Worten: wie der Lese-Trick aus 2.1 für konstante Koeffizienten, gibt es auch hier eine direkte Übersetzung von Euler-DGL zu Index-Polynom. Multipliziere die fallende Folge $\mu(\mu - 1)\cdots(\mu - k + 1)$ aus den Ableitungen mit dem Vorfaktor $a_k$, summiere alles, fertig.

Brücke zu konstanten Koeffizienten: die Substitution $x = e^t$ verwandelt die Euler-DGL in eine mit konstanten Koeffizienten in der Variable $t$. Die Euler-DGL ist also nur eine verkleidete Form.

Wir rechnen das nicht aus, aber merke dir die Idee als Grund, warum $x^\mu$ und Index-Polynom funktionieren.

Reelle, mehrfache und komplexe Wurzeln des Index-Polynoms werden analog zum konstanten Fall behandelt. Welche Pendants tauchen hier auf?

Die Fallunterscheidung folgt der Struktur aus §3, nur mit der Übersetzung $e^{\lambda x} \leftrightarrow x^\mu$ und $x \leftrightarrow \ln(x)$. Das Wörterbuch:

Übersetzungs-Regel: wo bei konstanten Koeffizienten $x$ stand (im Faktor oder im Argument), steht hier $\ln(x)$. Wo $e^{\lambda x}$ stand, steht hier $x^\mu$. Mehr nicht. Diese Tabelle ist dein Spickzettel für die Euler-DGL.

Beispiel. Nimm $x^2\, y'' - 3\, x\, y' + 4\, y = 0$ aus 5.1. Direkt-Aufstellung mit 5.3: $a = -3$, $b = 4$, also $I(\mu) = \mu^2 + (-3 - 1)\, \mu + 4 = \mu^2 - 4\, \mu + 4 = (\mu - 2)^2$. Doppelte reelle Nullstelle $\mu = 2$. Tabellen-Zeile reell-$k$-fach mit $k = 2$:

Schluss-Probe. Setze $y = x^2\, \ln(x)$ ein: $y' = 2\, x\, \ln(x) + x$, $y'' = 2\, \ln(x) + 3$, also $x^2\, y'' = 2\, x^2\, \ln(x) + 3\, x^2$, $3\, x\, y' = 6\, x^2\, \ln(x) + 3\, x^2$, $4\, y = 4\, x^2\, \ln(x)$.

Summe nach Vorzeichen: $2 - 6 + 4 = 0$ vor $x^2\, \ln(x)$, $3 - 3 = 0$ vor $x^2$. Passt.

Damit ist die Theorie komplett: Euler-DGL erkennen (5.1), Ansatz $y = x^\mu$ machen (5.2), Index-Polynom aufstellen (5.3), Tabelle anwenden (5.4). Vier Schritte, mehr Aufwand verlangt diese Klasse nicht.