VII.11 Schwingungsprobleme

Schau auf das Newton'sche 2. Gesetz für eine Masse, an der drei Kräfte ziehen: Feder, Dämpfer, externe Anregung. Genau die DGL aus §1.1 fällt heraus. Wir leiten sie einmal sauber her, damit du jeden Buchstaben physikalisch verorten kannst.

Aufbau: eine Masse $m$ hängt an einer Feder mit Federkonstante $k$. Parallel zur Feder bremst ein Dämpfer (ein Kolben in Öl) mit Dämpfungskonstante $d$. Ausserdem wirkt von aussen eine zeitabhängige Kraft $F(t)$. Die Auslenkung $x(t)$ misst die Abweichung der Masse von ihrer Ruhelage.

Drei Kräfte auf die Masse. Die Feder zieht zurück: $F_{\text{Feder}} = -k\,x$ (Minus weil rückstellend). Der Dämpfer bremst proportional zur Geschwindigkeit: $F_{\text{Dämpfer}} = -d\,\dot{x}$ (Minus weil reibend).

Plus die externe Kraft $F(t)$. Newton 2 fasst die Summe zu Masse mal Beschleunigung zusammen:

Umsortiert auf die Form mit allen Termen, die $x$ enthalten, auf der linken Seite, ergibt das wortwörtlich die Modellgleichung aus §1.1. Die Herleitung kostet drei Zeilen, der Rest dieses Kapitels lebt davon.

Was hat ein RCL-Schaltkreis mit einer Masse an einer Feder zu tun? Sie folgen genau derselben DGL, die Buchstaben heissen anders, die Mathematik ist identisch. Wir setzen den RCL-Reihenkreis kurz auf und vergleichen.

Aufbau: in Reihe geschaltet eine Spule mit Induktivität $L$, ein Widerstand $R$ und ein Kondensator mit Kapazität $C$. Eine Spannungsquelle $U(t)$ treibt den Kreis von aussen. Bezeichne mit $q(t)$ die Ladung auf dem Kondensator. Der Strom ist $i = \dot{q}$.

Kirchhoffs Maschenregel: die Summe der Spannungsabfälle entlang der Masche gleicht der Quellspannung. Spule: $U_L = L\,\dot{i} = L\,\ddot{q}$. Widerstand: $U_R = R\,i = R\,\dot{q}$. Kondensator: $U_C = q/C$. Aufaddiert:

Identisch zur Mechanik. Symbol für Symbol mit §1.1: $q$ spielt $x$, $L$ ersetzt $m$, $R$ ersetzt $d$, $1/C$ ersetzt $k$. Beide sind strukturell dieselbe lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Folge: jede Aussage für $x(t)$ (Schwingfall, Resonanz, Q-Faktor) gilt wortgleich für $q(t)$, du musst nur die Buchstaben austauschen.

Mit den Abkürzungen $\delta = R/(2L)$ und $\omega_0^2 = 1/(LC)$ steht der RCL-Kreis exakt in der Normalform $\ddot{q} + 2\delta\,\dot{q} + \omega_0^2\,q = U(t)/L$. Aus VII.5 §6 kennst du schon den RC-Kreis (ohne Spule), das war eine DGL 1. Ordnung. Sobald die Spule dazukommt, springst du auf 2. Ordnung, und damit auf das ganze Spektrum aus Schwingungen, Dämpfung und Resonanz.

Wenig Reibung: das System schwingt weiter, aber die Amplitude klingt langsam ab. Wie genau? Bei $\delta < \omega_0$ ist die Diskriminante des char. Polynoms negativ. Die Wurzeln werden komplex und treten als konjugiertes Paar auf:

Rezept aus VII.10 §3.3: komplexe Wurzeln $-\delta \pm i\,\omega_d$ erzeugen Basislösungen $e^{-\delta t}\cos(\omega_d\,t)$ und $e^{-\delta t}\sin(\omega_d\,t)$. Die allgemeine homogene Lösung ist ihre Linearkombination:

In Worten: innerhalb einer schwindenden Hüllkurve $e^{-\delta t}$ schwingt das System mit Frequenz $\omega_d$. Ein zerfallender Hüll-Faktor mal eine schnelle Oszillation: die Amplitude schrumpft, das Vorzeichen wechselt periodisch.

Polarform. Oft praktischer ist die Darstellung mit Amplitude $R_0$ und Phasen-Offset $\varphi_0$:

Welche Dämpfung bringt das System am schnellsten zur Ruhe, ohne ein einziges Mal zu überschwingen? Genau die kritische Dämpfung mit $\delta = \omega_0$, Auto-Ingenieure kalibrieren Stossdämpfer auf exakt diesen Wert. Bei $\delta = \omega_0$ verschwindet die Diskriminante, das char. Polynom hat eine doppelte reelle Nullstelle:

Rezept aus VII.10 §3.2: bei einer doppelten Nullstelle ist neben $e^{\lambda t}$ auch $t\,e^{\lambda t}$ Basislösung (der Faktor $t$ ist die Resonanz-Korrektur, ganz analog zur Variation der Konstanten). Die allgemeine Lösung:

Anschauung: keine Oszillation, die Lösung läuft monoton in die Ruhelage. Höchstens ein einziges Mal kann sie die Nulllinie kreuzen, je nach Vorzeichen von $A$ und $B$. Das System kommt so schnell wie möglich zur Ruhe.

Praktische Bedeutung. Auf diesen Punkt zielt man bei Stossdämpfern, Messgeräten, Tür-Schliessern: alles, was rasch ohne Nachwippen zur Ruhe soll. Weniger Dämpfung schwingt nach (Schwingfall), mehr pegelt langsamer ein (Kriechfall). Der kritische Punkt ist das Optimum.

Was passiert, wenn die Reibung so gross wird, dass das System gar nicht mehr schwingt? Es kriecht träge in die Ruhe-Lage zurück, beide Wurzeln des charakteristischen Polynoms sind reell und negativ. Bei $\delta > \omega_0$ ist die Diskriminante positiv, die Wurzel des Polynoms reell:

Rezept aus VII.10 §3.1: zwei einfache reelle Wurzeln ergeben Basislösungen $e^{\lambda_1 t}$ und $e^{\lambda_2 t}$. Allgemeine Lösung:

Anschauung: die Lösung ist die Summe zweier Abklingkurven, einer schnellen ($e^{\lambda_1 t}$, grosses $|\lambda|$) und einer langsamen ($e^{\lambda_2 t}$, kleines $|\lambda|$).

Für grosse $t$ dominiert die langsamere, die schnelle ist längst weg. Das System schleicht zur Ruhe, höchstens mit einem Vorzeichenwechsel, nie mit echter Oszillation.

Praktisches Bild: ein Türschliesser im Winter, in dem das Öl zäher geworden ist. Du lässt die Tür los, sie schwingt nicht zurück, sondern kriecht langsam in den Rahmen. Oder eine Pendeluhr, getaucht in Sirup. Das System hat zu viel Reibung, um seinen natürlichen Rhythmus zu finden.

Warum komplexe Exponentiale, wenn die DGL reell ist? Weil der Ansatz $z = C\cdot e^{i\Omega t}$ kürzer rechnet als $\cos$ und $\sin$ getrennt, und der Realteil am Schluss die reelle Lösung liefert. Das ist der Rechenweg zu der in der Vorlesung notierten stationären Form $x_0 = A\cos(\sigma t + \alpha)$ (reeller Ansatz, siehe Kasten rechts); weil die Vorlesung die Rechnung ans Skript verweist, führen wir sie hier mit dem komplexen Ansatz aus. Trick: betrachte die DGL über $\mathbb{C}$ mit komplexer rechter Seite, und gewinne am Schluss den reellen Realteil zurück.

Komplexe Begleit-DGL. Definiere eine komplexe Funktion $z(t)$ als Lösung von

Warum funktioniert das? Die DGL hat reelle Koeffizienten. Setzt man $z(t) = u(t) + i\,v(t)$ ein und sortiert nach Real- und Imaginärteil, lösen $u$ und $v$ jeweils einzeln die DGL mit dem entsprechenden reellen Teil der rechten Seite.

Hier ist $A\,e^{i\Omega t} = A\cos(\Omega t) + i\,A\sin(\Omega t)$, also löst $u = \operatorname{Re}(z)$ die DGL mit Antrieb $A\cos(\Omega t)$ und $v = \operatorname{Im}(z)$ mit $A\sin(\Omega t)$. Beide Fälle in einem Streich.

Ansatz: $z(t) = C\,e^{i\Omega t}$ mit unbekannter komplexer Konstante $C$. Ableitungen: $\dot{z} = i\,\Omega\,C\,e^{i\Omega t}$, $\ddot{z} = -\Omega^2\,C\,e^{i\Omega t}$. Einsetzen und $e^{i\Omega t}$ herauskürzen:

Aus einer DGL ein Bruch. Die ursprüngliche DGL hat sich auf eine einzige algebraische Gleichung reduziert. $C$ ist eine komplexe Zahl, die in Polarform Amplitude und Phase der stationären Antwort kodiert. Genau diesen Bruch in Amplitude und Phase auseinanderzunehmen, ist die Aufgabe von §3.3.

Die partikuläre Lösung hat die Form $R(\Omega)\cos(\Omega\,t - \varphi(\Omega))$. Wie hängen Amplitude $R$ und Phase $\varphi$ von der Anregungsfrequenz ab? Wir schreiben die komplexe Konstante $C$ aus §3.2 in Polarform $C = R\,e^{-i\varphi}$ und lesen Betrag und Argument ab.

Betrag. Der Nenner $\omega_0^2 - \Omega^2 + 2i\,\delta\,\Omega$ hat Realteil $\omega_0^2 - \Omega^2$ und Imaginärteil $2\delta\Omega$. Sein Betrag ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate. Da $C$ als Quotient $A / \text{Nenner}$ entsteht, ist $|C| = A / |\text{Nenner}|$.

Phase. Das Argument einer komplexen Zahl $a + bi$ ist $\arctan(b/a)$ (mit Quadranten-Korrektur). Da $C = A / \text{Nenner}$ und $A > 0$ reell ist, gilt $\arg(C) = -\arg(\text{Nenner})$. Wir definieren $\varphi(\Omega)$ als die positive Phasenverschiebung der Antwort gegenüber der Anregung:

Zusammensetzen. Mit $C = R\,e^{-i\varphi}$ wird $z(t) = R\,e^{i(\Omega t - \varphi)}$. Realteil:

Physikalisch: das System antwortet immer mit der Anregungsfrequenz $\Omega$, nicht mit seiner eigenen, phasenverschoben (es hinkt hinterher) und in der Amplitude umskaliert. Bei niedriger Anregung fast in Phase, bei hoher zunehmend hinterher, bei genau $\omega_0$ um eine Viertelperiode.

Was siehst du, wenn du das System lange genug laufen lässt? Eine reine Oszillation mit der Anregungsfrequenz $\Omega$, fester Amplitude und fester Phase. Genau diesen Zustand nennt man stationär. Wir definieren ihn präzise und sammeln seine Eigenschaften.

Drei Eigenschaften des stationären Zustands:

1. Frequenz: immer $\Omega$ (Anregung), nie $\omega_0$ oder $\omega_d$ (System). Die Anregung diktiert das Tempo.

2. Amplitude $R(\Omega)$: hängt vom Verhältnis $\Omega/\omega_0$ und der Dämpfung $\delta$ ab. Maximal bei der Resonanzfrequenz $\Omega_R$ (§5.1).

3. Phase $\varphi(\Omega)$: Antwort hinkt der Anregung hinterher. Bei niedriger Anregung kaum, bei $\Omega = \omega_0$ exakt eine Viertelperiode, bei sehr hoher Anregung fast eine halbe Periode.

Wichtig: stationär heisst nicht zeitlich konstant. Stationär heisst, dass die Antwort eine wohldefinierte Bauart hat (Sinusschwingung mit festen $R, \varphi$), die sich nicht mehr ändert. Die Funktion $x_{\text{stat}}(t)$ schwingt natürlich weiter, aber ihr Charakter ist stabil. In statistischer Sprache: stationär im Sinn der Verteilungs-Eigenschaften, nicht im Sinn von zeit-konstant.

Was passiert mit der Amplitude, wenn die Dämpfung auf null geht und die Anregung genau auf $\omega_0$ trifft? Wir untersuchen den Grenzfall $\delta \to 0$ und $\Omega \to \omega_0$ und entdecken die Resonanz-Katastrophe.

Amplitude bei Resonanz. Im Limit $\delta \to 0$ wird $\Omega_R \to \omega_0$, und die Maximalamplitude aus §5.1 vereinfacht sich. Setze $\Omega = \omega_0$ in $R(\Omega)$ ein:

Resonanz-Katastrophe. Für $\delta \to 0$ divergiert $R(\omega_0) \to \infty$: ein ungedämpfter Schwinger, mit seiner Eigenfrequenz angeregt, baut beliebig grosse Amplituden auf. Mathematisch kein endlicher Grenzwert, physikalisch gibt das Material irgendwann nach (Verformung, Bruch).

Reale Systeme. Echte Systeme haben immer eine kleine Dämpfung, also keine echte Singularität. Aber sie können trotzdem riesige Amplituden erreichen, weit über das normale Betriebsmass hinaus. Genau deshalb ist Resonanz die ingenieurstechnische Feindzahl Nummer eins.

Berühmte Beispiele.

Tacoma-Narrows-Brücke (1940): aerodynamische Schwingung, ausgelöst durch Wirbelablösungen im Wind, traf die Torsions-Eigenfrequenz der Brücke. Innerhalb von Stunden Aufschaukelung bis zum Einsturz. Klassischer Lehrbuch-Fall.

Singende Weingläser, zerspringendes Glas: Ton trifft die Eigenfrequenz des Glases, Resonanz bringt es zum Schwingen, irgendwann übersteigt die Materialspannung die Bruchgrenze.

Mikrofon-Rückkopplung: Lautsprecher-Signal trifft Mikrofon, wird verstärkt, geht wieder in den Lautsprecher, baut sich exponentiell auf. Das durchdringende Pfeifen ist Resonanz im akustischen Verstärkungskreis.

Ingenieurs-Konsequenz. Bei jeder Maschine, Brücke, jedem Gebäude muss man die Eigenfrequenzen kennen und sicherstellen, dass keine Betriebsfrequenz in ihre Nähe gerät. Sonst Materialermüdung, im Extremfall katastrophales Versagen. Standard-Werkzeug: Modalanalyse, Frequenzgang-Messung, gezielte Dämpfungs-Erhöhung.

Wie breit ist die Resonanz eigentlich, und was bedeutet das physikalisch? Der Q-Faktor misst genau das, eine dimensionslose Kennzahl, die jeden Resonator in einer einzigen Zahl charakterisiert.

Anschaulich: $Q$ ist die Anzahl Schwingungen, die das System nach einem einzelnen Anstoss in etwa noch macht, bis seine Amplitude auf $e^{-\pi}$ (etwa 4%) gefallen ist. Hohes $Q$ heisst: das System klingt langsam aus, hat eine ausgeprägte Eigenfrequenz, antwortet selektiv. Niedriges $Q$ heisst: das System klingt schnell ab, antwortet auf einen breiten Frequenzbereich.

Halbwertsbreite. Eine andere Lesart von $Q$: wie breit ist der Resonanz-Peak von $R(\Omega)$? Misst man die Breite $\Delta\Omega$ bei halber maximaler Leistung (also $R^2$-Peak halbiert), gilt für $Q \gg 1$:

Praktische Q-Werte:

Quarz-Resonator (in jeder Armbanduhr): $Q \approx 10^6$. Extrem scharfe Resonanz, deshalb extrem genaue Frequenz, deshalb genaue Zeit.

Klavier-Saite: $Q \approx 10^3$. Ton klingt langsam aus, eindeutiger Pitch.

Auto-Stossdämpfer: $Q \approx 1$. Bewusst flach gehalten, damit das Auto nicht in irgendwelchen Frequenzen klingelt.

Mensch-Stimmbänder: $Q$ im einstelligen Bereich, je nach Vokal und Tonhöhe.

Wie wird aus dem nicht-linearen Pendel die harmonische Schwingung aus §2? Durch Linearisierung, $\sin(\theta) \approx \theta$ bei kleinen Winkeln, und der Rest ist VII.10-Apparat. Aus $\ddot{\theta} + (g/\ell)\sin(\theta) = 0$ wird damit eine lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Aufbau. Eine Punktmasse $m$ hängt an einem masselosen, starren Stab der Länge $\ell$. Der Auslenkungswinkel $\theta$ misst die Abweichung aus der Senkrechten. Die einzige rückstellende Kraft ist die Komponente der Schwerkraft entlang des Bogens, $-m\,g\sin(\theta)$. Newton 2 entlang des Bogens (mit Bogenlänge $s = \ell\,\theta$) gibt $m\,\ell\,\ddot{\theta} = -m\,g\sin(\theta)$, also:

Linearisierung um $\theta^* = 0$. Setze $f(\theta) = (g/\ell)\sin(\theta)$. Ableitung: $f'(\theta) = (g/\ell)\cos(\theta)$. Am Gleichgewicht $\theta^* = 0$: $f'(0) = g/\ell$. Die linearisierte DGL ist also:

Anschaulich: für kleine Auslenkungen ist $\sin(\theta) \approx \theta$, und das nicht-lineare Pendel wird zur reinen harmonischen Schwingung. Die Periode hängt nur von Pendellänge und Schwere ab, nicht von der Amplitude. Diese Isochronie beobachtete Galileo, allerdings nur näherungsweise im Kleinwinkel-Limit.