Kap. 10: Jordansche Normalform

“Wenn die saubere Diagonale nicht klappt, ist das Nächstbeste eine Diagonale mit ein paar Einsen knapp darüber.”

— Leitidee dieses Kapitels

10.1Jordansche Normalform

10.1.1 Wann reicht die Diagonalform nicht?

Du hast früher gelernt, eine Matrix AA in Diagonalform zu bringen: Man sucht eine reguläre Matrix TT, so dass D=T−1ATD = T^{-1} A T eine Diagonalmatrix ist. Auf der Diagonale stehen dann die Eigenwerte, und die Spalten von TT sind die zugehörigen Eigenvektoren. Aber jetzt die ehrliche Frage: Was, wenn das gar nicht geht?

Diagonalisieren funktioniert nur, wenn AA genug Eigenvektoren hat, nämlich nn linear unabhängige. Manche Matrizen haben einen Eigenwert, der mehrfach als Nullstelle auftaucht, aber zu wenige Eigenvektoren dazu liefert. Dann fehlt eine Achse, und das Koordinatensystem aus Eigenvektoren lässt sich nicht ganz aufspannen. Genau hier scheitert die Diagonalform, und die Jordansche Normalform springt ein.

Um den Unterschied sauber zu fassen, brauchen wir zwei Zählweisen für „wie oft ein Eigenwert vorkommt". Beide klingen ähnlich, messen aber völlig verschiedene Dinge. Verwechsle sie nicht.

Die erste Zählweise ist die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts λ∗\lambda_*. Man berechnet das charakteristische Polynom PA(λ)=det⁡(A−λI)P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) und zerlegt es in Linearfaktoren. Die algebraische Vielfachheit von λ∗\lambda_* zählt, wie oft der Faktor (λ−λ∗)(\lambda - \lambda_*) darin vorkommt. Anschaulich: Wie oft ist λ∗\lambda_* eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms?

Die zweite Zählweise ist die geometrische Vielfachheit von λ∗\lambda_*. Sie ist die Dimension des Eigenraums Eλ∗E_{\lambda_*}, also die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu λ∗\lambda_*. Anschaulich: Wie viele eigene Achsen liefert dieser Eigenwert wirklich?

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Algebraische Vielfachheit von λ
PA(λ)=det⁡(A−λI)P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)
alg. Vfh. = Anzahl der Faktoren (λ−λ∗)(\lambda - \lambda_*) in PAP_A, also wie oft λ∗\lambda_* als Nullstelle auftritt.
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Geometrische Vielfachheit von λ
geom. Vfh.=dim⁡(Eλ∗),Eλ∗={ x:(A−λ∗I)x=0 }\begin{aligned} \text{geom. Vfh.} &= \dim(E_{\lambda_*}), \\ E_{\lambda_*} &= \{\,\mathbf{x} : (A - \lambda_* I)\mathbf{x} = \mathbf{0}\,\} \end{aligned}
Dimension des Eigenraums, also die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu λ.
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Grundungleichung der Vielfachheiten
1≤geom. Vfh. von λ∗≤alg. Vfh. von λ∗1 \le \text{geom. Vfh. von } \lambda_* \le \text{alg. Vfh. von } \lambda_*
Es gibt also immer mindestens einen Eigenvektor, aber höchstens so viele, wie die algebraische Vielfachheit zulässt.

Diese Ungleichung ist der Schlüssel. Solange für jeden Eigenwert die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen ist, hat AA genau nn Eigenvektoren, und alles ist sauber diagonalisierbar. Sobald aber für irgendeinen Eigenwert die geometrische Vielfachheit kleiner als die algebraische ausfällt, fehlen Eigenvektoren, und AA ist nicht diagonalisierbar. Dann ist die Jordansche Normalform die richtige Form.

Notation Notation: alg. Vielfachheit
Algebraische Vielfachheit von λ∗\lambda_*: wie oft der Faktor (λ−λ∗)(\lambda - \lambda_*) im charakteristischen Polynom PA(λ)=det⁡(A−λI)P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) vorkommt. Kurz „alg. Vfh.".
Notation Notation: geom. Vielfachheit
Geometrische Vielfachheit von λ∗\lambda_*: die Dimension dim⁡(Eλ∗)\dim(E_{\lambda_*}) des Eigenraums, also die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu λ∗\lambda_*. Kurz „geom. Vfh.".
Querverweis Querverweis
Diagonalisierung, Eigenwerte und Eigenvektoren stammen aus Kap. 6 (Eigenwertproblem). Dort heißt die Transformationsmatrix TT statt QQ; die Rolle ist dieselbe.
Merke Kernaussage
Ist die geometrische Vielfachheit für jeden Eigenwert gleich der algebraischen, ist AA diagonalisierbar. Ist sie für irgendeinen Eigenwert kleiner, brauchst du die Jordansche Normalform.

10.1.2 Die Jordansche Normalform: fast-Diagonalform

Klappt die saubere Diagonale nicht, ist das Nächstbeste eine Diagonale mit ein paar Einsen knapp darüber. Genau das leistet die Jordansche Normalform. Sie ist „fast diagonal": die Eigenwerte stehen wie gewohnt auf der Hauptdiagonale, und die fehlenden Eigenvektoren werden durch Einsen direkt über der Diagonale ausgeglichen.

Der zentrale Satz garantiert, dass das für jede komplexe quadratische Matrix funktioniert. Es gibt also immer eine Jordan-Zerlegung, auch wenn die Matrix nicht diagonalisierbar ist.

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Jordan-Zerlegung einer Matrix
A=QJQ−1,A∈Cn×nA = Q J Q^{-1}, \quad A \in \mathbb{C}^{n \times n}
Q ist regulär (invertierbar), J ist die Jordansche Normalform. Es gibt diese Zerlegung für jede komplexe quadratische Matrix.

In Worten: Wir wechseln mit QQ in ein passendes Koordinatensystem, dort sieht AA aus wie JJ (fast diagonal), und mit Q−1Q^{-1} wechseln wir zurück. Das ist dieselbe Bauart wie bei der Diagonalisierung A=TDT−1A = T D T^{-1}, nur dass JJ etwas mehr als eine reine Diagonalmatrix sein darf.

Die Form JJ selbst ist eine Blockdiagonalmatrix: Auf ihrer Diagonale sitzen kleinere quadratische Blöcke J1,J2,…,JkJ_1, J_2, \ldots, J_k, die Jordan-Blöcke. Überall sonst steht Null.

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Jordansche Normalform als Blockdiagonalmatrix
J=(J10⋯00J2⋯0⋮⋱⋮00⋯Jk)J = \begin{pmatrix} J_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_k \end{pmatrix}
J1J_1 bis JkJ_k sind die Jordan-Blöcke. Sie stehen auf der Diagonale, sonst nur Nullen.

Jeder einzelne Jordan-Block JiJ_i hat eine sehr klare Bauart: ein Eigenwert λi\lambda_i steht auf der ganzen Diagonale des Blocks, direkt darüber (auf der oberen Nebendiagonale, der Superdiagonale) stehen lauter Einsen, und alles andere ist Null. Die λi\lambda_i sind genau die Eigenwerte von AA.

Achtung beim Index: λi\lambda_i ist der Eigenwert des ii-ten Blocks, nicht eine Nummerierung verschiedener Eigenwerte. Ein und derselbe Eigenwert kann in mehreren Blöcken auftreten (nämlich dann, wenn seine geometrische Vielfachheit größer als 11 ist). „Block-Index" und „Eigenwert-Nummer" sind also nicht dasselbe.

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Einzelner Jordan-Block JiJ_i
Ji=(λi10⋯00λi1⋯0⋮⋱⋱⋮0⋯λi10⋯0λi)J_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & & \lambda_i & 1 \\ 0 & \cdots & & 0 & \lambda_i \end{pmatrix}
λᵢ auf der Diagonale, 1 auf der Superdiagonale, sonst 0. Die λᵢ sind die Eigenwerte von A.

Zwei Regeln verknüpfen die Struktur von JJ direkt mit den Vielfachheiten aus Abschnitt 10.1.1. Erstens: Die Anzahl der Jordan-Blöcke zu einem Eigenwert ist seine geometrische Vielfachheit (so viele eigene Achsen, so viele Blöcke). Zweitens: Die Gesamtdimension aller Jordan-Blöcke zu einem Eigenwert λi\lambda_i ist seine algebraische Vielfachheit (so oft taucht der Eigenwert insgesamt auf der Diagonale auf).

Definition Jordansche Normalform
Blockdiagonalmatrix JJ aus Jordan-Blöcken, so dass A=QJQ−1A = QJQ^{-1}. Fast eine Diagonalmatrix: Eigenwerte auf der Diagonale, plus Einsen auf der Superdiagonale für die fehlenden Eigenvektoren.
Notation Notation: Q und J
QQ: reguläre Transformationsmatrix, spielt dieselbe Rolle wie das TT aus der Diagonalisierung (manche Texte schreiben TT, SS oder QQ). JJ: die ganze Jordanform; JiJ_i: ein einzelner Jordan-Block darin.
Notation Notation: λᵢ im Block
λi\lambda_i ist der Eigenwert des ii-ten Blocks. Ein Eigenwert kann in mehreren Blöcken stehen, daher ist der Block-Index ii nicht dieselbe Nummer wie eine Eigenwert-Nummerierung.
Formel Jordan-Block
Ji=(λi10λi)J_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 \\ 0 & \lambda_i \end{pmatrix}
Beispiel eines 2×22 \times 2-Blocks: Eigenwert λi\lambda_i zweimal auf der Diagonale, eine 11 darüber.
Merke Struktur-Regeln
Anzahl Blöcke zu λ\lambda == geometrische Vielfachheit. Gesamtgröße der Blöcke zu λ\lambda == algebraische Vielfachheit.

10.1.3 Wie viele Blöcke, welche Größe? Ein gerechnetes Beispiel

Schau dir die Diagonale einer Matrix an: Woran erkennst du, ob ein wiederholter Eigenwert einen einzigen großen Block oder mehrere kleine Blöcke bildet? Das entscheidet sich nicht durch Raten, sondern durch die Vielfachheiten. Wir rechnen ein Beispiel durch, an dem die Block-Logik sichtbar wird.

Die Matrix ist nicht diagonal. Die Zerlegung A=QJQ−1A = Q J Q^{-1} wird uns vorgegeben (in der Praxis liefert sie ein Rechner). Unsere Aufgabe ist nicht, QQ selbst zu berechnen, sondern aus der gegebenen Zerlegung die Eigenwerte und ihre Vielfachheiten abzulesen. Genau dabei zeigt sich die feine Stolperfalle bei wiederholten Eigenwerten.

Beispiel. Eigenwerte aus einer gegebenen Zerlegung ablesen

  1. Schritt 1: Die gegebene Matrix
    Diese 3×33 \times 3-Matrix ist nicht diagonal, eine Jordanform ist hier also kein triviales Ablesen mehr.
    Ausgangsmatrix:
    A=(1−3−2−11−1245)A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}
  2. Schritt 2: Die vorgegebene Zerlegung
    Die Transformationsmatrix QQ und die Jordanform JJ sind uns gegeben (mit einem Rechner bestimmt). Wir nehmen sie als bekannt hin und arbeiten nur mit JJ weiter.
    Gegebene Zerlegung A=QJQ−1A = Q J Q^{-1} mit:
    Q=(−11−1−100201),J=(210020003)\begin{aligned} Q &= \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \\[4pt] J &= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}
  3. Schritt 3: Eigenwerte und Vielfachheiten ablesen
    Aus JJ liest man alles Wichtige direkt ab. Oben links sitzt ein 2×22 \times 2-Block zum Eigenwert λ1=2\lambda_1 = 2 (mit einer 11), unten rechts ein 1×11 \times 1-Block zum Eigenwert λ2=3\lambda_2 = 3.
    Also: λ1=2\lambda_1 = 2 hat algebraische Vielfachheit 22 (ein 2×22 \times 2-Block) und geometrische Vielfachheit 11 (genau ein Block). λ2=3\lambda_2 = 3 hat algebraische Vielfachheit 11. Wir haben QQ nicht berechnet, wir haben JJ gelesen.
Merke Lese-Rezept
Aus einer gegebenen Jordanform JJ: Eigenwerte stehen auf der Diagonale. Pro Eigenwert ist die Blockanzahl die geometrische, die Gesamtgröße die algebraische Vielfachheit.
Prüfungstipp Eine reine Diagonalmatrix ist ein Sonderfall der Jordanform: lauter 1×11 \times 1-Blöcke, keine Einsen. Dann ist J=DJ = D.
Querverweis Querverweis
Das Ablesen von Eigenwerten und das Aufstellen von QQ bzw. TT wird in Kap. 6 (Eigenwertproblem) ausführlich geübt.

10.1.4 Wozu das Ganze? Matrixexponential und DGL-Systeme

Eine nicht-diagonalisierbare Matrix ist kein Kuriosum, sie taucht direkt bei Differentialgleichungssystemen auf. Hier zahlt sich die Jordanform aus: Sie erlaubt es, das Matrixexponential eAxe^{Ax} auch dann auszurechnen, wenn AA keine Eigenbasis besitzt.

Der Trick beginnt bei einem einzelnen Jordan-Block. Für einen Block JJ mit Eigenwert λ\lambda hat das Exponential eJxe^{Jx} eine schöne geschlossene Form: ein Faktor eλxe^{\lambda x} mal eine obere Dreiecksmatrix, deren Einträge die Potenzreihen-Terme xk/k!x^k / k! sind. Dabei ist x∈Rx \in \mathbb{R} die reelle Variable (im Anwendungsfall meist die Zeit), kein Vektor und keine Matrixspalte.

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Exponential eines einzelnen Jordan-Blocks
eJx=eλx(1x1!x22!x33!⋯01x1!x22!⋯001x1!⋯⋮⋱⋱),x∈Re^{Jx} = e^{\lambda x} \begin{pmatrix} 1 & \frac{x}{1!} & \frac{x^2}{2!} & \frac{x^3}{3!} & \cdots \\ 0 & 1 & \frac{x}{1!} & \frac{x^2}{2!} & \cdots \\ 0 & 0 & 1 & \frac{x}{1!} & \cdots \\ \vdots & & & \ddots & \ddots \end{pmatrix}, \quad x \in \mathbb{R}
Diagonale 1, erste Superdiagonale x/1!, zweite x²/2!, dritte x³/3!, und so weiter.

Für die ganze Matrix AA nutzt man jetzt die Jordan-Zerlegung. Schiebt man die Zerlegung A=QJQ−1A = Q J Q^{-1} in die Definition des Matrixexponentials, fällt alles zwischen QQ und Q−1Q^{-1} schön zusammen, und es bleibt eAx=Q eJx Q−1e^{Ax} = Q\, e^{Jx}\, Q^{-1}. Das Exponential der Blockdiagonalmatrix JJ ist dabei wieder blockdiagonal: man exponiert einfach jeden Block einzeln.

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Matrixexponential über die Jordan-Zerlegung
eAx=Q eJx Q−1,A=QJQ−1e^{Ax} = Q\, e^{Jx}\, Q^{-1}, \quad A = Q J Q^{-1}
Zuerst jeden Block exponieren (eJxe^{Jx}), dann mit Q und Q⁻¹ zurücktransformieren.
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Blockweises Exponential von J
eJx=(eJ1x0⋯00eJ2x⋮⋮⋱00⋯0eJkx)e^{Jx} = \begin{pmatrix} e^{J_1 x} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{J_2 x} & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & e^{J_k x} \end{pmatrix}
Das Exponential einer Blockdiagonalmatrix ist die Blockdiagonalmatrix der Block-Exponentiale.

Jetzt der eigentliche Nutzen: ein Anfangswertproblem für ein lineares Differentialgleichungssystem. Gesucht ist eine vektorwertige Funktion y(x)\mathbf{y}(x) mit y′(x)=A y(x)\mathbf{y}'(x) = A\,\mathbf{y}(x) und vorgegebenem Startwert y(0)=y0\mathbf{y}(0) = \mathbf{y}_0. Die Lösung ist kompakt das Matrixexponential angewendet auf den Startvektor.

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Anfangswertproblem (lineares DGL-System)
y′(x)=A y(x),y(0)=y0\mathbf{y}'(x) = A\,\mathbf{y}(x), \quad \mathbf{y}(0) = \mathbf{y}_0
Gesucht ist die vektorwertige Funktion y(x), die zum Start y₀ passt.

Beispiel (Fortsetzung). Das Anfangswertproblem lösen

  1. Schritt 1: Lösung als Matrixexponential ansetzen
    Für y′=Ay\mathbf{y}' = A\mathbf{y} mit Startwert y0\mathbf{y}_0 ist die Lösung y(x)=eAxy0\mathbf{y}(x) = e^{Ax}\mathbf{y}_0. Über die Jordan-Zerlegung wird daraus y(x)=Q eJx Q−1y0\mathbf{y}(x) = Q\, e^{Jx}\, Q^{-1}\mathbf{y}_0.
    Mit der Zerlegung aus dem Beispiel oben (λ1=2\lambda_1 = 2 als 2×22 \times 2-Block, λ2=3\lambda_2 = 3):
    y(x)=Q(e2xx e2x00e2x000e3x)Q−1 y0\mathbf{y}(x) = Q \begin{pmatrix} e^{2x} & x\,e^{2x} & 0 \\ 0 & e^{2x} & 0 \\ 0 & 0 & e^{3x} \end{pmatrix} Q^{-1}\,\mathbf{y}_0
  2. Schritt 2: Das Block-Exponential erkennen
    Der 2×22 \times 2-Block zu λ=2\lambda = 2 liefert nach der Block-Formel genau die Diagonale e2xe^{2x} und auf der Superdiagonale x e2xx\,e^{2x} (das ist der Term eλx⋅x/1!e^{\lambda x} \cdot x/1! mit λ=2\lambda = 2). Der 1×11 \times 1-Block zu λ=3\lambda = 3 liefert schlicht e3xe^{3x}.
    Das x e2xx\,e^{2x} ist also kein Zufall: es kommt direkt aus dem ersten Superdiagonal-Term x/1!x/1! des Block-Exponentials.
  3. Schritt 3: Ausmultipliziert
    Setzt man QQ und Q−1Q^{-1} ein und multipliziert aus, erhält man die fertige Lösung als eine einzige Matrix mal y0\mathbf{y}_0.
    Endergebnis:
    y(x)=e2x(1−x2−x−2ex1−x−ex−x1−x−x2x2(x−1+ex)2x+ex)y0\mathbf{y}(x) = e^{2x} \begin{pmatrix} 1-x & 2-x-2e^{x} & 1-x-e^{x} \\ -x & 1-x & -x \\ 2x & 2(x-1+e^{x}) & 2x+e^{x} \end{pmatrix} \mathbf{y}_0

Damit schließt sich der Kreis. Du weißt jetzt, was eine Jordansche Normalform ist (eine fast-Diagonalform mit Einsen für die fehlenden Eigenvektoren), wie du Anzahl und Größe der Blöcke und damit die Vielfachheiten aus einer gegebenen Zerlegung abliest, und wozu das gut ist: das Matrixexponential eAxe^{Ax} und damit lineare DGL-Systeme lassen sich auch für nicht-diagonalisierbare Matrizen lösen.

Notation Notation: x in eJxe^{Jx}
Hier ist x∈Rx \in \mathbb{R} die reelle Variable des Matrixexponentials (im DGL-Kontext meist die Zeit), nicht der Lösungsvektor. Der Lösungsvektor heißt y(x)\mathbf{y}(x).
Formel Lösung des AWP
y(x)=eAx y0=Q eJx Q−1 y0\begin{aligned} \mathbf{y}(x) &= e^{Ax}\,\mathbf{y}_0 \\ &= Q\, e^{Jx}\, Q^{-1}\,\mathbf{y}_0 \end{aligned}
Die Lösung von y′=Ay\mathbf{y}' = A\mathbf{y}, y(0)=y0\mathbf{y}(0) = \mathbf{y}_0, über die Jordan-Zerlegung.
Merke Kernaussage
Ein x eλxx\,e^{\lambda x}-Term in der Lösung verrät einen echten Jordan-Block. Bei diagonalisierbaren Matrizen treten nur reine eλxe^{\lambda x}-Terme auf.
Querverweis Querverweis
Lineare Differentialgleichungssysteme und ihre Lösung über Eigenwerte gehören zum DGL-Stoff (Analysis II, Kap. 8). Dort ist der diagonalisierbare Standardfall ausführlich behandelt.

Aufgaben mit Musterlösungen

Übungsaufgaben mit Musterlösungen werden in Kürze ergänzt.

Die Aufgaben für dieses Kapitel werden in einer zukünftigen Version ergänzt.

MerkeErst selbst rechnen, dann Lösung prüfen!
Variablen-Glossar (8 Einträge)
AA Die quadratische Matrix, die wir analysieren, A∈Cn×nA \in \mathbb{C}^{n \times n}. -
JJ Jordansche Normalform von AA: eine Blockdiagonalmatrix, fast eine Diagonalmatrix. -
JiJ_i Einzelner Jordan-Block: ein Eigenwert auf der Diagonale, Einsen direkt darüber. -
QQ Reguläre (invertierbare) Transformationsmatrix der Zerlegung A=QJQ−1A = QJQ^{-1}. Spielt dieselbe Rolle wie das TT aus der Diagonalisierung. -
λi\lambda_i Eigenwert von AA, steht auf der Diagonale des ii-ten Jordan-Blocks. -
alg. Vfh.\text{alg. Vfh.} Algebraische Vielfachheit: wie oft der Faktor (λ−λ∗)(\lambda - \lambda_*) im charakteristischen Polynom vorkommt. -
geom. Vfh.\text{geom. Vfh.} Geometrische Vielfachheit: Dimension des Eigenraums dim⁡(Eλ)\dim(E_\lambda), also die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu λ\lambda. -
eAxe^{Ax} Matrixexponential von AA, mit reeller Variable xx. Löst lineare Differentialgleichungssysteme. -