VII.1 Einleitung

Was steckt formal hinter dem Wort „Differentialgleichung“? Eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion zusammen mit ihren Ableitungen auftritt. Meist schreiben wir sie so, dass alle Terme auf einer Seite stehen und rechts eine Null.

Das Wort gewöhnlich sagt: die gesuchte Funktion hängt von einer einzigen Variablen ab, meist der Zeit $t$ oder einer Ortskoordinate $x$. Hängt sie von mehreren Variablen ab und treten partielle Ableitungen auf, heisst die Gleichung partiell. Partielle DGL sind Thema von Analysis III, nicht von hier.

Ein bekanntes Beispiel ist die Wellengleichung. Hier hängt $u(x, t)$ von Ort und Zeit ab, und es treten die partiellen Ableitungen $u_{xx}$ und $u_{tt}$ auf. Ab jetzt geht es nur noch um gewöhnliche DGL.

Lässt sich Newtons $m\ddot{x} = K$ nach $\ddot{x}$ auflösen? Klar: $\ddot{x} = K/m$.

Bei mancher anderen DGL geht das nicht so leicht. Beide Fälle sind erlaubt und heissen DGL; beide bekommen jetzt einen Namen.

Implizit heisst die Gleichung, wenn sie ohne Auflösung dasteht, alle Terme vermischt. Explizit heisst sie, wenn nach der höchsten Ableitung $y^{(n)}$ aufgelöst ist. Newtons $m\ddot{x} - K = 0$ ist implizit; Division durch $m$ gibt $\ddot{x} = K/m$, die explizite Form.

Wie liest du die Ordnung an einer konkreten DGL ab, ohne lange zu rechnen? Drei Beispiele zum Üben: eines mit Ordnung 1, eines mit Ordnung 2, eines mit Ordnung 4.

Beispiel 1, Ordnung 1. Die Gleichung $y' = a\,y$ tritt überall dort auf, wo etwas mit einer Rate proportional zu sich selbst wächst oder abklingt. Für $a > 0$ wächst eine Population exponentiell (Bakterien, Zinseszins). Für $a < 0$ zerfällt eine Grösse exponentiell (radioaktiver Zerfall, Abkühlung). Höchste Ableitung: $y'$, also Ordnung 1.

Beispiel 2, Ordnung 2. Die harmonische Schwingung $y'' + \omega^2\, y = 0$ beschreibt eine Masse an einer Feder, ein Pendel mit kleiner Auslenkung, eine Schwingung in einem LC-Schaltkreis. Höchste Ableitung: $y''$, also Ordnung 2.

Beispiel 3, Ordnung 4. In der Balkenstatik beschreibt $y^{(4)} = q(x)$ die Biegelinie eines Balkens unter einer Streckenlast $q$. Höchste Ableitung: $y^{(4)}$, also Ordnung 4. Ordnungen über 2 kommen in der Mechanik durchaus vor.

Wieso gibt es zu derselben DGL meistens unendlich viele Lösungen?

Schau wieder auf $y' = a\,y$. Wir behaupten: für jede reelle Konstante $C$ ist $y(x) = C\, e^{a x}$ eine Lösung. Einsetzen: $y' = C\,a\, e^{a x} = a\,(C\, e^{a x}) = a\,y$, fertig.

Pro Wahl von $C$ bekommen wir also eine andere Lösungs-Funktion. Die Menge all dieser Funktionen heisst die allgemeine Lösung der DGL.

Mach dir das mit Zahlen klar. Nimm $a = 1$. Dann gibt $C = 1$ die Kurve $e^{x}$, $C = 2$ die doppelt so hohe $2e^{x}$, $C = -1$ die gespiegelte $-e^{x}$ und $C = 0$ die flache Nulllinie.

Diese Kurven bilden einen ganzen Stapel von Exponentialkurven, keine zwei schneiden sich. Genau dieser Stapel ist die allgemeine Lösung, und $C$ ist der Knopf, mit dem du eine einzelne Kurve herausziehst.

Wie viele Scharparameter braucht die allgemeine Lösung? Genau so viele, wie die DGL Ordnung hat.

Eine Lösungsschar ist eine Familie $\{y_C\}_C$ von Lösungen, die durch einen oder mehrere Parameter indiziert ist. Bei Ordnung 1 reicht ein Parameter, bei Ordnung 2 brauchen wir zwei, bei Ordnung $n$ insgesamt $n$ Stück.

Schau auf die drei Modellbeispiele aus Abschnitt 2.2. $y' = a\,y$ (Ordnung 1) hat $y(x) = C\, e^{a x}$, also einen Parameter $C$. $y'' + \omega^2 y = 0$ (Ordnung 2) hat $y(x) = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)$, also zwei Parameter $A, B$.

Bei Newton mit konstanter Kraft, $m\ddot{x} = K$ (Ordnung 2), liefert zweimaliges Integrieren $x(t) = \tfrac{K}{2m}\, t^2 + C_1\, t + C_0$, wieder zwei Parameter.

Welche der vielen Lösungen ist die richtige für unser konkretes Problem? Das hängt davon ab, welche Zusatzinformation wir haben.

Schau wieder auf $y' = a\,y$ mit allgemeiner Lösung $y(x) = C\, e^{a x}$. Wissen wir zusätzlich, dass an einer Stelle $x_0$ der Wert $y(x_0) = y_0$ ist, folgt $y_0 = C\, e^{a x_0}$, also $C = y_0\, e^{-a x_0}$. Einsetzen gibt die spezielle Lösung $y(x) = y_0\, e^{a(x - x_0)}$.

Diese Zusatzbedingung heisst Anfangsbedingung. Das Gesamtproblem aus DGL plus Anfangsbedingung heisst Anfangswertproblem (kurz AWP).

Bei Ordnung 2 brauchen wir zwei Anfangsbedingungen. Bei Newton mit konstantem $K$ sind das typischerweise Startposition $x(0) = x_0$ und Startgeschwindigkeit $\dot{x}(0) = v_0$.

Einsetzen in $x(t) = \tfrac{K}{2m}\, t^2 + C_1\, t + C_0$ gibt $C_0 = x_0$ und $C_1 = v_0$, also die spezielle Lösung $x(t) = \tfrac{K}{2m}\, t^2 + v_0\, t + x_0$. Die Anzahl Bedingungen passt zur Ordnung.