Kap. 2: Matrizen

Stell dir eine Tabelle aus Zahlen vor: $m$ Zeilen untereinander, $n$ Spalten nebeneinander. Genau das ist eine Matrix. Wie ein Sitzplan im Kino (Reihe und Platz) oder eine Tabellenkalkulation: jeder Eintrag hat eine feste Adresse aus zwei Zahlen, und mehr braucht es zunächst nicht.

Wir schreiben $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ und meinen damit: $A$ hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten, und alle Einträge sind reelle Zahlen. Den Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $j$ nennen wir $a_{ij}$ oder gleichbedeutend $(A)_{ij}$. Die Reihenfolge der Indizes ist nicht verhandelbar: Zeile zuerst, Spalte zuletzt. $a_{23}$ steht also in der zweiten Zeile, dritten Spalte, niemals umgekehrt.

Wann brauchen wir das überhaupt? Eine Matrix ist die kompakte Schreibweise für ein lineares Gleichungssystem $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ und für jede lineare Abbildung (das haben wir in Kap. 1 gesehen). Sobald zwei Matrizen Eintrag für Eintrag übereinstimmen, nennen wir sie gleich. Das ist banal, aber es ist die Grundlage für jedes Gleichsetzen, das später kommt.

Bevor wir rechnen, lohnt es sich, ein paar besonders häufige Matrix-Typen mit Namen zu kennen, so wie man Vokabeln lernt, bevor man Sätze bildet. Jeder dieser Typen taucht später wieder auf, und sobald du den Namen erkennst, weisst du sofort, was die Matrix kann.

Quadratisch: Eine $n \times n$-Matrix (gleich viele Zeilen wie Spalten) heisst quadratische Matrix. Nur quadratische Matrizen kann man invertieren oder auf Symmetrie prüfen. Nullmatrix $0$: alle Einträge sind Null ($a_{ij}=0$ für alle $i,j$). Sie ist das neutrale Element der Addition, genau wie die Zahl $0$.

Dreiecksmatrizen: Eine obere Dreiecksmatrix $R$ hat unterhalb der Diagonale nur Nullen ($r_{ij}=0$ für $i>j$); eine untere Dreiecksmatrix $L$ hat oberhalb der Diagonale nur Nullen ($l_{ij}=0$ für $i<j$). Eselsbrücke: das $R$ (von „rechts/oben") trägt seine Zahlen im oberen Dreieck, das $L$ (von „links/unten") im unteren. Die Buchstaben $R$ und $L$ kommen direkt aus dem Englischen right und left und tauchen bei der LR-Zerlegung in 2.7 wieder auf.

Diagonalmatrix $D$: nur die Diagonale ist besetzt, alles andere ist Null. Sie ist gleichzeitig obere und untere Dreiecksmatrix. Einheitsmatrix $I_n$: die Diagonalmatrix mit lauter Einsen auf der Diagonale ($d_{ij}=1$ für $i=j$, sonst $0$). Sie ist die „$1$" der Matrixwelt. Spalten- und Zeilenvektor: eine $n \times 1$-Matrix (eine Spalte) heisst Spaltenvektor, eine $1 \times n$-Matrix (eine Zeile) heisst Zeilenvektor. Vektoren sind also nur besonders schmale Matrizen.

Kippe die Matrix entlang ihrer Hauptdiagonale, so dass Zeilen zu Spalten werden und Spalten zu Zeilen. Das Ergebnis ist die Transponierte $A^{\mathsf{T}}$. Anschaulich: die Diagonale bleibt ein Spiegel stehen, und alles links unten klappt nach rechts oben (und umgekehrt). Transponieren ist also nichts anderes als eine Spiegelung an der Diagonale.

Formal vertauscht das Transponieren die beiden Indizes: $(A^{\mathsf{T}})_{ij} = a_{ji}$. Der Eintrag, der vorher in Zeile $i$, Spalte $j$ stand, steht jetzt in Zeile $j$, Spalte $i$. Das Format dreht sich entsprechend: aus einer $m \times n$-Matrix wird eine $n \times m$-Matrix.

Zwei Spezialfälle bekommen eigene Namen. Gilt $A^{\mathsf{T}} = A$ (die Matrix ist ihr eigenes Spiegelbild), heisst $A$ symmetrisch. Gilt $A^{\mathsf{T}} = -A$ (das Spiegelbild ist das Negative), heisst $A$ antisymmetrisch. Beide Begriffe brauchen wir später bei Spannungstensoren, Skalarprodukten und Eigenwerten immer wieder.

Zwei gleich grosse Matrizen addiert man so simpel, wie man hofft: Feld für Feld. Liegen die Matrizen wie zwei deckungsgleiche Tabellen übereinander, addiert man jede Zelle mit der Zelle direkt darunter. Das Ergebnis heisst Summe $A+B$.

Damit das überhaupt definiert ist, müssen beide Matrizen dasselbe Format haben: eine $m \times n$-Matrix plus eine $m \times n$-Matrix ergibt wieder eine $m \times n$-Matrix. Eintrag für Eintrag heisst das $(A+B)_{ij} = (A)_{ij} + (B)_{ij}$.

Bei Zahlen ist $\tfrac{1}{3}$ die Inverse von $3$, denn $3 \cdot \tfrac{1}{3} = 1$. Bei Matrizen suchen wir das Gegenstück: eine Matrix $A^{-1}$, die $A$ wieder rückgängig macht, also $A \cdot A^{-1} = I_n$ erfüllt. Anschaulich ist $A^{-1}$ die Matrix, die die Wirkung von $A$ exakt umkehrt, wie eine Rückspultaste.

Eine Matrix, für die so ein $A^{-1}$ existiert, heisst invertierbar (gleichbedeutend: regulär oder nicht singulär). Gibt es keine solche Matrix, heisst $A$ singulär. Wichtig: nur quadratische Matrizen können überhaupt invertierbar sein, und falls die Inverse existiert, ist sie eindeutig bestimmt.

Berechnet wird $A^{-1}$ mit dem Gauss-Jordan-Verfahren, einer Erweiterung der Gauss-Elimination aus Kap. 1. Der Trick (siehe Lösungsweg) lautet: schreibe $A$ und $I_n$ nebeneinander und forme die linke Seite per Zeilenoperationen in $I_n$ um, wobei du jede Operation gleichzeitig auf beiden Seiten ausführst. Wenn links $I_n$ steht, steht rechts $A^{-1}$.

Stell dir vor, du drehst einen starren Körper im Raum: alle Längen und Winkel bleiben erhalten, nur die Orientierung ändert sich. Genau das tut eine orthogonale Matrix. Sie dreht (und spiegelt) den Raum, ohne ihn zu stauchen oder zu verzerren. Solche Matrizen sind die mathematische Beschreibung von Drehungen.

Definiert ist eine quadratische Matrix als orthogonal über die Bedingung $A^{\mathsf{T}} \cdot A = I_n$ (oft auch $Q^{\mathsf{T}} Q = I$ geschrieben, mit $Q$ als üblichem Buchstaben für orthogonale Matrizen). Aus dieser einen Gleichung folgt sofort das Bequemste an orthogonalen Matrizen: ihre Inverse ist einfach die Transponierte, $A^{-1} = A^{\mathsf{T}}$. Invertieren wird damit gratis, du musst die Matrix nur kippen.

Drei Eigenschaften fasst die Vorlesung als Theorem zusammen. (i) $A$ ist invertierbar mit $A^{-1} = A^{\mathsf{T}}$. (ii) Das Produkt zweier orthogonaler Matrizen ist wieder orthogonal (zwei Drehungen hintereinander ergeben eine Drehung). (iii) Die Spalten (und ebenso die Zeilen) sind normiert (jeder hat Betrag $1$) und stehen paarweise senkrecht aufeinander (ihr Skalarprodukt ist $0$). Die Spalten bilden also eine Orthonormalbasis.

Das Standardbeispiel ist die Drehung um die x-Achse um den Winkel $\alpha$. Allgemein gibt es im Raum drei Achsen-Drehmatrizen $R_x, R_y, R_z$ und in der Ebene die Drehung $R(\alpha)$ um den Ursprung. Den Winkel nennen wir durchgehend $\alpha$ (manche Texte schreiben $\phi$ oder $\theta$, das ist dasselbe). Alle vier stehen unten; sie sind das Werkzeug, mit dem man in Grafik, Robotik und Mechanik Objekte dreht.

Muss man $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ für viele verschiedene rechte Seiten $\mathbf{b}$ lösen, ist es Verschwendung, jedes Mal die ganze Gauss-Elimination neu zu rechnen. Die LR-Zerlegung macht die Elimination ein einziges Mal und verwahrt das Ergebnis so, dass man es für jedes neue $\mathbf{b}$ wiederverwenden kann. Genau dafür ist sie gedacht.

Die Idee: für eine $n \times n$-Matrix $A$ schreibt man die Beziehung $P A = L R$. Dabei ist $L$ eine untere Dreiecksmatrix, $R$ eine obere Dreiecksmatrix und $P$ eine Permutationsmatrix, die nur die Zeilenvertauschungen protokolliert. Braucht man keine Vertauschungen, ist $P = I_n$ und es bleibt schlicht $A = L R$ (so kürzt man es oft ab).

Das Kochrezept (siehe Lösungsweg) hat vier Schritte: $I_n$ und $A$ nebeneinanderschreiben, $A$ per Gauss auf Zeilenstufenform bringen, daraus $L$, $R$ und $P$ ablesen, und schliesslich für ein gegebenes $\mathbf{b}$ erst $L\mathbf{c} = P\mathbf{b}$ vorwärts und dann $R\mathbf{x} = \mathbf{c}$ rückwärts auflösen. Die durchgerechneten Beispiele dazu stehen in 2.8.

Jetzt rechnen wir das Kochrezept aus 2.7 einmal komplett durch, an einem Fall ohne Zeilenvertauschungen (also $P = I_3$). Gesucht ist die Lösung von $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Achte beim Mitlesen besonders darauf, wie die Eliminationskoeffizienten aus der Reduktion direkt in $L$ landen.