VII.12 Systeme von Differentialgleichungen

Wie liest du die vektorielle Form $\dot{\mathbf{y}} = \mathbf{f}(t, \mathbf{y})$ konkret?

Schreib sie Zeile für Zeile aus: $n$ gekoppelte skalare DGLs. Jede Zeile hat die Bauart aus VII.3 ($y_i' = f_i$), nur darf die rechte Seite $f_i$ jetzt von allen Komponenten von $\mathbf{y}$ abhängen, nicht nur von $y_i$.

Das ist der Kern der „Kopplung“: eine Änderung an $y_3$ kann sofort die Ableitung von $y_1$ beeinflussen.

Lass uns das an einem kleinen Fall sehen. Für $n = 2$ schreibt sich das System aus zwei Gleichungen: $\dot{y}_1 = f_1(t, y_1, y_2)$ und $\dot{y}_2 = f_2(t, y_1, y_2)$. Wenn $f_1$ nur von $y_1$ abhinge und $f_2$ nur von $y_2$, wären beide Gleichungen unabhängig und wir hätten zwei separate 1D-Probleme. Sobald aber $f_1$ auch $y_2$ enthält oder $f_2$ auch $y_1$, sind die beiden Funktionen verkoppelt und müssen gemeinsam gelöst werden.

Was passiert konkret, wenn du die harmonische Schwingung $\ddot{y} + \omega^2\,y = 0$ als 2D-System schreibst?

Setze $u_1 := y$ (die Auslenkung) und $u_2 := \dot{y}$ (die Geschwindigkeit). Dann ist $\dot{u}_1 = \dot{y} = u_2$ direkt aus der Definition, und $\dot{u}_2 = \ddot{y} = -\omega^2\,y = -\omega^2\,u_1$ aus der ursprünglichen DGL. Aus einer Gleichung 2. Ordnung in einer Funktion sind zwei Gleichungen 1. Ordnung in zwei Funktionen geworden. Position und Geschwindigkeit sind die natürliche Wahl der Zustandsvariablen, weil sie zusammen die Bewegung eindeutig festlegen.

Das System ist linear in $\mathbf{u}$, also kompakt als Matrix-Gleichung $\dot{\mathbf{u}} = A\,\mathbf{u}$ schreibbar. Die Matrix $A$ trägt die Kopplungs-Struktur: die Eins oben rechts kommt aus „Geschwindigkeit ist Ableitung der Position“, das $-\omega^2$ unten links aus „Beschleunigung gleich $-\omega^2$ mal Position“.

Wie sieht das System aus, wenn zwei Massen durch Federn so verbunden sind, dass jede für sich schwingen kann und beide einander schubsen?

Stell dir zwei identische Massen $m$ in einer Reihe vor, jede mit einer Feder an „ihrer“ Wand befestigt, dazwischen eine Kopplungsfeder. Der Einfachheit halber alle drei Federn gleich steif, Federkonstante $k$.

Im Kleinwinkel-Limit ist das äquivalent zu zwei gekoppelten Pendeln mit Eigenfrequenz $\omega_0 = \sqrt{k/m}$.

Newton 2 auf beide Massen: auf Masse 1 wirkt $-k\,x_1$ (Wandfeder) und $-k\,(x_1 - x_2)$ (Kopplungsfeder), in Summe $-2k\,x_1 + k\,x_2$; auf Masse 2 entsprechend $-2k\,x_2 + k\,x_1$. Zwei DGLs 2. Ordnung.

Reduzieren mit dem Standard-Trick: $u_1 := x_1$, $u_2 := \dot{x}_1$, $u_3 := x_2$, $u_4 := \dot{x}_2$. Aus zwei DGLs 2. Ordnung werden vier 1. Ordnung, Zustands-Raum Dimension 4.

Warum können sich zwei verschiedene Lösungen eines autonomen Systems im Phasenraum niemals kreuzen?

Weil Eindeutigkeit am Schnittpunkt versagen würde. Kämen zwei Lösungen $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ am Punkt $\mathbf{p}$ zusammen (zu Zeiten $t_1, t_2$), liesse sich $\mathbf{z}$ wegen Translationsinvarianz (§4.2) so verschieben, dass $\mathbf{y}(t_0) = \mathbf{z}(t_0) = \mathbf{p}$.

Dann wären $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ zwei Lösungen desselben Anfangswertproblems, im Widerspruch zur Eindeutigkeit. Also unmöglich.

Folgerung für die Bilder: in einem Phasenporträt (§5) sind die Trajektorien wie Strömungslinien einer Flüssigkeit. Sie laufen nebeneinander her, biegen ab, schliessen sich zu Schleifen, aber sie kreuzen sich nie. Das ist eine starke geometrische Aussage, die die ganze Lese-Praxis von Phasenporträts erst möglich macht: jede Trajektorie hat ihren eigenen Schlauch durch den Phasenraum.

Wenn das System autonom ist und $\mathbf{y}(t)$ eine Lösung, was ist dann $\mathbf{y}(t - c)$?

Wieder eine Lösung, nur in der Zeit um $c$ verschoben. Beweis in einer Zeile: setze $\mathbf{z}(t) := \mathbf{y}(t - c)$, dann ist $\dot{\mathbf{z}}(t) = \dot{\mathbf{y}}(t - c) = \mathbf{f}(\mathbf{y}(t - c)) = \mathbf{f}(\mathbf{z}(t))$.

Die DGL für $\mathbf{z}$ ist dieselbe wie für $\mathbf{y}$, weil $\mathbf{f}$ nur von der Position abhängt, nicht von der absoluten Zeit. Das ist die Translationsinvarianz autonomer Systeme.

Bedeutung: es gibt keine ausgezeichnete Stunde Null. Wer dieselbe Trajektorie mit einer um $c$ verschobenen Uhr startet, sieht denselben Bewegungsablauf. Im Phasenporträt äussert sich das so: zwei Trajektorien, die nur zeitverschoben sind, beschreiben dieselbe geometrische Kurve im Phasenraum; sie liegen aufeinander, nur die Markierungen „wo bin ich bei $t = 0$“ verschieben sich entlang der Kurve.

Was siehst du, wenn du gleichzeitig viele Anfangsbedingungen zeichnest?

Eine ganze Familie von Trajektorien, eine pro Startpunkt: das Phasenporträt des Systems, die geometrische Zusammenfassung aller Bewegungen auf einen Blick.

Anschaulich ein Strömungs-Atlas: an jedem Anfangspunkt $\mathbf{y}_0$ liest du ab, welche Bahn das System nimmt. Da Trajektorien sich nicht kreuzen (§3.2), ist das Bild aufgeräumt.

Gezeichnet wird es typisch in zwei Schichten. Erstens das Vektorfeld $\mathbf{f}(\mathbf{y})$ an einem Gitter, das überall die lokale Strömungsrichtung gibt. Zweitens repräsentative Trajektorien, die von ausgewählten Startpunkten dem Feld folgen.

Beide Schichten zusammen zeigen die globale Dynamik: wo Wirbel, Quellen, Senken, geschlossene Bahnen sind.

Wie liest du ein Phasenporträt geometrisch?

Schau auf drei Dinge der Reihe nach: die Strömungsrichtung der Pfeile an jedem Punkt, die Gleichgewichts-Punkte (dort, wo der Pfeil verschwindet), und die globale Topologie der Bahnen (geschlossen, einlaufend, auslaufend). Aus diesen drei Beobachtungen lassen sich die qualitativen Eigenschaften des Systems ablesen, ohne irgendetwas zu rechnen. Die unten stehende Tabelle fasst die Lese-Regel kompakt zusammen.

Beispiel zum Üben: das Phasenporträt der harmonischen Schwingung (§2.2) zeigt konzentrische Ellipsen um den Ursprung, alle gegen den Uhrzeigersinn. Daraus liest man sofort: ein Gleichgewichts-Punkt am Ursprung, nur geschlossene Bahnen (periodisch), fester Drehsinn.

Die Amplitude entspricht der „Grösse“ der Ellipse, also dem Abstand vom Ursprung. Eine systematische Klassifikation aller 2D-Phasenporträts (Knoten, Sattel, Strudel, Zentrum) folgt in VII.14.