“Optik ist die Kunst, das Licht dorthin zu zwingen, wo man es haben will.”
— Lehrsatz der Feinmechanik
In der geometrischen Optik vergessen wir die Wellennatur und behandeln Licht als gerade Strahlen (das ist erlaubt, solange Hindernisse viel grösser als die Wellenlänge sind). Spiegel und Linsen lenken diese Strahlen so um, dass sie sich in einem Bildpunkt treffen. Hier hilft eine saubere Unterscheidung.
Ein Bild ist reell, wenn sich dort tatsächlich Lichtstrahlen treffen; man kann es auf einem Schirm auffangen (Kino, Netzhaut). Ein Bild ist virtuell, wenn sich dort nur die rückwärtigen Verlängerungen der Strahlen treffen; es ist sichtbar, aber nicht auffangbar (das Spiegelbild hinter dem Spiegel). Genauso bei Gegenständen: reell, wenn echte Strahlen ausgehen, virtuell, wenn nur Verlängerungen dort zusammenlaufen.
Um ein Bild zu konstruieren, braucht man nicht alle Strahlen, sondern nur zwei oder drei Hauptstrahlen, deren Weg man ohne Rechnung kennt (etwa: der achsenparallele Strahl geht durch den Brennpunkt). Ihr Schnittpunkt ist der Bildpunkt. Die genauen Hauptstrahlen folgen in 6.2 (Spiegel) und 6.4 (Linsen).
Damit eine Formel reelle und virtuelle Fälle gemeinsam beschreibt, braucht sie eine Vorzeichenkonvention. Die Grundidee ist immer dieselbe: Gegenstandsweite , Bildweite , Brennweite und Krümmungsradius bekommen ein Vorzeichen, je nachdem auf welcher Seite der Fläche das jeweilige Element liegt. Die genauen Regeln stehen jeweils bei Spiegel und Linse.
Ein Hohlspiegel (konkav) sammelt achsenparallel einfallendes Licht in einem Punkt, dem Brennpunkt. Seine Brennweite ist die Bildweite bei unendlich weit entferntem Gegenstand, und sie ist gerade der halbe Krümmungsradius. Das ist die ganze Geometrie eines Kugelspiegels in einer Zahl.
Wo ein Gegenstand in der Entfernung abgebildet wird, sagt die Abbildungsgleichung: die Kehrwerte von Gegenstands- und Bildweite addieren sich zum Kehrwert der Brennweite.
Wie gross und wie herum erscheint das Bild? Das sagt die Vergrösserung , das Verhältnis von Bildhöhe zu Gegenstandshöhe . Sie ist gerade das negative Verhältnis von Bild- zu Gegenstandsweite. Das Minuszeichen trägt die Information über die Orientierung: ein negatives bedeutet ein umgekehrtes (auf dem Kopf stehendes) Bild.
Konstruieren kann man das Bild mit drei Hauptstrahlen: (1) der achsenparallele Strahl wird in den Brennpunkt reflektiert, (2) der Brennpunktstrahl wird achsenparallel reflektiert, (3) der Strahl durch den Krümmungsmittelpunkt läuft in sich selbst zurück. Zwei davon genügen, ihr Schnittpunkt ist der Bildpunkt.
Beim Hohlspiegel (und genauso bei der Sammellinse, 6.4) hängt alles davon ab, wo der Gegenstand steht, relativ zu Brennpunkt und Mittelpunkt . Daraus ergibt sich eine kleine Tabelle, die du im Schlaf können solltest: sie sagt sofort, ob das Bild reell oder virtuell, aufrecht oder umgekehrt, vergrössert oder verkleinert ist.
| Gegenstand bei | Bild liegt | Bildart |
|---|---|---|
| zwischen und | reell, umgekehrt, verkleinert | |
| bei | reell, umgekehrt, gleich gross | |
| jenseits | reell, umgekehrt, vergrössert | |
| im Unendlichen | kein Bild (Strahlen parallel) | |
| gleiche Seite, hinten | virtuell, aufrecht, vergrössert (Lupe) |
Bevor wir Linsen bauen (die haben zwei Flächen), schauen wir auf eine einzige gekrümmte Grenzfläche zwischen zwei Medien, etwa die Vorderfläche eines Glasblocks. Auch sie bildet ab, und zwar weil das Licht beim Übergang gebrochen wird. Die zugehörige Gleichung verknüpft die beiden Brechzahlen mit Gegenstandsweite, Bildweite und Krümmungsradius.
Die Vergrösserung sieht ähnlich aus wie beim Spiegel, enthält aber zusätzlich das Verhältnis der Brechzahlen, weil sich auf den beiden Seiten der Fläche unterschiedliche Medien befinden.
Eine dünne Linse hat zwei gekrümmte Flächen mit Radien und . Wie ihre Brennweite von der Form und vom Material abhängt, sagt die Linsenschleifer-Formel (Linsenmacher-Gleichung): sie steckt die Brechzahl des Glases und die beiden Radien zusammen. Eine bikonvexe Linse () sammelt, eine bikonkave () zerstreut.
Statt der Brennweite gibt man in der Optik oft die Brechkraft an, gemessen in Dioptrien (1 dpt = 1/m). Eine starke (kurzbrennweitige) Linse hat eine grosse Brechkraft. Brillengläser werden in Dioptrien angegeben: dpt ist eine Sammellinse mit m.
Die gute Nachricht: Hat man die Brennweite einer dünnen Linse, gilt für die Abbildung genau dieselbe Gleichung wie beim Spiegel, , und auch die Vergrösserung hat dieselbe Form . Man muss also nur eine Beziehung beherrschen.
Konstruiert wird das Bild mit drei Hauptstrahlen: (1) der achsenparallele Strahl wird durch den zweiten Brennpunkt gebrochen, (2) der Mittelpunktstrahl geht ungebrochen durch die Linsenmitte, (3) der Brennpunktstrahl tritt achsenparallel aus. Die Fallunterscheidung aus 6.2.3 gilt unverändert auch hier.
Es gibt eine zweite, oft bequemere Schreibweise der Abbildungsgleichung. Misst man die Abstände nicht von der Linse, sondern vom Brennpunkt aus ( auf der Gegenstandsseite, auf der Bildseite), wird die Gleichung wunderbar einfach: das Produkt der beiden Brennpunktabstände ist gerade .
Diese Newtonsche Form ist praktisch, wenn ein Gegenstand nahe am Brennpunkt steht oder wenn man schnell sehen will, wie das Bild davonläuft, sobald der Gegenstand sich dem Brennpunkt nähert ( schickt ).
Kein ernsthaftes Objektiv kommt mit einer Linse aus. Schaltet man zwei dünne Linsen direkt hintereinander (in Kontakt), addieren sich ihre Brechkräfte: , also . Zwei schwache Sammellinsen ergeben eine stärkere, eine Sammel- plus eine Zerstreuungslinse können sich teilweise aufheben.
Stehen die Linsen im Abstand auseinander, kommt ein Korrekturterm dazu. Diese allgemeine Form ist die Grundlage jedes zusammengesetzten Objektivs und auch der Trick, mit dem man die chromatische Aberration (6.6) korrigiert.
Wozu das alles? Um Dinge grösser zu sehen. Hier zählt nicht die Lateralvergrösserung , sondern die Winkelvergrösserung: um welchen Faktor ein Gegenstand das Auge unter einem grösseren Sehwinkel erscheinen lässt. Die Lupe (eine einzige Sammellinse, Gegenstand innerhalb der Brennweite, vgl. 6.2.3) vergrössert um , mit der deutlichen Sehweite cm.
Das Fernrohr kombiniert zwei Linsen: ein langbrennweitiges Objektiv erzeugt ein kleines Zwischenbild, das ein kurzbrennweitiges Okular wie eine Lupe betrachtet. Seine Vergrösserung ist das Verhältnis der Brennweiten . Das Mikroskop arbeitet nach demselben Zwei-Linsen-Prinzip, nur für nahe statt ferne Objekte.
Die schönen Formeln gelten nur für achsennahe Strahlen. In Wirklichkeit hat jede einfache Linse Abbildungsfehler, die nichts mit schlechter Fertigung zu tun haben. Die sphärische Aberration rührt daher, dass achsenferne Strahlen stärker gebrochen werden und nicht im selben Punkt landen; man verringert sie, indem man die Randstrahlen ausblendet (auf Kosten der Helligkeit).
Die chromatische Aberration tritt nur bei Linsen auf, nicht bei Spiegeln: weil die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt (Dispersion, Kap. 5), bekommt jede Farbe eine andere Brennweite, und es entstehen Farbsäume. Man korrigiert sie, indem man mehrere Linsen aus verschiedenen Glassorten kombiniert (Achromat), genau die Linsensysteme aus 6.5.
Das Auge ist eine lebende Linse. Das System aus Hornhaut und Augenlinse bündelt das Licht auf die Netzhaut, wo Stäbchen und Zäpfchen die Reize aufnehmen und über den Sehnerv ans Gehirn melden. Bei entspanntem Auge beträgt die Brennweite rund 2,5 cm, genau der Abstand zur Netzhaut.
Für nahe Gegenstände krümmt der Ziliarmuskel die Augenlinse stärker, verkürzt also die Brennweite (Akkommodation). Der Nahpunkt, der kleinste Abstand, den man noch scharf sieht, liegt normalerweise bei etwa 25 cm (das ist die deutliche Sehweite aus 6.5.2) und wächst mit dem Alter. Wie gross ein Gegenstand erscheint, hängt von der Bildhöhe auf der Netzhaut ab, und die ist umso grösser, je näher der Gegenstand.
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