VII.8 Differentialgleichungen höherer Ordnung

Schau auf vier konkrete Differentialgleichungen und zähl die Striche an $y$: das ist die Ordnung. Mehr steckt zunächst nicht dahinter.

Die Physik schreibt zweite Zeitableitungen gern mit zwei Punkten über der Variablen: $\ddot{x} = \frac{d^2 x}{dt^2}$. Das ist nur eine andere Schreibweise für dieselbe zweite Ableitung. Newtons Bewegungsgleichung $m\,\ddot{x} = F(t)$ ist deshalb ebenfalls von zweiter Ordnung.

Wann ist es einfach? Wenn die rechte Seite gar nicht von $y$ und seinen Ableitungen abhängt, sondern nur von $x$, lässt sich die DGL durch reines Integrieren lösen. Genau das passiert gleich in §2 mit $y'' = 0$.

Müssen wir für jede Ordnung eine neue Theorie bauen? Nein. Jede DGL $n$-ter Ordnung lässt sich als System aus $n$ Differentialgleichungen erster Ordnung umschreiben. Das ist der Grund, warum die schwere Theorie eigentlich nur einmal, für erste Ordnung, bewiesen werden muss.

Der Trick ist simpel: gib jeder Ableitung einen eigenen Namen. Setze $y_1 = y$, $y_2 = y'$, $y_3 = y''$, und so weiter bis $y_n = y^{(n-1)}$. Dann ist die Ableitung von $y_1$ gerade $y_2$, die von $y_2$ gerade $y_3$, und die letzte Gleichung $y_n' = f(x, y_1, \dots, y_n)$ kommt direkt aus der ursprünglichen DGL.

In Worten: eine schwierige Gleichung mit hohen Ableitungen wird gegen $n$ harmlose mit nur ersten Ableitungen getauscht. Details und ein durchgerechnetes Beispiel in Kapitel VII.12.

Lass uns die einfachst-mögliche DGL zweiter Ordnung lösen und sehen, wie zwei Konstanten von ganz allein erscheinen. Wir nehmen $y'' = 0$: die zweite Ableitung ist überall null.

Integrierst du einmal, bekommst du $y' = C_1$, eine konstante Steigung. Integrierst du noch einmal, steht da $y = C_1 x + C_2$. Da sind die beiden Konstanten, eine pro Integration.

Mach die Probe: aus $y = C_1 x + C_2$ folgt $y' = C_1$ und $y'' = 0$. Die DGL ist erfüllt, egal welche Werte $C_1$ und $C_2$ haben. Genau das meint die zweiparametrige Schar: zwei Konstanten, beide frei.

Etwas allgemeiner, das Beispiel aus der Vorlesung. Statt $y'' = 0$ nimm $y'' = a$ mit einer Konstanten $a \in \mathbb{R}$. Zweimal integrieren gibt $y' = a x + C_1$ und $y = \tfrac{a}{2} x^2 + C_1 x + C_2$, eine zweiparametrige Schar von Parabeln (für $a \neq 0$). Der Fall $y'' = 0$ ist davon der Spezialfall $a = 0$, bei dem die Parabeln zu Geraden entarten.

Was bedeutet eine zweiparametrige Schar geometrisch? Stell dir alle möglichen Lösungskurven gleichzeitig im Plot vor, als eine ganze Familie. Bei $y = C_1 x + C_2$ ist das die Menge aller Geraden der Ebene: $C_1$ ist die Steigung, $C_2$ verschiebt nach oben oder unten.

Zwei Konstanten heissen zwei unabhängige Stellschrauben. Mit der einen kippst du die Gerade, mit der anderen schiebst du sie. Jede Kombination liefert eine andere Kurve aus der Schar.

Warum diese Form, nicht eine andere? Man könnte die Geraden auch über zwei Punkte beschreiben. Die Form $C_1 x + C_2$ ist aber die natürliche: sie fällt direkt aus den zwei Integrationen heraus und trennt Steigung und Verschiebung sauber voneinander.

Reichen die $n$ Bedingungen wirklich, um die $n$ Konstanten eindeutig festzulegen? Ja, sofern das zugehörige Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.

Der Weg ist mechanisch: setze die allgemeine Lösung und ihre Ableitungen am Punkt $x_0$ ein.

Jede Anfangsbedingung wird so zu einer Gleichung in den Unbekannten $C_1, \dots, C_n$. Du erhältst $n$ Gleichungen für $n$ Unbekannte, ein lineares Gleichungssystem. Hat es genau eine Lösung, sind die Konstanten eindeutig bestimmt und damit die ganze Lösungskurve.

Schau es dir an der Geradenschar $y = C_1 x + C_2$ an, mit den Bedingungen $y(0) = 1$ und $y'(0) = 2$. Einsetzen gibt $y(0) = C_2 = 1$ und $y'(0) = C_1 = 2$. Beide Konstanten fallen sofort heraus, und die eine passende Kurve steht fest:

Achtung: der Satz garantiert keine Lösung für alle $x$, sondern nur in einem kleinen Stück um $x_0$. Was heisst das konkret? Es gibt ein Intervall um den Startpunkt $x_0$, auf dem genau eine Lösung existiert. Wie gross dieses Intervall ist, sagt der Satz nicht, und über seinen Rand hinaus gibt er keine Garantie.

Wie beim Wetter: die Vorhersage für morgen ist verlässlich, die für in 14 Tagen nicht. Der Existenzsatz garantiert die nähere Umgebung von $x_0$, nicht den fernen Verlauf.

Genauer ausgearbeitet, mit dem Satz von Picard und Lindelöf, findest du diese Garantie für erste Ordnung in Kapitel VII.3. Über die Reduktion aus §1.3 überträgt sie sich auf jede höhere Ordnung.

Welche zwei Funktionen ergeben zweimal abgeleitet ein Minus-ihrer-selbst, erfüllen also $y'' = -\omega^2 y$?

Genau Sinus und Kosinus: leitest du $\cos(\omega t)$ zweimal ab, kommt $-\omega^2 \cos(\omega t)$ heraus. Wir raten die Lösung und prüfen durch Einsetzen.

Die allgemeine Lösung ist die Kombination aus beiden, mit zwei freien Konstanten $A$ und $B$, wie es die zweite Ordnung verlangt:

Mach die Probe: aus $y = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ folgt $y'' = -\omega^2 A\cos(\omega t) - \omega^2 B\sin(\omega t) = -\omega^2 y$. Eingesetzt ergibt das $y'' + \omega^2 y = 0$, die DGL ist erfüllt, für jedes $A$ und jedes $B$.

Dieselbe Schwingung lässt sich auch als eine einzige verschobene Kosinuswelle schreiben. Diese Form macht Amplitude und Phase direkt sichtbar:

Wir starten die Feder bei Auslenkung $y_0$ und Anfangsgeschwindigkeit $v_0$. Wie liest man $A$ und $B$ daraus ab? Setze $t = 0$ in die Lösung und in ihre Ableitung ein.

Bei $t = 0$ ist $\cos(0) = 1$, $\sin(0) = 0$, also $y(0) = A = y_0$.

Die Geschwindigkeit $y'(t) = -A\,\omega\sin(\omega t) + B\,\omega\cos(\omega t)$ gibt bei $t = 0$ gerade $y'(0) = B\,\omega = v_0$, also $B = v_0/\omega$.

In Worten: die Anfangsauslenkung wird $A$ im Kosinus-Teil, die Anfangsgeschwindigkeit $B = v_0/\omega$ im Sinus-Teil. Damit ist aus der Schar genau die Schwingung gewählt, die zu deinem Start passt.

Die Schwingungsdauer ist $T = 2\pi/\omega$, die Frequenz $f = \omega/(2\pi)$. Beide hängen nur an $\omega$, nicht an den Anfangsbedingungen: anstossen ändert wie weit die Feder ausschlägt, nicht wie schnell sie schwingt.

Ein zweites physikalisches Modell zeigt, wie direkt eine DGL 2. Ordnung aus der Mechanik kommt: die Durchbiegung eines Balkens. Stell dir einen waagrechten Balken der Länge $L$ vor, links bei $x = 0$ fest eingespannt, am freien rechten Ende mit einer Last $P$ nach unten belastet. Gesucht ist die Biegelinie $y(x)$, also wie weit der Balken an jeder Stelle durchhängt.

An der Stelle $x$ wirkt das Biegemoment $M(x) = -(L - x)\, P$: die Last $P$ am Hebelarm $(L - x)$ biegt den Balken. Die Balkentheorie verknüpft Moment und Krümmung über $E\,J\, y''(x) = M(x)$, wobei $E\,J$ die Biegesteifigkeit ist (Elastizitätsmodul mal Flächenträgheitsmoment des Querschnitts).

Zweimal integrieren und beide Konstanten aus den Anfangsbedingungen bestimmen ($y'(0) = 0$ und $y(0) = 0$ setzen sie beide auf null) liefert die Biegelinie in geschlossener Form.

Lass uns das konkret machen. Welche DGL erfüllt jede beliebige Gerade? Und welche jede beliebige Parabel? Wir wenden das Rezept auf drei vertraute Scharen an.

Geradenschar $y = C_1 x + C_2$, zwei Konstanten. Einmal ableiten gibt $y' = C_1$, noch einmal $y'' = 0$. Die zweite Ableitung enthält keine Konstante mehr: die DGL der Geradenschar ist $y'' = 0$. Genau die Schar aus §2, jetzt von hinten gelesen.

Parabelschar $y = C_1 x^2 + C_2 x + C_3$, drei Konstanten. Ableiten: $y' = 2 C_1 x + C_2$, dann $y'' = 2 C_1$, dann $y''' = 0$.

Drei Konstanten, dritte Ordnung: die DGL ist $y''' = 0$.

Gemischte Exponentialschar $y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}$, zwei Konstanten. Hier wird die zweite Ableitung interessant: $y' = C_1 e^{x} - C_2 e^{-x}$ und $y'' = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} = y$.

Die DGL ist also $y'' = y$, ganz ohne übrig bleibende Konstante.