Kap. 4: Elektromagnetische Wellen

Was ändert sich am Ampère-Gesetz, wenn man $Iᵥ$ dazunimmt? Man addiert ihn einfach zum echten Strom. Jetzt erzeugen zwei Dinge ein umlaufendes Magnetfeld: ein Leitungsstrom $I$ und ein sich änderndes elektrisches Feld.

Damit ist das Gesetz auch für nicht-stationäre (zeitlich veränderliche) Ströme richtig. Der neue Term $\mu_0\varepsilon_0\,\mathrm{d}\Phi_{\text{el}}/\mathrm{d}t$ ist genau die Brücke, über die ein E-Feld ein B-Feld erzeugt.

Mit dem letzten Baustein sind alle Gesetze für elektrische und magnetische Felder beisammen. Vier Gleichungen, und sie beschreiben jedes elektromagnetische Phänomen vom Kompass bis zum Funkmast. In Integralform reden sie über ganze Flächen $A$ und Schleifen $C$:

Die Integralform beschreibt ganze Flächen und Schleifen auf einmal. Oft will man aber wissen, was an einem Punkt passiert. Mit den Sätzen von Gauss und Stokes (aus Analysis II) schrumpft jede der vier Gleichungen auf eine lokale Aussage zusammen, formuliert mit dem Nabla-Operator $\nabla$.

Dabei wird der Verschiebungsstrom zum Term $\mu_0\varepsilon_0\,\partial\vec{E}/\partial t$, die enthaltene Ladung zur Ladungsdichte $\rho$, der Strom zur Stromdichte $\vec{j}$. Es ist dieselbe Physik, nur Punkt für Punkt statt über Flächen integriert. Diese Form brauchen wir gleich, um die Wellengleichung herzuleiten.

Bevor wir rechnen, lohnt sich ein Schritt zurück. Die beiden Gauss-Gleichungen (mit der Divergenz) regeln die Quellen: elektrische Ladungen sind Quellen des E-Feldes, magnetische Quellen gibt es nicht. Die beiden Rotations-Gleichungen (Faraday und Ampère-Maxwell) regeln, wie sich ändernde Felder einander erzeugen.

Genau in dieser Kopplung steckt die Welle. Faraday sagt: ein sich änderndes $\vec{B}$ macht ein wirbelndes $\vec{E}$. Ampère-Maxwell sagt: ein sich änderndes $\vec{E}$ macht ein wirbelndes $\vec{B}$. Beide stützen sich gegenseitig, und im leeren Raum (keine Ladungen, keine Ströme) bleibt diese Rückkopplung als einzige Möglichkeit übrig, sich selbst durch den Raum zu tragen.

Das Ergebnis der Rechnung ist die klassische Wellengleichung, einmal für $\vec{E}$ und einmal für $\vec{B}$. Sie verknüpft die räumliche Krümmung des Feldes (zweite Ableitung nach dem Ort) mit seiner zeitlichen Beschleunigung (zweite Ableitung nach der Zeit). Die Konstante dazwischen ist $1/c^2$.

Für eine Welle, die in $x$-Richtung läuft, genügt die eindimensionale Form. Allgemein im Raum schreibt man sie mit dem Laplace-Operator $\Delta = \nabla\cdot\nabla$, der alle drei Raumrichtungen zusammenfasst.

Jetzt kommt der Moment, der die Physik des 19. Jahrhunderts umgekrempelt hat. Die Geschwindigkeit $c$ in der Wellengleichung ist keine frei gewählte Zahl, sie ergibt sich allein aus den beiden Konstanten $\varepsilon_0$ und $\mu_0$, die man aus Elektrostatik und Magnetostatik kennt.

Setzt man die gemessenen Werte ein, kommt $3{,}00\times10^8$ m/s heraus, exakt die gemessene Lichtgeschwindigkeit. Maxwells Schluss: Licht ist eine elektromagnetische Welle. Optik und Elektrodynamik sind dasselbe Fach.

Wie sieht die einfachste Lösung konkret aus? Eine ebene Welle: das Feld schwingt sinusförmig, überall in einer Ebene senkrecht zur Laufrichtung hat es im selben Moment denselben Wert. Mathematisch ist das ein Kosinus in der Kombination $\omega t - kx$.

Darin steckt die ganze Geometrie der Welle: die Amplitude $E_0$ (Maximalausschlag), die Wellenzahl $k$ (wie eng die Wellenberge im Raum stehen), die Kreisfrequenz $\omega$ (wie schnell sie zeitlich schwingen) und die Phasenkonstante $\varphi$ (Verschiebung des Ganzen).

Hier verwechselt man leicht fünf eng verwandte Grössen. Sortieren wir sie. Die zeitlichen Grössen beschreiben das Schwingen an einem festen Ort: die Frequenz $\nu$ (Schwingungen pro Sekunde), die Periode $T = 1/\nu$ (Dauer einer Schwingung) und die Kreisfrequenz $\omega = 2\pi\nu$. Die räumlichen Grössen beschreiben das Muster zu einem festen Zeitpunkt: die Wellenlänge $\lambda$ (Abstand zweier Berge) und die Wellenzahl $k = 2\pi/\lambda$.

Verbunden sind beide Welten durch die Geschwindigkeit: die Phasengeschwindigkeit $v = \omega/k$ ist im Vakuum gerade $c$, und daraus folgt sofort die wohl wichtigste Eselsbrücke des Kapitels: $c = \lambda\,\nu$.

Wie gross ist das B-Feld einer Lichtwelle im Vergleich zum E-Feld? Die Maxwell-Gleichungen koppeln die beiden Amplituden fest aneinander: in jedem Moment gilt $|\vec{E}| = c\,|\vec{B}|$. Sie schwingen im Gleichtakt, gehen gleichzeitig durch null und erreichen gleichzeitig ihr Maximum.

Weil $c$ riesig ist, ist die Zahl für $|\vec{E}|$ (in V/m) viel grösser als die für $|\vec{B}|$ (in T). Das verleitet zum Trugschluss, das elektrische Feld sei das wichtigere. In Wahrheit tragen beide exakt gleich viel Energie, wie der nächste Abschnitt zeigt.

Verbinde alle Punkte, die im selben Moment denselben Schwingungszustand haben (etwa alle gerade auf einem Wellenberg). Diese Flächen heissen Wellenfronten. Sie stehen überall senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung.

Bei einer ebenen Welle sind die Fronten parallele Ebenen, bei einer Punktquelle sind es Kugelschalen, die nach aussen wachsen (eine Kugelwelle). Weit weg von der Quelle wird ein kleiner Ausschnitt einer Kugelwelle praktisch eben, deshalb darf man fernes Sternenlicht als ebene Welle behandeln. Dieses Frontbild ist der Ausgangspunkt für das Huygenssche Prinzip in Kap. 5 und Kap. 7.

Das Feld schwingt schnell auf und ab, ein typisches Lichtfeld milliardenfach pro Sekunde. Kein Messgerät folgt dem; man misst immer den zeitlichen Mittelwert. Und hier steckt ein Faktor, den man nicht vergessen darf: der Mittelwert von $\cos^2$ über eine Schwingung ist nicht eins, sondern $\tfrac{1}{2}$.

Deshalb führt man den Effektivwert (RMS-Wert) ein: $E_{\text{eff}} = E_0/\sqrt{2}$. Mit ihm rechnet sich der Mittelwert einer quadratischen Grösse so einfach, als wäre die Welle konstant. Genau dieselbe Idee kennst du schon vom Effektivwert der Wechselspannung aus Kap. 1.

Eine Solarzelle interessiert nicht die Energie im Volumen, sondern wie viel Leistung pro Fläche ankommt. Das ist die Intensität $I_{\text{em}}$: die mittlere Energiedichte, multipliziert mit der Geschwindigkeit $c$, mit der sie vorbeiströmt.

Die Richtung des Energieflusses fasst der Poynting-Vektor $\vec{S}$ zusammen. Er zeigt entlang $\vec{E}\times\vec{B}$, also in Laufrichtung, und sein zeitlicher Mittelwert hat als Betrag genau die Intensität. Mit $|\vec{E}| = c\,|\vec{B}|$ lässt sich die Intensität auch allein über die E-Amplitude schreiben, das ist oft die handlichste Form.

Licht trägt nicht nur Energie, sondern auch Impuls. Eine Welle mit Energie $E_{\text{em}}$ transportiert den Impuls $p = E_{\text{em}}/c$. Trifft sie auf eine Fläche und wird absorbiert, gibt sie diesen Impuls ab und übt einen Druck aus.

Dieser Strahlungsdruck ist winzig, aber real: er drückt die Schweife von Kometen von der Sonne weg und treibt Sonnensegel an. Bei vollständiger Absorption ist $P_{\text{S}} = I_{\text{em}}/c$; wird das Licht stattdessen vollständig reflektiert, kehrt sein Impuls um, und der Druck verdoppelt sich auf $2 I_{\text{em}}/c$ (wie ein Ball, der zurückprallt, mehr Stoss gibt als einer, der liegen bleibt).

Woher kommen elektromagnetische Wellen überhaupt? Aus beschleunigten Ladungen. Eine Ladung, die ruht oder gleichförmig fliesst, strahlt nicht; eine, die hin und her schwingt, schon. Das einfachste Beispiel ist der schwingende Dipol, also eine Sendeantenne, in der Ladung periodisch auf und ab läuft.

Die abgestrahlte Intensität ist nicht in alle Richtungen gleich: senkrecht zur Antenne ist sie maximal, genau entlang der Antennenachse strahlt der Dipol gar nicht. Das abgestrahlte E-Feld ist dabei parallel zur Antenne, die Welle ist also polarisiert. Umgekehrt funktioniert eine Empfangsantenne, weil das ankommende Wechselfeld in ihr eine Spannung induziert (Faraday, Kap. 3).