VII.7 Enveloppen, singuläre Lösungen und die Clairaut'sche DGL

Wie findet man die Hüllkurve mathematisch, wenn die Schar als implizite Gleichung $F(x, y, C) = 0$ gegeben ist?

Die Antwort ist verblüffend kompakt: lös das System aus zwei Gleichungen, eine für die Schar und eine für ihre Ableitung nach dem Parameter $C$. Dahinter steckt eine geometrische Idee, die wir jetzt skizzieren, denn sie macht die Formel sofort plausibel.

Schau auf die Enveloppe als parametrisierte Kurve $C \mapsto \bigl(x(C), y(C)\bigr)$: für jedes $C$ der Punkt, an dem sie die zugehörige Schar-Kurve berührt.

Da dieser Punkt auf der Schar-Kurve liegt, gilt $F\bigl(x(C), y(C), C\bigr) = 0$ für alle $C$. Die totale Ableitung nach $C$ ist also identisch null:

Die Berührbedingung liefert die zweite Information: an jedem Berührungspunkt stimmen die Steigungen von Enveloppe und Schar-Kurve überein.

Die Steigung der Enveloppe ist $\dot{y}/\dot{x}$, die der impliziten Schar-Kurve $-F_x/F_y$. Gleichsetzen und Umstellen gibt $F_x \dot{x} + F_y \dot{y} = 0$.

Vergleich mit der totalen Ableitung von oben: subtrahiert man die Berührbedingung von der totalen Ableitung, bleibt $F_C = 0$ übrig. Genau diese eine Gleichung suchen wir zusätzlich. Damit ist das Enveloppen-System komplett:

Wie rechnet man eine Enveloppe konkret aus? Zwei Standardbeispiele zum Mitrechnen: die Sicherheitsparabel aus der Ballistik und eine Geradenschar mit einer Hyperbel als Hülle.

Beispiel 1, Wurfparabel-Schar. Ein Massenpunkt wird vom Ursprung mit Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ unter dem Winkel $\alpha$ schräg nach oben abgefeuert. Erdbeschleunigung $g > 0$. Eliminiert man die Zeit aus den Bewegungsgleichungen, erhält man die Bahnkurve in Abhängigkeit von $x$:

Mit der Abkürzung $h := g/(2 v_0^2)$ lautet die Schar-Form $F(x, y, \alpha) := y - x \tan(\alpha) + (h/\cos^2(\alpha))\, x^2 = 0$.

Die Ableitung nach $\alpha$ gibt $F_\alpha = -x/\cos^2(\alpha) + 2h\, \sin(\alpha)\, x^2/\cos^3(\alpha) = 0$, also $\tan(\alpha) = 1/(2hx)$. Einsetzen in $F = 0$ liefert nach Vereinfachung die Enveloppe:

Beispiel 2, Geradenschar mit Hyperbel-Hülle. Familie $y = C\, x + \sqrt{-C}$ mit $C < 0$, in Schar-Form $F(x, y, C) := -y + C x + \sqrt{-C} = 0$.

Ableiten nach $C$: $F_C = x - \dfrac{1}{2\sqrt{-C}} = 0$, also $\sqrt{-C} = 1/(2x)$ und $C = -1/(4x^2)$ für $x > 0$. Einsetzen liefert $y = -1/(4x) + 1/(2x) = 1/(4x)$:

Warum ist die singuläre Lösung meistens genau die Enveloppe der allgemeinen Lösungsschar? Zeigen wir es an einem Beispiel.

Zurück zur DGL $y' = 3\, y^{2/3}$ aus §2.1. Allgemeine Lösungsschar $y = (x - C)^3$, singuläre Lösung $y \equiv 0$. Frage: in welchem Verhältnis steht die Nulllösung zur Schar geometrisch?

Schau auf einen Punkt $(C_0, 0)$. Die Schar-Kurve $y = (x - C_0)^3$ läuft durch ihn, ihre Ableitung dort ist $y' = 3(x - C_0)^2|_{x = C_0} = 0$, dieselbe Steigung wie die Nulllösung $y \equiv 0$. Die beiden berühren sich also in $(C_0, 0)$.

Da das für jedes $C_0$ gilt, berührt die Nulllösung in jedem Punkt der $x$-Achse genau eine Schar-Kurve. Das ist die Definition einer Enveloppe (§1.1).

Welche DGL-Klassen haben überhaupt singuläre Lösungen? Eine kurze Übersicht der Verdachtsfälle, ohne tiefere Theorie.

Die Existenz singulärer Lösungen ist nicht garantiert: lineare DGLs (Kap. VII.5) und separierbare DGLs ohne Nullstellen-Probleme haben meist keine. Drei Klassen sind aber regelmässige Verdachtskandidaten:

Die Tabelle ist nicht vollständig, fängt aber die Klassen aus der Vorlesung ab. Bei impliziten DGLs (Zeile 2) liegen die Verdachtsstellen dort, wo sich die DGL nicht eindeutig nach $y'$ auflösen lässt und sich Lösungszweige treffen.

Bei Clairaut-DGLs (Zeile 3) ist die singuläre Lösung stets vorhanden und immer die Enveloppe der Geradenschar, wie §3 zeigt.

Verbindung zu Orthogonaltrajektorien. Im vorigen Kapitel (VII.6) traten Schar-Berechnungen aus anderem Grund auf: dort fragt man nach Kurvenfamilien, die eine Schar überall senkrecht schneiden. Auch das nutzt das Schar-Verfahren aus §1.2, nur mit einem Vorzeichen-Trick. Enveloppen und Orthogonaltrajektorien sind Geschwister-Konzepte: eines berührt die Schar parallel, das andere schneidet sie senkrecht.

Was passiert, wenn wir die Clairaut'sche DGL einmal nach $x$ differenzieren? Eine elegante Fallunterscheidung wartet.

Schau auf die Standardform $y = x\, y' + g(y')$. Differenzieren beider Seiten nach $x$, mit Kettenregel auf der rechten Seite (denn $y'$ ist eine Funktion von $x$):

Die zwei Faktoren liefern zwei Fälle. Diese Fallunterscheidung ist der Kern des ganzen Kapitels: zwei unabhängige Lösungsklassen aus einer einzigen Produkt-Bedingung.

Fall A: $y'' = 0$. Die zweite Ableitung verschwindet überall, also ist $y'$ konstant. Wir schreiben $y' = C$ mit $C \in \mathbb{R}$. Einsetzen in die ursprüngliche Standardform liefert sofort die allgemeine Lösung:

Fall B: $x + g'(y') = 0$. Hier verschwindet der andere Faktor. Diese Bedingung definiert ebenfalls eine Lösung, allerdings nicht als Geradengleichung, sondern parametrisch über $y'$. Was geometrisch dabei herauskommt und warum es genau die Enveloppe der Geraden aus Fall A ist, schauen wir uns gleich in §3.3 in voller Schönheit an.

Der zweite Fall aus 3.2 liefert eine ganz neue Lösung. Was ist sie geometrisch, und wie hängt sie mit §1 zusammen?

Wir greifen Fall B aus §3.2 auf: $x + g'(y') = 0$. Schreib das Hilfssymbol $p := y'$ und löse die Gleichung nach $x$ auf: $x = -g'(p)$. Setze dieses $x$ in die Clairaut-DGL ein und erhalte $y$ als Funktion von $p$:

Warum ist das die Enveloppe der Geradenschar? Die Schar $y = C x + g(C)$ hat $F$-Form $F = -y + C x + g(C) = 0$. Ableiten nach $C$: $F_C = x + g'(C) = 0$, also $x = -g'(C)$, genau die Bedingung aus Fall B (mit $C \leftrightarrow p$).

Einsetzen in $F = 0$ gibt wieder $y = -p\, g'(p) + g(p)$. Die singuläre Lösung ist also das Enveloppen-System aus §1.2, angewandt auf die Geradenschar: sie ist die Enveloppe der allgemeinen Schar.

Konkretes Beispiel aus der Vorlesung. Wähle $g(p) = -p^2$, also die Clairaut-DGL $y = x\, y' - (y')^2$. Allgemeine Lösung: die Geradenschar $y = C x - C^2$.

Für die singuläre Lösung: $g'(p) = -2p$, also $x = -g'(p) = 2p$ und $p = x/2$. Einsetzen gibt $y = -p\, g'(p) + g(p) = 2p^2 - p^2 = p^2 = (x/2)^2 = x^2/4$: