VII.3 Die allgemeine Lösung einer DGL 1. Ordnung

Was sagt die DGL $y' = f(x, y)$ geometrisch?

An jedem Punkt der Ebene gibt $f$ eine Steigung vor. Eine Lösungskurve folgt diesen Vorgaben Schritt für Schritt: an Stelle $x$ steht die Tangente der Kurve fest, sobald wir wissen, wo wir sind. Bild: ein „Wegweiser-Feld“ in der Ebene. Eine Lösung ist eine Bahn, die immer dem lokalen Wegweiser folgt.

Diese Sicht ist die Grundlage aller numerischen DGL-Verfahren. Starte bei $(x_0, y_0)$, mach einen kleinen Schritt entlang der Tangente $f(x_0, y_0)$, lande am nächsten Punkt, wiederhole. Das einfachste Verfahren dieser Art ist die Euler-Methode.

Für uns ist wichtig: das Wegweiser-Bild ist nicht nur Anschauung, sondern die ehrliche Geometrie hinter der DGL.

Wie zeichnest du das Richtungsfeld effizient, ohne hundert Striche einzeln zu malen?

Der Trick heisst Isokline. Eine Isokline zum Wert $m$ ist die Menge aller Punkte, an denen das Richtungsfeld die Steigung $m$ hat. Konstruktions-Reihenfolge: zeichne erst die Isoklinen zu wenigen Werten $m = -2, -1, 0, 1, 2$ (das sind oft Kurven, manchmal Geraden), und trage anschliessend auf jeder Isokline Striche mit der entsprechenden Steigung ein. Viel schneller und übersichtlicher als ein dichtes Punktgitter.

Beispiel zum Mitrechnen. Für $y' = x^2 + y^2$ ist die Isokline zum Wert $m$ die Gleichung $x^2 + y^2 = m$, für $m \geq 0$ also ein Kreis um den Ursprung mit Radius $\sqrt{m}$.

Auf dem Einheitskreis hat das Richtungsfeld überall Steigung $1$, auf dem Kreis mit Radius $\sqrt{2}$ überall Steigung $2$, und so weiter. Mit wenigen Kreisen ist das ganze Feld erfasst.

Wie schliesst du aus einem fertigen Richtungsfeld auf den Verlauf der Lösungskurven?

Lege einen Anfangspunkt $(x_0, y_0)$ fest, folge dem lokalen Strich für ein kleines Stück; das landet dich an einem neuen Punkt; folge dort dem nächsten Strich; und so weiter. Auf Papier reicht eine Approximation aus den eingezeichneten Strichen; numerisch leistet das die Euler-Methode. So entsteht aus lokalen Vorgaben Stück für Stück eine globale Lösungskurve.

Drei qualitative Beobachtungen, die du direkt aus dem Richtungsfeld abliest, ohne zu rechnen.

Erstens: wo Striche horizontal sind ($f = 0$), hat die Lösung eine waagrechte Tangente, typisch ein Extremum oder Wendepunkt.

Zweitens: wo Striche vertikal werden ($|f| \to \infty$), bricht die Funktionsdarstellung $y(x)$ zusammen, denn eine Funktion darf keine vertikale Tangente haben.

Drittens: das asymptotische Verhalten ($x \to \pm\infty$) liest man am Verhalten von $f$ auf grossen Skalen ab.

Wann ist garantiert, dass das AWP genau eine Lösung hat?

Die Antwort liefert der Existenz- und Eindeutigkeitssatz, meist Satz von Picard-Lindelöf genannt. Anschaulich verlangt er zwei Dinge: $f(x, y)$ ist stetig in $D(f)$, und die partielle Ableitung $f_y$ (nach $y$, mit $x$ konstant) existiert und ist stetig in $D(f)$.

Sind beide erfüllt, gibt es zu jedem Punkt $(x_0, y_0)$ im Inneren von $D(f)$ genau eine Lösung des AWP, definiert in einem Intervall um $x_0$.

Was folgt daraus geometrisch? Lösungskurven kreuzen sich in den glatten Bereichen nicht. Geometrische Begründung: an einem Schnittpunkt zweier Lösungen müsste die Steigung dort doppelt definiert sein, was die Definition $y' = f(x, y)$ verletzt. Jeder Punkt $(x_0, y_0)$ liegt also auf genau einer Lösungskurve.

Anwendungs-Beispiel zur Verifikation: $y' = a y$ (das Modell aus VII.1 und VII.2). Hier ist $f(x, y) = a y$, überall stetig, und $f_y = a$ konstant, also auch stetig. Beide Voraussetzungen erfüllt, AWP eindeutig lösbar, Lösung wie gehabt $y(x) = y_0 \, e^{a (x - x_0)}$.

Den Beweis führen wir nicht. In der Literatur wird „$f_y$ stetig“ oft durch die schwächere Lipschitz-Bedingung ersetzt: es gibt ein $L > 0$ mit $|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L \, |y_1 - y_2|$. Sie ist allgemeiner, liefert dieselbe Garantie; in der Praxis genügt es, $f_y$ zu prüfen.

Was geht schief, wenn die Voraussetzungen des Existenzsatzes nicht erfüllt sind?

Klassisches Gegenbeispiel: $y' = \sqrt[3]{y^2}$, also $f(x, y) = y^{2/3}$. Diese Funktion ist überall stetig, die erste Voraussetzung ist erfüllt.

Die zweite verlangt $f_y$ stetig. Aber $f_y = \tfrac{2}{3} \, y^{-1/3}$ existiert in $y = 0$ nicht (Pol), ist also auf der ganzen $x$-Achse unstetig. Die zweite Voraussetzung ist verletzt, und dort versagt tatsächlich die Eindeutigkeit.

Konkret: jede Funktion $y(x) = \bigl((x - C)/3\bigr)^3$ mit beliebigem $C \in \mathbb{R}$ löst die DGL. Probe: $y'(x) = \bigl((x - C)/3\bigr)^2 = y^{2/3}$, passt. Auch die Nulllösung $y \equiv 0$ löst (denn $0' = 0 = \sqrt[3]{0^2}$).

Durch jeden Punkt der $x$-Achse verlaufen also unendlich viele Lösungskurven: die Nulllösung, jede Verschiebung $y = ((x - C)/3)^3$, und durch Aneinandersetzen sogar überabzählbar viele weitere. Eindeutigkeit ist auf der ganzen $x$-Achse verloren.

Folgerung für die Praxis: bei DGLs mit Wurzel- oder Bruch-Termen in $y$ muss man die kritischen Stellen (typisch $y = 0$ bei Wurzeln oder Pole) gesondert untersuchen. Solche Stellen heissen singuläre Punkte der DGL; sie erlauben spezielle Lösungs-Phänomene wie Enveloppen und singuläre Lösungen, die in VII.7 systematisch behandelt werden.

Wie wird aus dem Vektorfeld die DGL für die Feldlinien?

Wir stellen die Feldlinie durch $(x_0, y_0)$ als Graph einer Funktion $y: x \mapsto y(x)$ dar, also $y(x_0) = y_0$. An jedem Punkt $(x, y(x))$ muss die Tangente der Feldlinie parallel zum Vektorfeld $\vec{v}(x, y(x))$ sein. Die Tangente des Graphen hat Richtung $(1, y'(x))$. Aus der Parallelitäts-Forderung folgt $y'(x) = v_2(x, y(x)) / v_1(x, y(x))$. Das ist eine DGL 1. Ordnung in der Standardform $y' = f(x, y)$, mit $f = v_2/v_1$.

Voraussetzung für die Darstellung als Funktionsgraph: $v_1(x, y(x)) \neq 0$. Sonst wird der Quotient unendlich, was einer vertikalen Tangente entspricht; die Funktionsdarstellung $y(x)$ bricht dort zusammen, und man muss lokal die Rollen von $x$ und $y$ tauschen.

Wann gilt die Eindeutigkeit? Genau wenn $v_2/v_1$ als rechte Seite der DGL die Voraussetzungen aus Abschnitt 3.2 erfüllt. Ist $v_2/v_1$ stetig und nach $y$ stetig partiell differenzierbar an $(x_0, y_0)$, dann verläuft durch diesen Punkt genau eine Feldlinie.

Beispiel zum Mitrechnen: $\vec{v}(x, y) = (y, x)$ gibt die Feldlinien-DGL $y' = x/y$. Mit $y$ multiplizieren ergibt $y \, y' = x$, und die linke Seite ist $\tfrac{1}{2} (y^2)'$. Integrieren: $\tfrac{1}{2} y^2 = \tfrac{1}{2} x^2 + C$, also $y^2 - x^2 = 2C$, eine Hyperbel-Schar.

Mit AWP $y(x_0) = y_0$ wird daraus $y^2 - x^2 = y_0^2 - x_0^2$, aufgelöst $y(x) = \pm \sqrt{x^2 + y_0^2 - x_0^2}$. Das Vorzeichen folgt aus dem von $y_0$; für die volle Feldlinie durch die $x$-Achse setzt man beide Zweige zusammen.

Hinweis zum Info-Verlust: die DGL $y' = v_2/v_1$ liefert nur die geometrische Form der Feldlinie. Geschwindigkeit und Durchlaufsinn gehen verloren. Wer beides braucht, bleibt beim Parameter-System $\dot{x} = v_1, \dot{y} = v_2$.

Wir hatten Feldlinien schon in Kap. VI.1. Was ist hier neu?

In Kap. VI.1 wurden Feldlinien rein geometrisch eingeführt: Kurven, die in jedem Punkt tangential zum Vektorfeld verlaufen. Damit war die Geometrie klar, aber die Analytik blieb offen. In Kap. VII.3 schliessen wir die Lücke: dieselben Feldlinien lassen sich als Lösungen einer DGL 1. Ordnung beschreiben, nämlich $y' = v_2/v_1$.

Was bringt diese zweite Sicht? Zwei Vorteile, die sich gegenseitig ergänzen.

Erstens: alle Lösungsmethoden für DGLs werden auf Feldlinien anwendbar, etwa Separation aus Kap. VII.4 oder Variation der Konstanten aus Kap. VII.5.

Zweitens: alle physikalischen Anwendungen, in denen Feldlinien interessant sind (Stromlinien einer Fluid-Strömung, Feldlinien eines $\vec{E}$- oder $\vec{B}$-Feldes), liefern automatisch DGLs, die mit dem Werkzeugkasten aus Kap. VII analysierbar werden.

Konkret: das Beispiel aus Abschnitt 4.2 ($\vec{v} = (y, x)$ führt auf die Hyperbel-Schar $y^2 - x^2 =$ const) hatten wir in Kap. VI.1 nur qualitativ als Strömungsbild. Jetzt haben wir die Hyperbel-Gleichungen explizit in der Hand und können konkrete Bahnen ausrechnen.

Wir kennen die Schar. Wie kommen wir an die DGL?

Das ist die umgekehrte Richtung. Gegeben eine einparametrige Schar in impliziter Form $F(x, y, C) = 0$. Das Verfahren läuft in zwei Etappen.

Erstens implizit nach $x$ ableiten: das liefert $F_x + F_y \cdot y' = 0$, eine zweite Gleichung mit $C$ und $y'$.

Zweitens den Parameter $C$ aus beiden Gleichungen eliminieren. Übrig bleibt $H(x, y, y') = 0$, die DGL der Schar.

Warum funktioniert das? Anschauliche Idee: eine einparametrige Schar ist eine 1-Parameter-Familie von Kurven. Eine DGL 1. Ordnung beschreibt genau 1-Parameter-Lösungs-Familien (die Konstante kommt aus dem AWP). Beide Konzepte passen natürlicherweise zusammen, und das Verfahren oben ist nur die formale Umsetzung dieses Match.

Praktischer Tipp: oft (etwa wenn die Schar-Gleichung nach $C$ auflösbar ist) reicht das einfachere Vorgehen, $C = G(x, y)$ aus der Schar-Gleichung in die abgeleitete Gleichung einzusetzen. Manchmal verschwindet $C$ schon beim Ableiten von selbst (wenn die Schar in $C$ symmetrisch ist), und die Elimination ist gar nicht nötig.

Konkret: welche DGL gehört zu welcher Schar?

Drei Standardbeispiele, jedes mit dem 2-Schritt-Verfahren aus Abschnitt 5.2.

Geradenschar durch Ursprung $y = m \cdot x$, Parameter $m$ (Steigung). Ableiten nach $x$ ergibt $y' = m$. Aus der Schar-Gleichung folgt $m = y/x$. Einsetzen liefert $y' = y/x$, und das ist die DGL der Schar, gültig für $x \neq 0$ (auf der $y$-Achse hat die Schar keine Funktionsdarstellung).

Konzentrische Kreisschar $x^2 + y^2 = C^2$, Parameter $C$ (Radius). Ableiten nach $x$ ergibt $2x + 2y \cdot y' = 0$. Bemerke: $C$ taucht in der abgeleiteten Gleichung gar nicht auf, die Elimination entfällt also. Auflösen nach $y'$ liefert $y' = -x/y$, gültig für $y \neq 0$ (auf der $x$-Achse hat die Schar vertikale Tangenten, wie zu erwarten).

Kreise tangential an die $x$-Achse im Ursprung haben Mittelpunkt $(0, C)$ und Radius $|C|$, also $x^2 + (y - C)^2 = C^2$, ausmultipliziert $x^2 + y^2 - 2 C y = 0$.

Ableiten nach $x$: $2 x + 2 y \, y' - 2 C \, y' = 0$. Mit $C = (x^2 + y^2)/(2 y)$ einsetzen und vereinfachen ergibt $y' = 2 x y / (x^2 - y^2)$, die DGL der Schar.

Plausibilitäts-Check: nimm eine konkrete Kurve der Schar, etwa den Kreis $C = 1$, und prüfe, ob die gewonnene DGL erfüllt ist. So fängst du Algebra-Fehler in der Elimination ab.