Kap. 4: Vektorräume

Welche Regeln muss das Addieren und Strecken genau erfüllen? Es sind acht Stück, und keine davon ist überraschend: jede ist eine Rechenregel, die du beim Vektorrechnen längst unbewusst benutzt. Wir gruppieren sie nach den zwei Operationen. Die ersten vier (A1 bis A4) betreffen nur die Addition, die letzten drei (M1 bis M3) die Skalarmultiplikation. Achtung: M2 fasst zwei Distributivgesetze in einer Zeile zusammen, deshalb sind es insgesamt acht Einzelregeln, nicht sieben.

Was ist alles ein Vektorraum? Sobald eine Menge mit sinnvoller Addition und Skalarmultiplikation ausgestattet ist und die acht Axiome erfüllt, ist sie einer. Hier sind die Standardbeispiele, die in jeder Prüfung auftauchen. Verschiedene Sprachen, gleiche Grammatik.

Der wichtigste ist der $\mathbb{R}^n$: alle Spaltenvektoren mit $n$ reellen Einträgen. Daneben der $\mathbb{C}^n$ mit komplexen Einträgen und der Raum $\mathbb{R}^{m \times n}$ aller reellen $m \times n$-Matrizen (komponentenweise addiert und gestreckt). Spannender wird es bei $P_n$, dem Raum aller Polynome vom Grad höchstens $n$: zwei Polynome addiert man koeffizientenweise, und mit einer Zahl multiplizieren ändert nichts am Grad. Ein Polynom ist also ein Vektor, sobald man $+$ und $\cdot$ darauf erklärt.

Funktionen liefern die letzten Beispiele: $C[a,b]$ sind die auf dem Intervall $[a,b]$ stetigen Funktionen, $C^1[a,b]$ die zusätzlich einmal stetig differenzierbaren. Auch sie bilden Vektorräume, denn die Summe zweier stetiger Funktionen ist stetig und ein Vielfaches ebenso. Ein Sonderfall: der Raum $P$ aller Polynome (ohne Gradschranke) ist unendlichdimensional; er besitzt kein endliches Erzeugendensystem, weil man für beliebig hohe Grade immer neue Bausteine braucht.

Wenn du zwei Unterräume $U_1$ und $U_2$ desselben $V$ hast, wie kombinierst du sie zu einem neuen? Es gibt zwei natürliche Wege, und beide ergeben wieder einen Unterraum.

Der Durchschnitt $U_1 \cap U_2$ besteht aus allen Vektoren, die in beiden Räumen liegen. Anschaulich: die gemeinsamen Vektoren. Die Summe $U_1 + U_2$ besteht aus allen Vektoren, die sich als $\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2$ mit $\mathbf{u}_1 \in U_1$ und $\mathbf{u}_2 \in U_2$ schreiben lassen. Anschaulich: alles, was man durch Kombinieren je eines Vektors aus jedem Raum erreichen kann.

Vorsicht beim Wort „Summe": $U_1 + U_2$ ist nicht etwa nur die Vereinigung der beiden Mengen. Die blosse Vereinigung wäre meist gar kein Unterraum (Summen über die Grenze hinweg fehlen). Erst indem man alle Summen $\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2$ zulässt, wird die Menge abgeschlossen und damit ein Unterraum.

Welche Vektoren kannst du aus gegebenen bauen, wenn du nur addieren und strecken darfst? Genau diese Frage beantworten Linearkombination und Span.

Eine Linearkombination der Vektoren $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$ ist jeder Vektor der Form $a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n$ mit Skalaren $a_i \in \mathbb{R}$. Du gewichtest also jeden Baustein mit einer Zahl und summierst. Die Menge aller dieser Kombinationen heisst Span (oder lineare Hülle, oder erzeugter Unterraum): $\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}$. Anschaulich: zwei Richtungspfeile im Raum spannen eine Ebene auf, drei unabhängige spannen den ganzen $\mathbb{R}^3$.

Wie prüft man, ob ein bestimmter Vektor $\mathbf{w}$ im Span liegt? Man schreibt die $\mathbf{v}_i$ als Spalten in eine Matrix $V = (\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n)$ und fragt, ob das lineare Gleichungssystem $V\mathbf{x} = \mathbf{w}$ lösbar ist. Hat es eine Lösung $\mathbf{x}$, so sind die Komponenten von $\mathbf{x}$ genau die gesuchten Gewichte, und $\mathbf{w}$ ist eine Linearkombination der $\mathbf{v}_i$. So wird die Span-Frage zu einer Gauss-Rechnung, die du schon beherrschst.

Wann ist ein Vektor in einer Sammlung überflüssig? Anschaulich dann, wenn er keine neue Richtung beiträgt, weil er sich schon aus den anderen zusammenbauen lässt. In der Ebene heisst linear unabhängig: keine zwei Vektoren zeigen in dieselbe Richtung (keiner ist ein Vielfaches des anderen). Im Raum heisst es: die Vektoren liegen nicht alle in einer gemeinsamen Ebene. Sobald einer „in der Spur" der anderen liegt, sind sie abhängig.

Die saubere Definition macht aus „keine Richtung doppelt" eine Gleichung: $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$ heissen linear unabhängig, wenn das homogene System $\sum_{i} x_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}$ nur die triviale Lösung $x_1 = \cdots = x_n = 0$ besitzt. Gibt es eine andere Lösung (mit mindestens einem $x_i \neq 0$), so heissen sie linear abhängig; dann lässt sich ein Vektor durch die anderen ausdrücken. In Worten: unabhängig bedeutet, dass die einzige Art, den Nullvektor zu kombinieren, das Nichtstun ist.

Das verbindet sich direkt mit Kapitel 1: $\sum_i x_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}$ ist $V\mathbf{x} = \mathbf{0}$ mit der Spaltenmatrix $V$. Nur die triviale Lösung bedeutet trivialer Kern, und das bedeutet voller Spaltenrang. So gilt das Rang-Kriterium: $\operatorname{rang}(V) = n$ (volle Spaltenzahl) ist gleichbedeutend mit linearer Unabhängigkeit der $n$ Spalten.

Unabhängigkeit gilt auch für Funktionen als Vektoren. So sind $\sin(x)$ und $\cos(x)$ in $C[a,b]$ linear unabhängig: aus $a \sin(x) + b \cos(x) = 0$ für alle $x$ folgt $a = b = 0$. Dagegen sind $\sin(x)$, $\sin(x + 2)$, $\cos(x)$ linear abhängig, denn das Additionstheorem liefert $\sin(x + 2) = \sin(x)\cos(2) + \cos(x)\sin(2)$, also ist $\sin(x+2)$ schon eine Kombination der beiden anderen.

Was ist die kleinste Menge von Vektoren, die einen ganzen Raum aufspannt? Zu wenige Vektoren erreichen nicht alles, zu viele enthalten Überflüssiges. Genau in der Mitte sitzt die Basis.

Ein Erzeugendensystem von $V$ ist eine Menge $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$ mit $V = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}$; jeder Vektor lässt sich also aus ihnen kombinieren. Existiert ein endliches Erzeugendensystem, heisst $V$ endlichdimensional. Eine Basis ist ein Erzeugendensystem aus linear unabhängigen Vektoren, anschaulich: ein Koordinatensystem mit gerade genug Achsen, keine zu viel, keine zu wenig. Die Anzahl der Basisvektoren heisst Dimension $\dim(V)$ und ist für jeden Raum eindeutig.

Hat $V$ die Dimension $n$, so gilt eine handfeste Faustregel: mehr als $n$ Vektoren sind immer abhängig; weniger als $n$ sind nie erzeugend; und genau $n$ Vektoren sind genau dann unabhängig, wenn sie erzeugend sind. In diesem Fall bilden sie eine Basis. Bei $n$ Vektoren fallen die beiden Eigenschaften „unabhängig" und „erzeugend" also zusammen, du musst nur eine prüfen.

Für $k$ Vektoren $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k \in \mathbb{R}^n$ fasst man die Lage in der Spaltenmatrix $A = (\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k)$ mit Rang $r$ zusammen. Die folgende Tabelle fasst das auf einen Blick zusammen.

Wie schreibst du denselben Vektor in einer anderen Basis? Denk an eine Adresse: derselbe Ort hat im einen Stadtplan andere Koordinaten als im anderen. Der Vektor bleibt, die Zahlen ändern sich mit dem gewählten Achsensystem.

Ist $B = \{\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n\}$ eine Basis von $V$, so lässt sich jeder Vektor $\mathbf{x}$ eindeutig als $\mathbf{x} = \sum_i x_i \mathbf{b}_i$ schreiben. Die eindeutig bestimmten Koeffizienten $x_1, \ldots, x_n$ heissen Koordinaten von $\mathbf{x}$ bezüglich $B$. Anschaulich sind sie das Rezept: wie viel von jedem Basisvektor man nehmen muss. Man fasst sie zum Koordinatenvektor $[\mathbf{x}]_B$ zusammen. Wichtig: diese Zahlen hängen von der Basiswahl ab, eine andere Basis liefert andere Koordinaten für denselben $\mathbf{x}$.

Es gibt mehr als eine Art, Länge zu messen. Im $\mathbb{R}^n$ sind drei Normen besonders gebräuchlich, und sie geben demselben Vektor verschiedene Längen, weil sie verschiedene Fragen beantworten.

Die euklidische Norm (oder $2$-Norm) ist die gewohnte Pythagoras-Länge $\lVert \mathbf{v} \rVert_2 = \sqrt{v_1^2 + \cdots + v_n^2}$, die Luftlinie zum Punkt. Die Maximumsnorm (oder $\infty$-Norm) nimmt einfach den betragsmässig grössten Eintrag, $\lVert \mathbf{v} \rVert_\infty = \max_i |v_i|$, also den grössten Einzelschritt. Dazwischen liegt die $p$-Norm, die für $p \to \infty$ in die Maximumsnorm übergeht und für $p = 2$ die euklidische ist.

Auf endlichdimensionalen Vektorräumen sind all diese Normen äquivalent: zu je zwei Normen $\lVert \cdot \rVert$ und $\lVert \cdot \rVert'$ gibt es eine Konstante $c$, sodass $\tfrac{1}{c}\lVert \mathbf{x} \rVert' \leq \lVert \mathbf{x} \rVert \leq c\,\lVert \mathbf{x} \rVert'$. Sie unterscheiden sich also nur um konstante Faktoren; eine Folge, die in einer Norm gegen einen Grenzwert läuft, tut das auch in jeder anderen. (In unendlicher Dimension stimmt das nicht mehr, dort kann die Wahl der Norm alles ändern, dazu gleich.)

Ein Zahlbeispiel: für $\mathbf{v} = (1, 3, 4)^{\mathsf{T}}$ ist $\lVert \mathbf{v} \rVert_2 = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}$ und $\lVert \mathbf{v} \rVert_3 = \sqrt[3]{1 + 27 + 64} = \sqrt[3]{92}$. Derselbe Vektor, zwei verschiedene Längen, je nach gewählter Norm.

Wie misst man den Abstand zweier Funktionen? Auch Funktionen sind Vektoren (im Raum $C[a,b]$), also brauchen sie eine Norm. Es gibt wieder mehrere natürliche Wahlen.

Die Maximumsnorm $\lVert f \rVert_0 = \max_{a \leq x \leq b} |f(x)|$ nimmt den grössten Funktionswert dem Betrag nach, den höchsten Ausschlag der Kurve. Die Integral-$p$-Norm $\lVert f \rVert_p = \left( \int_a^b |f(x)|^p \, dx \right)^{1/p}$ mittelt dagegen über das ganze Intervall; sie ist gross, wenn die Funktion insgesamt viel Fläche unter sich hat. Beide messen „Grösse einer Funktion", aber verschieden.

Mit einer Norm wird der Satz „eine Folge nähert sich einem Grenzwert" präzise: eine Folge $\{\mathbf{v}_n\}$ in $V$ konvergiert gegen $\mathbf{v}$, wenn der Abstand $\lVert \mathbf{v} - \mathbf{v}_n \rVert$ gegen null geht. Hier zeigt sich, warum die Norm-Wahl in unendlicher Dimension wichtig ist: dieselbe Funktionenfolge kann in der einen Norm konvergieren und in der anderen nicht.

Ein warnendes Beispiel: die Funktionenfolge $f_n(x) = \dfrac{1}{1 + (nx)^2}$ auf $[-1, 1]$ konvergiert in der Maximumsnorm nicht gegen die Nullfunktion. Denn an der Stelle $x = 0$ ist stets $f_n(0) = 1$, also $\lVert f_n \rVert_\infty = 1 \neq 0$ für jedes $n$. Obwohl die Funktionen abseits der Null beliebig klein werden, bleibt die Spitze bei $x = 0$ stehen, und die Maximumsnorm sieht genau diese Spitze.

Geht ein Skalarprodukt auch für Matrizen oder Funktionen? Ja, und genau das macht den abstrakten Begriff so nützlich: Winkel und Orthogonalität lassen sich überall erklären, wo man ein Skalarprodukt hat.

Im $\mathbb{R}^n$ kann man das Standardprodukt mit einer Matrix $A$ verzerren: $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle_A = \mathbf{x}^{\mathsf{T}} A \mathbf{y}$. Das ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn $A$ symmetrisch und positiv definit ist (alle Eigenwerte $> 0$). Für Funktionen aus $C[a,b]$ definiert das Funktionen-Skalarprodukt $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)\,g(t)\,dt$ einen Winkel zwischen Kurven; man kann es zusätzlich mit einer Gewichtsfunktion versehen, etwa $\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} f(x)\,g(x)\,x^2\,dx$. Und auf dem Matrizenraum $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ liefert die Spur das Spur-Skalarprodukt $\langle A, B \rangle = \operatorname{Spur}(A B^{\mathsf{T}})$.

All diese Produkte erfüllen dieselben drei Axiome wie das Standardprodukt; nur die konkrete Rechenvorschrift unterscheidet sich. Damit gelten auch alle Folgesätze (Projektion, Cauchy-Schwarz, Pythagoras, Gram-Schmidt) unverändert in jedem dieser Räume.

Was heisst „senkrecht" im Vektorraum, und wie projiziert man einen Vektor auf einen anderen? Mit dem Skalarprodukt lässt sich beides sauber fassen, und es gelten dieselben Sätze, die du aus der ebenen Geometrie kennst.

Zwei Vektoren $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ heissen orthogonal (Schreibweise $\mathbf{x} \perp \mathbf{y}$), wenn ihr Skalarprodukt verschwindet: $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$. Die Orthogonalprojektion von $\mathbf{x}$ auf einen Vektor $\mathbf{y} \neq \mathbf{0}$ ist derjenige Vielfache von $\mathbf{y}$, der $\mathbf{x}$ am nächsten kommt: $\mathbf{z} = \dfrac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle}{\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle}\,\mathbf{y}$. Sie zerlegt $\mathbf{x}$ in einen Anteil entlang $\mathbf{y}$ (das ist $\mathbf{z}$) und einen Rest senkrecht dazu. Genau diese Zerlegung steckt später hinter dem Gram-Schmidt-Verfahren.

Zwei klassische Ungleichungen begleiten das Skalarprodukt. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle^2 \leq \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \, \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle$ beschränkt das Skalarprodukt durch die Längen (sie garantiert, dass $\cos(\varphi)$ wirklich zwischen $-1$ und $1$ liegt). Und der Satz von Pythagoras gilt für orthogonale Vektoren: $\lVert \mathbf{x} + \mathbf{y} \rVert^2 = \lVert \mathbf{x} \rVert^2 + \lVert \mathbf{y} \rVert^2$. Ein Vektor mit Länge $1$ heisst Einheitsvektor; jeden Vektor $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ macht man durch Teilen durch seine Länge zu einem solchen.

Warum ist eine Basis aus lauter senkrechten Einheitsvektoren so angenehm? Stell dir kariertes Papier mit quadratischen Einheitskästchen vor, gegenüber einem schiefen, verzerrten Gitter. Auf dem karierten Papier liest man Koordinaten direkt ab; im schiefen Gitter muss man rechnen. Genau diesen Komfort liefert eine Orthonormalbasis.

Eine Orthonormalbasis (ONB) ist eine Basis aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren: je zwei verschiedene stehen senkrecht aufeinander, und jeder hat Länge $1$. Solche Vektoren sind automatisch linear unabhängig und bilden eine Basis. Und zu jeder Basis gibt es eine Orthonormalbasis, die man mit dem Gram-Schmidt-Verfahren (nächster Abschnitt) konstruiert.

Der Hauptvorteil: in einer Orthonormalbasis $\{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\}$ sind die Koordinaten eines Vektors einfach seine Skalarprodukte mit den Basisvektoren, $x_i = \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_i \rangle$. Du musst kein lineares Gleichungssystem mehr lösen, um einen Vektor in der Basis darzustellen; ein Skalarprodukt pro Koordinate genügt. Das ist der Grund, warum man Orthonormalbasen überall bevorzugt, von der Fourier-Analysis bis zur Quantenmechanik.

Wie macht man aus irgendeiner Basis eine Orthonormalbasis? Das Gram-Schmidt-Verfahren ist das Rezept dafür. Die Grundidee in einem Satz: nimm der Reihe nach jeden Basisvektor, ziehe seine Schatten (Projektionen) auf alle schon fertigen Einheitsvektoren ab, und normiere den Rest auf Länge $1$.

Das folgende Kochrezept arbeitet die Basis $\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n$ Schritt für Schritt ab. In jedem Schritt entsteht zuerst ein unnormierter Zwischenvektor (wir schreiben ihn mit Tilde, $\tilde{\mathbf{e}}_k$), der senkrecht auf allen vorherigen steht, und danach der fertige Einheitsvektor $\mathbf{e}_k = \tilde{\mathbf{e}}_k / \lVert \tilde{\mathbf{e}}_k \rVert$.