VII.13 Lineare autonome Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten

Was passiert im Glücksfall, wenn $A$ schon diagonal ist? Dann zerfällt das ganze System in $n$ unabhängige 1D-DGLs, jede für sich lösbar mit dem Exponentialansatz aus VII.10. Diese eine Beobachtung ist das Vorbild für alle weiteren Methoden in diesem Kapitel.

Sei $A = \mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$ mit Diagonalelementen $a_i \in \mathbb{R}$ und allen Nicht-Diagonal-Einträgen null. Komponentenweise heisst $\dot{\vec{x}} = A \vec{x}$ dann

Anschaulich: die Diagonalmatrix ist ein Mischpult. Jeder Regler steuert genau eine Komponente, keiner greift in einen anderen ein. So einfach ist die Lösung: jede Komponente löst ihre eigene 1D-DGL.

Jede dieser 1D-DGLs $\dot{x}_i = a_i x_i$ kennen wir bereits aus VII.10 §1.1. Die Lösung ist das Exponential $x_i(t) = C_i\, e^{a_i t}$ mit Konstante $C_i$. Damit hast du die volle Lösung des Systems:

In Worten: die Diagonal-Einträge sind die Wachstums-Raten der Komponenten. Positives $a_i$ heisst exponentielles Anschwellen der $i$-ten Komponente, negatives $a_i$ heisst Abklingen, $a_i = 0$ heisst Konstantbleiben. Da jede Komponente nichts von den anderen weiss, kann jede ihre eigene Geschichte schreiben.

Wann ist das einfach? Wenn dir das System schon diagonal in die Hand gedrückt wird, ist die Rechnung in drei Zeilen erledigt. In der Praxis ist das selten, aber §2 zeigt, wie du jedes diagonalisierbare $A$ in genau diese Form bringst: Eigenwerte werden zu den $a_i$, Eigenvektoren zur Basis, fertig.

Wie sieht die allgemeine Lösung von $\dot{\vec{x}} = A\vec{x}$ aus, wenn $A$ diagonalisierbar ist? Eine Linearkombination von Exponentialen mal Eigenvektoren. Jede Mode wächst oder klingt mit ihrer eigenen Rate, jede Richtung gehört zu ihrem eigenen Eigenwert.

Beobachtung. Sei $\lambda$ ein Eigenwert mit Eigenvektor $\vec{v}$. Setze $\vec{x}(t) = e^{\lambda\, t}\, \vec{v}$ in die DGL ein:

Beide Seiten gleich $\Rightarrow$ $\vec{x}(t) = e^{\lambda\, t}\, \vec{v}$ löst die DGL. Die Eigenvektor-Richtung bleibt erhalten, nur die Länge wächst (oder schrumpft) mit der Exponential-Rate $\lambda$. Diese eine Lösung heisst Eigenmode von $A$.

Superpositionsprinzip. Da $\dot{\vec{x}} = A\vec{x}$ linear ist, ist auch jede Linearkombination von Lösungen eine Lösung (VII.9 §1). Hat $A$ also $n$ linear unabhängige Eigenvektoren $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ zu Eigenwerten $\lambda_1, \dots, \lambda_n$, lautet die allgemeine Lösung:

Anschaulich: jede Eigenmode hat zwei Merkmale: eine Wachstumsrate $\lambda_i$ (wie schnell sie sich entwickelt) und eine Richtung $\vec{v}_i$ (wo sie sich entfaltet). Die allgemeine Bewegung ist die Summe aller Moden, gewichtet mit den $C_i$, die die Anfangsbedingung $\vec{x}(0) = \vec{x}_0$ festlegt.

Wann ist das einfach? Bei einer $2 \times 2$-Matrix mit zwei verschiedenen reellen Eigenwerten ist die ganze Rechnung in fünf Zeilen erledigt: char.Pol aufstellen, zwei Eigenwerte finden, zwei Eigenvektoren bestimmen, zusammensetzen, fertig. Beispiel §4.1 macht das vor.

Was änderst du am Rezept aus §2.2, wenn ein Eigenwert komplex ist oder mehrfach auftritt? Drei Fälle, drei kleine Modifikationen.

Die Struktur „Exponential mal Richtung“ bleibt, nur die Details brauchen Sorgfalt.

Fall A: alle Eigenwerte reell und einfach. Das ist der Standard-Fall aus §2.2. Du bekommst $n$ verschiedene Eigenwerte $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{R}$ und $n$ linear unabhängige Eigenvektoren. Die allg. Lösung ist die Eigenmoden-Summe ohne Zusatzkomplikation. Beispiel §4.1 macht das vor.

Fall B: komplex konjugiertes Eigenwertpaar. Bei reeller Matrix $A$ kommen komplexe Eigenwerte stets paarweise als $\lambda_{\pm} = \alpha \pm i\, \beta$ ($\beta > 0$), die Eigenvektoren ebenso konjugiert.

Aus dem komplexen Lösungspaar bildest du per Real- und Imaginärteil zwei reelle Lösungen, genau das Manöver aus VII.10 §3.3 für komplexe Nullstellen einer skalaren DGL.

Fall C: mehrfache Eigenwerte. Tritt $\lambda$ mit Vielfachheit $k$ auf, liefert aber weniger Eigenvektoren (Matrix nicht diagonalisierbar), brauchst du verallgemeinerte Eigenvektoren. Die Lösung bekommt Terme $t^j\, e^{\lambda\, t}\, \vec{v}$, analog zum Resonanzfall in VII.10 §3.2. Methode 2 in §3 ist hier oft schneller als das volle Jordan-Verfahren.

Diagonalisierung oder Überführung. Welche Methode greifst du in der Klausur? Die Antwort hängt davon ab, wie sauber sich $A$ diagonalisieren lässt und wie gross das System ist. Eine kurze Faustregel hilft bei der Wahl.

Methode 1 (Diagonalisierung) verlangt: Eigenwerte und Eigenvektoren von $A$ explizit ausrechnen. Sie ist die saubere LinAlg-Methode und liefert die geometrische Sicht (Eigenmoden, Eigenrichtungen). Sie funktioniert glatt, wenn $A$ diagonalisierbar ist. Bei nicht-diagonalisierbarem $A$ (defekt) wird sie umständlich.

Methode 2 (Überführung) umgeht die Eigenvektoren: du differenzierst und löst die skalare DGL aus VII.10 §3 (inkl. Vielfachheits-Rezept). Sie ist robust auch bei defektem $A$, weil der $x^j\, e^{\lambda t}$-Trick in VII.10 schon eingebaut ist. Sie ist allerdings auf $2 \times 2$ und $3 \times 3$ praktikabel, bei grösseren Systemen wird das Eliminieren mühsam.

Was passiert geometrisch bei komplex konjugierten Eigenwerten? Statt geradliniger Bewegung dreht sich das System. Die Trajektorien sind Spiralen (mit Realteil $\neq 0$) oder geschlossene Kreise (Realteil $= 0$). Wir rechnen das klassische Beispiel.

Gegeben. Das System $\dot{x}_1 = x_2$, $\dot{x}_2 = -x_1$. In Matrix-Form mit

Eigenwerte: char.Polynom $\det(A - \lambda I) = \lambda^2 + 1 = 0$, also $\lambda = \pm\, i$. Komplex konjugiertes Paar mit Realteil $\alpha = 0$ und Imaginärteil $\beta = 1$.

Komplexer Eigenvektor: für $\lambda = i$: $(A - iI)\vec{v} = \begin{pmatrix} -i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}\vec{v} = \vec{0}$, erste Zeile $-i\, v_1 + v_2 = 0$, also $v_2 = i\, v_1$. Wähle $\vec{v} = (1, i)^T$. Realteil $\vec{u} = (1, 0)^T$, Imaginärteil $\vec{w} = (0, 1)^T$.

Reelle Lösung: mit der Formel aus §2.3 ($\alpha = 0$, $\beta = 1$) lauten die zwei reellen Eigenmoden $e^{0}(\cos(t)\, \vec{u} - \sin(t)\, \vec{w}) = (\cos(t), -\sin(t))^T$ und $e^{0}(\sin(t)\, \vec{u} + \cos(t)\, \vec{w}) = (\sin(t), \cos(t))^T$. Allg. Lösung:

Anschaulich. Der Realteil $\alpha = 0$ heisst: kein Anwachsen, kein Abklingen. Reine Drehung. Das System verharrt auf dem Kreis mit Radius $\sqrt{C_1^2 + C_2^2}$. Wäre $\alpha > 0$ gewesen, wären es nach aussen laufende Spiralen (instabiler Strudelpunkt aus VII.14); bei $\alpha < 0$ nach innen laufende Spiralen (asymptotisch stabiler Strudelpunkt).

Verbindung zu Schwingungen. Das System $\dot{x}_1 = x_2$, $\dot{x}_2 = -x_1$ ist genau die Vektor-Form von $\ddot{x}_1 + x_1 = 0$ (setze $x_2 = \dot{x}_1$), also die harmonische Schwingung aus VII.10 §4.1 mit $\omega = 1$.

Phasenraum-Bild und Schwingungs-Bild sind dieselbe Lösung in zwei Sprachen.

Wie schwingen zwei mit einer Feder verbundene Pendel? Nicht chaotisch, sondern in zwei Normalmoden: eine synchrone und eine gegenphasige.

Wir leiten beide Moden sauber her und zeigen, dass jedes Verhalten eine Linearkombination dieser zwei Moden ist.

Aufbau. Zwei mathematische Pendel, je Pendellänge $l$, je Masse $m$, je Auslenkung $x(t)$ bzw. $y(t)$ aus der Ruhelage. Verbunden durch eine Feder (Federkonstante $k$), die in der Ruhelage entspannt ist. Im Kleinwinkel-Bereich liefert Newton 2:

Vereinfachung. Teile beide Gleichungen durch $m$ und setze $a := g/l$, $b := k/m$. Es entsteht ein System von zwei DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

Normalmoden-Ansatz. Statt $x$ und $y$ einzeln benutzen wir $q_s := (x + y)/2$ (symmetrisch, beide gleich ausgelenkt) und $q_a := (x - y)/2$ (antisymmetrisch, gleich gross aber entgegengesetzt).

Addieren und Subtrahieren der beiden Bewegungsgleichungen liefert nach kurzer Rechnung:

Die zwei Normalmoden. Jede Mode ist eine harmonische Schwingung mit eigener Frequenz:

Anschaulich. In der symmetrischen Mode ($q_s$) schwingen beide Pendel synchron, die Feder wird nie gestreckt. Nur die Schwerkraft stellt zurück, daher ist $\omega = \sqrt{g/l}$ identisch mit der eines einzelnen freien Pendels.

In der antisymmetrischen Mode ($q_a$) schwingen die Pendel gegeneinander, die Feder wird abwechselnd gestreckt und gestaucht und stellt zusätzlich zurück. Schwerkraft und Feder addieren sich, daher ist $\sigma = \sqrt{g/l + 2k/m}$ stets grösser als $\omega$.

Allgemeine Lösung. Jede Bewegung ist eine Linearkombination der zwei Moden: $q_s(t) = C_1\cos(\omega t) + C_2\sin(\omega t)$ und $q_a(t) = C_3\cos(\sigma t) + C_4\sin(\sigma t)$.

Zurück in $x, y$ ergibt das vier freie Konstanten, passend zur Ordnung des Systems (zwei DGL 2. Ordnung).