VII.14 Stabilitätsverhalten

Wie findest du die Gleichgewichtspunkte konkret? Setze die rechte Seite auf null und löse das algebraische Gleichungssystem.

Beachte den Wechsel: $\mathbf{f}(\mathbf{y}) = \mathbf{0}$ ist keine DGL mehr, sondern ein gewöhnliches Gleichungssystem in $\mathbf{y}$. Die Zeitableitung ist weg, es bleibt reine Algebra.

Beim linearen System $\dot{\mathbf{y}} = A\,\mathbf{y}$ löst du $A\,\mathbf{y}^{\ast} = \mathbf{0}$. Ist $\det(A) \neq 0$, ist der Ursprung das einzige Gleichgewicht, weshalb die lineare Stabilitätsdiskussion immer im Nullpunkt sitzt. Bei $\det(A) = 0$ gibt es eine ganze Gerade oder Ebene (den Kern von $A$).

Beim nichtlinearen System kann es mehrere getrennte Gleichgewichte geben. Vorschau auf das Pendel aus §5: der Sinus wird unendlich oft null, also gibt es Gleichgewichte bei $y_1 = 0, \pm\pi, \pm 2\pi, \dots$, abwechselnd unten und oben hängend. Jedes dieser Gleichgewichte bekommt seine eigene Stabilitäts-Antwort.

Was ist der starke Stabilitätsbegriff, bei dem das System in die Ruhe zurückkehrt? Asymptotische Stabilität. Dämpfung erzeugt genau das.

Das ist die Kugel im Talboden: ein kleiner Schubs, und sie rollt von selbst zurück zur Talsohle.

Formal heisst ein Gleichgewicht asymptotisch stabil, wenn es Ljapunov-stabil ist und jede nah genug gestartete Lösung gegen $\mathbf{y}^{\ast}$ läuft ($\mathbf{y}(t) \to \mathbf{y}^{\ast}$ für $t \to \infty$). Es bleibt also nicht nur nah, es kehrt heim.

Das 1D-Vorbild kennst du schon aus VII.11: der gedämpfte Oszillator. Seine Amplitude klingt exponentiell ab, das System pendelt sich auf die Ruhelage ein. Genau dieses Abklingen ist asymptotische Stabilität in Aktion. Die Dämpfung entzieht dem System Energie, und ohne Energie bleibt nur die Ruhe.

Wann ist ein Gleichgewicht instabil? Wenn es Anfangsbedingungen beliebig nah am Gleichgewicht gibt, die wegrennen, wie eine Kugel auf einem Bergrücken.

Instabilität ist schlicht die Verneinung von Stabilität. Es gibt also eine feste Toleranz $\varepsilon$, für die du kein passendes $\delta$ findest: egal wie nah du startest, mindestens eine Lösung verlässt früher oder später den $\varepsilon$-Schlauch. Schon beliebig kleine Störungen können also anwachsen und das System fortreissen.

Achte auf das Wort „mindestens eine“. Instabil heisst nicht, dass jede Lösung flieht. Es genügt, dass nicht alle in der Nähe bleiben. Beim Sattelpunkt aus §4.2 etwa gibt es sogar eine Richtung, entlang der Lösungen einlaufen; trotzdem ist der Sattel instabil, weil fast alle anderen Lösungen entkommen.

Welche eine Zahl pro Eigenwert entscheidet über Stabilität? Der Realteil. $\operatorname{Re}(\lambda) < 0$ heisst Abklingen, $\operatorname{Re}(\lambda) > 0$ heisst Wachsen.

Die Lösungen eines linearen Systems sind aus Termen der Form $e^{\lambda t}$ aufgebaut. Ist $\lambda = a + ib$ komplex, so zerfällt $e^{\lambda t} = e^{at}\,(\cos(bt) + i \sin(bt))$ in zwei Teile: der Betrag wächst oder schrumpft wie $e^{at} = e^{\operatorname{Re}(\lambda)\,t}$, und der Rest dreht nur mit der Frequenz $b = \operatorname{Im}(\lambda)$. Der Realteil ist also die Wachstumsrate, der Imaginärteil die Drehzahl.

Daraus folgt die ganze Logik: $\operatorname{Re}(\lambda) < 0$ lässt den Term abklingen, $\operatorname{Re}(\lambda) > 0$ lässt ihn explodieren, $\operatorname{Re}(\lambda) = 0$ ist der Grenzfall reiner, beschränkter Drehung.

Eine Spirale entsteht, wenn beide Teile da sind; reines Abklingen, wenn nur der Realteil wirkt; reine Drehung, wenn nur der Imaginärteil bleibt.

Wie ergeben sich die drei Stabilitätsbegriffe aus den Realteilen aller Eigenwerte? Drei klare Fälle, eine Tabelle.

Du schaust auf die Realteile aller Eigenwerte gleichzeitig. Sind alle negativ, klingen alle Lösungsanteile ab, und das Gleichgewicht ist asymptotisch stabil. Hat auch nur ein Eigenwert positiven Realteil, wächst dieser Anteil an, und das Gleichgewicht ist instabil. Der dritte Fall ist der Grenzfall: alle Realteile sind kleiner oder gleich null, aber mindestens einer ist genau null.

Im Grenzfall entscheidet die Feinstruktur. Ist der Eigenwert mit $\operatorname{Re} = 0$ einfach genug (die Matrix dort diagonalisierbar), bleibt das System stabil, aber nicht asymptotisch, wie ein Zentrum. Steckt dagegen ein Jordan-Block hinter einer mehrfachen Wurzel mit Realteil null, wächst die Lösung polynomiell (Terme wie $t\,e^{0 \cdot t} = t$) und das Gleichgewicht ist instabil. Den Grenzfall darf man also nie vorschnell als stabil abhaken.

Lauf das Rezept einmal an der Matrix $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ durch:

Was passiert, wenn die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen haben? Sattelpunkt. Trajektorien laufen entlang einer Achse rein, entlang der anderen wieder hinaus.

Ein Eigenwert ist negativ, der andere positiv. Entlang des Eigenvektors zum negativen laufen Lösungen in den Ursprung (stabile Richtung), entlang des zum positiven hinaus (instabile Richtung). Fast jede Bahn kommt zuerst näher, biegt ab und entkommt.

Das Bild gleicht einem Gebirgspass: ein Pfad führt in den Sattel hinein, zu beiden Seiten geht es bergab. Nur wer exakt auf der stabilen Eigenrichtung startet, erreicht das Gleichgewicht; jede Abweichung rollt davon.

Lehrbuch-Beispiel ist das Symbiose-System $\dot{y}_1 = y_2,\ \dot{y}_2 = 2\,y_1$ (zwei Populationen, die sich gegenseitig fördern). Hier ist $\operatorname{Tr}(A) = 0$ und $\det(A) = -2 < 0$. Das charakteristische Polynom $\lambda^2 - 2 = 0$ liefert $\lambda = \pm\sqrt{2}$, reell mit verschiedenem Vorzeichen. Der Ursprung ist ein Sattel und damit instabil.

Wie sehen Trajektorien bei komplex konjugierten Eigenwerten aus? Spiralen. Die Rotation kommt vom Imaginärteil, die Spiralrichtung vom Realteil.

Ein komplexes Paar $\lambda = a \pm i b$ ($b \neq 0$) erzeugt Lösungen $e^{at}\,(C_1 \cos(bt) + C_2 \sin(bt))$. Die Drehung mit Frequenz $b$ wickelt die Bahn um den Ursprung, der Faktor $e^{at}$ zieht sie nach innen oder treibt sie nach aussen: eine Spirale.

Bei $a < 0$ spiralt die Bahn nach innen (stabiler Strudel, asymptotisch stabil), bei $a > 0$ nach aussen (instabiler Strudel). Wie Wasser im Abfluss: nach innen ist stabil, nach aussen instabil.

Lehrbuch-Beispiele: der schwach gedämpfte Oszillator ($\delta < \omega_0$) hat Eigenwerte $\lambda = -\delta \pm i\sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}$ mit Realteil $-\delta < 0$, also einen stabilen Strudel, das Einschwingen aus VII.11. Das System $\dot{y}_1 = y_1 - y_2,\ \dot{y}_2 = y_1 + y_2$ hat $\lambda = 1 \pm i$ mit Realteil $+1 > 0$, also einen instabilen Strudel mit nach aussen laufenden Spiralen.

Was passiert im Grenzfall verschwindender Realteile? Die Spirale wird zu einer geschlossenen Bahn. Wirbel, ein Zentrum mit Ljapunov-Stabilität ohne Abklingen.

Sind die Eigenwerte rein imaginär, $\lambda = \pm i b$, fehlt die Hülle ($a = 0$). Übrig bleibt die reine Drehung: die Lösungen sind harmonische Schwingungen $C_1 \cos(bt) + C_2 \sin(bt)$, die Bahnen geschlossene Ellipsen um das Gleichgewicht.

Das System umkreist die Ruhe ewig, kommt ihr aber nie näher und entfernt sich auch nicht. Deshalb ist ein Zentrum Ljapunov-stabil, aber nicht asymptotisch stabil, wie der reibungsfreie Pendelkreis oder die Planetenbahn.

Die Bedingung dafür ist $\operatorname{Tr}(A) = 0$ (kein Realteil) bei $\det(A) > 0$ (echt komplexes Paar).

Das Lehrbuch-Beispiel ist der ungedämpfte Oszillator $\dot{y}_1 = y_2,\ \dot{y}_2 = -\omega_0^2\,y_1$ mit $\lambda = \pm i\,\omega_0$. Sein Phasenporträt zeigt konzentrische Ellipsen um den Ursprung, alle im selben Drehsinn durchlaufen.

Welche Stabilität haben die beiden Gleichgewichte des mathematischen Pendels? Unten stabil (Wirbel ohne Dämpfung, Strudel mit), oben instabil (Sattel, kleinste Störung wirft das Pendel um).

Das mathematische Pendel erfüllt $\ddot{\varphi} + (g/\ell)\sin(\varphi) = 0$. Als System mit $y_1 = \varphi$ und $y_2 = \dot{\varphi}$ lautet es $\dot{y}_1 = y_2,\ \dot{y}_2 = -(g/\ell)\sin(y_1)$.

Gleichgewichte erfüllen $y_2 = 0$ und $\sin(y_1) = 0$, also $y_1 = n\pi$. Wesentlich sind zwei: das untere $(0, 0)$ (hängend) und das obere $(\pi, 0)$ (aufrecht). Die Jacobi-Matrix ist $D\mathbf{f}(y_1, y_2) = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -(g/\ell)\cos(y_1) & 0 \end{smallmatrix}\right)$.

Unten bei $(0, 0)$ ist $\cos(0) = 1$, also $A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -g/\ell & 0 \end{smallmatrix}\right)$ mit $\chi_A(\lambda) = \lambda^2 + g/\ell$ und $\lambda = \pm i\sqrt{g/\ell}$. Rein imaginär: ein Zentrum, Ljapunov-stabil. Mit etwas Reibung wird daraus ein stabiler Strudel, das Pendel schwingt sich aus, wie eine Pendel-Uhr in ihrer Ruhelage.

Oben bei $(\pi, 0)$ ist $\cos(\pi) = -1$, also $A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ g/\ell & 0 \end{smallmatrix}\right)$ mit $\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - g/\ell$ und $\lambda = \pm\sqrt{g/\ell}$. Reell mit verschiedenem Vorzeichen: ein Sattel, instabil, der Bleistift auf der Spitze.

Ehrliche Anmerkung: das untere Gleichgewicht ist mit $\operatorname{Re}(\lambda) = 0$ nicht hyperbolisch, hier greift Hartman-Grobman nicht direkt. Beim ungedämpften Pendel bleibt es dank Energieerhaltung trotzdem ein echtes Zentrum. Das obere ist hyperbolisch, also gilt der Sattel auch fürs volle nichtlineare Pendel.