Kap. 3: Determinanten

Stell dir vor, du hast eine ganze quadratische Tabelle von Zahlen vor dir, eine Matrix $A$. Die Determinante presst diese ganze Tabelle auf eine einzige Zahl zusammen. Diese eine Zahl beantwortet eine zentrale Frage: Kann ich das Gleichungssystem $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ eindeutig lösen, oder kollabiert dabei etwas? Wie wir gleich rechnen lernen und in Abschnitt 3.4 sehen werden, gilt die Faustregel: Determinante ungleich null heisst „alles sauber lösbar", Determinante null heisst „hier geht etwas schief".

Bevor wir loslegen, eine wichtige Vorbedingung. Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert, also für $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ mit gleich vielen Zeilen wie Spalten. Eine $2 \times 3$-Matrix hat keine Determinante. Merke dir das gut: Wer in einer Aufgabe die Determinante einer nicht-quadratischen Matrix bilden will, hat sich verrechnet.

Jetzt zur eigentlichen Frage: Wie rechne ich diese Zahl überhaupt aus? Die Antwort hängt von der Grösse ab. Für kleine Matrizen ($1 \times 1$, $2 \times 2$, $3 \times 3$) gibt es feste Kochrezepte, die man auswendig kennt. Für beliebig grosse $n \times n$-Matrizen gibt es eine allgemeine Methode, die Laplace-Entwicklung. Wir gehen die Fälle der Reihe nach durch.

Fall $n = 1$. Eine $1 \times 1$-Matrix ist nur eine einzelne Zahl, $A = (a)$. Ihre Determinante ist genau diese Zahl selbst, $\det(A) = a$. Beispiel: $\det(35) = 35$. Mehr ist hier nicht zu tun.

Fall $n = 2$. Für eine $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ gilt die Formel $\det(A) = a\,d - b\,c$. In Worten: das Produkt der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) minus das Produkt der Nebendiagonale (von rechts oben nach links unten). Diese Formel solltest du im Schlaf können, sie taucht in jeder zweiten Aufgabe auf.

Konkretes Beispiel: für $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$ rechnet man $\det(A) = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 7 = 6 - 7 = -1$. Das Vorzeichen darf also durchaus negativ sein, das ist völlig normal und hat sogar eine geometrische Bedeutung (siehe Abschnitt 3.2).

Fall $n = 3$: die Regel von Sarrus. Für eine allgemeine $3 \times 3$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ gibt es ein hübsches Merkbild. Man schreibt rechts neben die Matrix nochmals die ersten zwei Spalten an. Dann bildet man die Produkte entlang der drei nach rechts unten laufenden Diagonalen (Hauptdiagonalrichtung) und addiert sie; davon zieht man die Produkte entlang der drei nach links unten laufenden Diagonalen (Nebendiagonalrichtung) ab.

In kompakter Worten-Form: $\det(A) = \sum(\text{Produkte in Hauptdiagonalrichtung}) - \sum(\text{Produkte in Nebendiagonalrichtung})$. Ausgeschrieben ergibt das die Formel im Kasten unten. Wichtig, und ein häufiger Stolperstein: die Regel von Sarrus gilt ausschliesslich für $3 \times 3$. Für $4 \times 4$ und grösser liefert sie falsche Ergebnisse, dort braucht man die Laplace-Entwicklung.

Ein durchgerechnetes Sarrus-Beispiel. Für $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ liefert die Regel von Sarrus: $\det(A) = (0\cdot 5\cdot 9 + 2\cdot 6\cdot 7 + 3\cdot 4\cdot 8) - (7\cdot 5\cdot 3 + 8\cdot 6\cdot 0 + 9\cdot 4\cdot 2) = (0 + 84 + 96) - (105 + 0 + 72) = 180 - 177 = 3$.

Fall $n$ beliebig: die Laplace-Entwicklung. Für grössere Matrizen baut man die Determinante rekursiv aus kleineren Determinanten auf. Man entwickelt nach einer Zeile oder Spalte. Die Formel bei Entwicklung nach der ersten Spalte lautet: $\det(A) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \, a_{k1} \, \det(A_{k1})$. Dabei ist $A_{k1}$ die Streichungsmatrix (oder Untermatrix): die $(n-1)\times(n-1)$-Matrix, die übrig bleibt, wenn man Zeile $k$ und Spalte $1$ wegstreicht.

Der Faktor $(-1)^{k+1}$ ist das Vorzeichen. Es wechselt schachbrettartig: bei Position $(i, j)$ ist das Vorzeichen $(-1)^{i+j}$. Oben links ($+$), daneben ($-$), dann wieder ($+$) und so weiter. Man kann sich das als Schachbrettmuster merken: $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$. Statt das Muster auswendig zu lernen, rechnet man das Vorzeichen einfach über $(-1)^{i+j}$ aus, das ist eindeutig und narrensicher.

Damit das nicht zu abstrakt bleibt, hier das Kochrezept in vier Schritten, das die Rechnung in der Praxis enorm vereinfacht:

Ein Mini-Beispiel zur Laplace-Entwicklung, das die Wirkung von Nullen zeigt. Für die $4 \times 4$-Matrix $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 7 & 8 & 9 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ wählt man nach Schritt I die letzte Zeile, denn sie enthält drei Nullen. Nur das Element $a_{41} = 1$ trägt bei. Sein Vorzeichen an Position $(4, 1)$ ist $(-1)^{4+1} = -1$. Übrig bleibt nach Streichen von Zeile 4 und Spalte 1 genau die $3 \times 3$-Matrix $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$, deren Determinante wir oben schon zu $3$ berechnet haben. Also $\det(A) = -(1)\cdot 3 = -3$. Drei Nullen in einer Zeile haben die Rechnung von 24 Produkten auf einen einzigen Minor reduziert.

Bisher war die Determinante eine reine Rechenvorschrift. Aber was misst diese Zahl eigentlich geometrisch? Die Antwort ist überraschend anschaulich. Stell dir die Spalten der Matrix als Kantenvektoren vor, die einen Körper aufspannen. Bei einer $3 \times 3$-Matrix spannen die drei Spalten einen verzerrten Schuhkarton auf (Fachwort: Parallelepiped oder Spat). Der Betrag $|\det(A)|$ ist genau das Volumen dieses Schuhkartons.

Und das Vorzeichen? Es kodiert die Orientierung. Ein positives $\det$ bedeutet, die Spalten sind „rechtshändig" angeordnet wie die Standardbasis; ein negatives $\det$ heisst, die Schachtel ist sozusagen gespiegelt, auf die andere Seite gedreht. Der Volumeninhalt selbst ist immer der Betrag, das Vorzeichen sagt nur, in welcher Drehrichtung die Kanten liegen.

2×2: Fläche eines Parallelogramms. Ist $A$ eine $2 \times 2$-Matrix, so ist $\det(A)$ die (orientierte) Fläche des Parallelogramms, das von den zwei Spalten von $A$ aufgespannt wird. Die zwei Spaltenvektoren bilden zwei Kanten, das aufgespannte Parallelogramm hat als Flächeninhalt $|\det(A)|$.

3×3: Volumen eines Parallelepipeds. Ist $A$ eine $3 \times 3$-Matrix, so ist $\det(A)$ das (orientierte) Volumen des Parallelepipeds, das von den drei Spalten von $A$ aufgespannt wird. Das ist der verzerrte Schuhkarton von oben.

Bonus: Pyramidenvolumen. Aus dem Parallelepiped-Volumen folgt direkt das Volumen der zugehörigen Pyramide (Tetraeder), nämlich $\tfrac{1}{6} \det(A)$. Der Faktor $\tfrac{1}{6}$ ist derselbe wie bei der Formel „Grundfläche mal Höhe durch drei", nur in der Determinanten-Sprache.

Diese geometrische Sicht erklärt sofort, warum $\det = 0$ so besonders ist. Volumen null bedeutet: der Schuhkarton ist platt gedrückt. Die drei Kantenvektoren (Spalten) liegen dann in einer gemeinsamen Ebene oder gar auf einer Geraden, sie sind linear abhängig. Geometrisch ist eine Dimension kollabiert. Algebraisch heisst das: der Spaltenraum füllt nicht mehr den ganzen $\mathbb{R}^n$, und damit ist $A$ nicht invertierbar. Genau diese Kette $\det = 0 \Leftrightarrow$ Volumen null $\Leftrightarrow$ Spalten abhängig $\Leftrightarrow$ nicht invertierbar verbindet die Geometrie mit der Lösbarkeitsfrage aus Abschnitt 3.4.

Angenommen, du hast $A$ bereits einmal mit Gauss in Dreiecksform gebracht, etwa weil du die LR-Zerlegung aus Kapitel 1 oder 2 schon berechnet hast. Musst du die Determinante dann nochmal von vorne rechnen? Nein. Du liest sie fast direkt ab. Das ist die effizienteste Art, eine Determinante zu bestimmen, sobald die Zerlegung vorliegt.

Kurz zur Notation, falls die LR-Zerlegung gerade nicht präsent ist. Bei der Zerlegung schreibt man $LR = PA$. Dabei ist $L$ eine Linksdreiecksmatrix (alles oberhalb der Diagonale null), $R$ eine Rechtsdreiecksmatrix (alles unterhalb der Diagonale null), und $P$ eine Permutationsmatrix, die buchführt, welche Zeilen beim Gauss vertauscht wurden. Manche Texte schreiben $L$ und $U$ statt $L$ und $R$, gemeint ist dasselbe.

Der entscheidende Punkt: $R$ ist eine Dreiecksmatrix, und für Dreiecksmatrizen ist die Determinante nach Eigenschaft (7) einfach das Produkt der Diagonale. Also $\det(R) = r_{11} \cdot r_{22} \cdots r_{nn}$. Der Faktor $(-1)^{\#\text{Zeilenvertauschungen}}$ vor dem Produkt zählt, wie oft beim Gauss Zeilen getauscht wurden; jeder Tausch flippt nach Eigenschaft (1) das Vorzeichen. Zusammengesetzt ergibt das die kompakte Formel im Kasten unten.

Wofür das alles? Hier ist die Auszahlung des ganzen Kapitels: für eine quadratische Matrix entscheidet eine einzige Zahl über die komplette Lösungsstruktur des Systems $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Du rechnest $\det(A)$ aus, schaust, ob sie null ist oder nicht, und weisst sofort, ob das System eindeutig, gar nicht oder mehrdeutig lösbar ist. Die folgende Tabelle fasst die zwei Fälle zusammen.

Zwei Begriffe, die hier immer wieder vorkommen und oft synonym verwendet werden, einmal sauber eingeführt. Eine Matrix heisst regulär, wenn sie invertierbar ist, also $\det(A) \neq 0$. Sie heisst singulär, wenn sie nicht invertierbar ist, also $\det(A) = 0$. Regulär ist der „gute" Fall (eindeutig lösbar), singulär der „kritische" (etwas kollabiert). Diese Wörter solltest du ab jetzt im Schlaf zuordnen können.

Der Fall $\det(A) \neq 0$ ist sogar Teil einer ganzen Kette gleichwertiger Aussagen. Für eine quadratische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ sind die folgenden neun Aussagen alle äquivalent: sobald eine gilt, gelten alle; scheitert eine, scheitern alle. Die Determinante ist dabei der schnellste Auslöser, denn sie ist meist mit einer einzigen Rechnung geprüft.

Fassen wir alle Fälle in einem Bild zusammen, das du im Kopf abspielen kannst, wenn ein Gleichungssystem vor dir liegt. Der ganze Entscheidungsbaum hat nur zwei Verzweigungen: Erstens, ist die Matrix quadratisch ($n \times n$) oder nicht ($m \times n$)? Zweitens, je nach Fall: was sagen Rang beziehungsweise Determinante? Aus diesen zwei Fragen folgt die komplette Lösungsstruktur. Keine neuen Formeln, nur eine saubere Synthese von Abschnitt 3.4 und den Lösungsfällen aus Kapitel 1.

Fall 1: nicht-quadratische Matrix $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$. Hier gibt es keine Determinante, man argumentiert über den Rang. Man vergleicht $\operatorname{rang}(A)$ mit $\operatorname{rang}([A \mid \mathbf{b}])$ (dem Rang der augmentierten Matrix). Sind sie verschieden, hat das System keine Lösung. Sind sie gleich (nennen wir den Wert $r$), so hängt es von $r$ gegen $n$ ab: ist $r = n$, gibt es eine eindeutige Lösung; ist $r < n$, gibt es $n - r$ freie Parameter und damit unendlich viele Lösungen.

Fall 2: quadratische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Hier kommt die Determinante ins Spiel, und man trennt zusätzlich nach inhomogenem ($A\mathbf{x} = \mathbf{b}$) und homogenem ($A\mathbf{x} = \mathbf{0}$) System. Bei $\det(A) \neq 0$ gibt es für $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ stets eine eindeutige Lösung und für $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ nur die triviale Lösung $\mathbf{x} = \mathbf{0}$. Bei $\det(A) = 0$ hat $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ je nach $\mathbf{b}$ keine oder $(n - r)$-parametrige Lösungen (mit $r = \operatorname{rang}(A) < n$), und $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ hat stets unendlich viele (mindestens eine nichttriviale).

Zum Abschluss vier grössere Aufgaben, in denen die effizienten Tricks (Gauss, Laplace, Blockregel und das blosse Hinschauen) den Unterschied zwischen einer Minute und einer Stunde machen. Achte bei jedem Beispiel darauf, welche Eigenschaft oder Regel den Aufwand drückt; das ist die eigentliche Lektion, nicht das Endergebnis.