VI.1 Skalarfelder und Vektorfelder

1.1 Definition

Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt eines Gebiets $D \subset \mathbb{R}^n$ eine reelle Zahl zu. Formal ist es eine Abbildung $T: D \to \mathbb{R}$, die einem Ortsvektor $\mathbf{r} \in D$ den Funktionswert $T(\mathbf{r})$ zuweist.

Die Werte eines Skalarfelds tragen Vorzeichen und Einheit, aber keine Richtung. Im $\mathbb{R}^2$ schreibt man $T(x, y)$, im $\mathbb{R}^3$ meist $T(x, y, z)$. Hängt $T$ zusätzlich von der Zeit ab, schreibt man $T(\mathbf{r}, t)$ und nennt das Feld zeitabhängig oder instationär (siehe Abschnitt 4).

1.2 Beispiele

Klassische physikalische Skalarfelder, alle aus dem Vorlesungs-Kapitel VI.1 bekannt:

Temperaturfeld $T(x, y, z, t)$: misst die Temperatur in einem Raum oder Festkörper. Einheit Kelvin oder Grad Celsius. Im stationären Fall $T(x, y, z)$.

Druckfeld $p(\mathbf{r})$: gibt den Druck eines Fluids an jedem Ort an. In einer ruhenden Atmosphäre nimmt $p$ mit der Höhe ab; lokal kann $p$ stark schwanken (Wetterfronten, Schallwellen).

Potentialfeld $V(\mathbf{r})$: ein Skalarfeld, dessen Gradient ein zugehöriges Vektorfeld liefert. Tritt in der Elektrostatik (elektrisches Potential, Gradient ergibt das $\mathbf{E}$-Feld), in der Gravitation (Gravitationspotential) und in der Mechanik (potentielle Energie pro Probegröße) auf. Die formale Behandlung folgt in Kap. VI.10.

Höhenfeld $h(x, y)$: ordnet jedem Punkt der Erdoberfläche die Höhe über Meeresspiegel zu. Topografische Karten visualisieren $h$ über Höhenlinien (siehe Niveaulinien, Abschnitt 1.3).

Massendichte $\rho(\mathbf{r})$: misst die lokale Masse pro Volumenelement, Einheit kg/m³. Konstant bei homogenen Körpern, ortsabhängig bei inhomogenen Materialien.

1.3 Niveaulinien und Niveauflächen

Niveaulinien (im $\mathbb{R}^2$) und Niveauflächen (im $\mathbb{R}^3$) sind die Mengen aller Punkte, an denen ein Skalarfeld einen festen Wert annimmt. Für ein zweidimensionales Skalarfeld $T(x, y)$ ist die Niveaulinie zum Wert $c$ die Punktmenge $\{(x, y) : T(x, y) = c\}$. Im $\mathbb{R}^3$ ist sie typischerweise eine Fläche.

Niveaulinien sind die mathematische Grundlage von Höhenkarten (Isohypsen), Wetterkarten (Isobaren, Isothermen) und der Kartografie. Zwei Niveaulinien zu verschiedenen Werten schneiden sich nie, sonst hätte das Feld an dem Punkt zwei verschiedene Werte gleichzeitig.

Wo Niveaulinien dicht beieinander liegen, ändert sich das Feld stark. Wo sie weit auseinander liegen, ist die Änderung klein. Diese Beobachtung führt direkt zum Gradienten in Kapitel VI.2: er zeigt senkrecht zu den Niveaulinien in Richtung des steilsten Anstiegs, sein Betrag misst die Änderungsrate.

2.1 Definition

Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt eines Gebiets $D \subset \mathbb{R}^n$ einen Vektor zu. Formal ist es eine Abbildung $\mathbf{v}: D \to \mathbb{R}^n$, die einem Ortsvektor $\mathbf{r}$ den Vektorwert $\mathbf{v}(\mathbf{r})$ zuweist. Im $\mathbb{R}^3$ schreibt man explizit $\mathbf{v}(x, y, z) = (v_1(x,y,z),\, v_2(x,y,z),\, v_3(x,y,z))$ mit drei Komponentenfunktionen $v_1, v_2, v_3$.

Anders als ein Skalarfeld liefert ein Vektorfeld an jedem Ort sowohl eine Richtung als auch einen Betrag. Visualisiert wird ein Vektorfeld typischerweise durch Pfeile an Gitterpunkten oder durch Feldlinien (Abschnitt 3). Die Pfeillänge wird üblicherweise auf den Betrag $|\mathbf{v}(\mathbf{r})|$ skaliert, um den lokalen Feldverlauf erkennbar zu machen.

2.2 Strömungsfeld

Ein Strömungsfeld ist ein Vektorfeld, dessen Werte die Geschwindigkeit eines fließenden Mediums an jedem Ort angeben. Klassisches Beispiel: das Geschwindigkeitsfeld $\mathbf{v}(\mathbf{r}, t)$ einer Flüssigkeit oder eines Gases. Die Einheit ist m/s, die Werte sind tangential zur lokalen Strömungsrichtung.

In einem stationären Strömungsfeld ist $\mathbf{v}$ zeitunabhängig: $\mathbf{v}(\mathbf{r})$. Das gesamte Strömungsbild bleibt zeitlich konstant; ein Teilchen bewegt sich entlang einer festen Bahn (siehe Feldlinie, Abschnitt 3). In einem instationären Feld ändert sich die Geschwindigkeit auch mit der Zeit; Strömungsbild und Teilchenbahnen unterscheiden sich.

Typische Vektorfelder in Physik und Ingenieurwissenschaften sind Wind (Luftströmung), elektrostatische Kraft, Magnetfeld, Wärmefluss und die Strömung einer Flüssigkeit. Sie alle ordnen jedem Ort einen Vektor mit Richtung und Betrag zu und dienen als Standardbeispiele, an denen sich die Begriffe der Vektoranalysis entwickeln lassen.

Zwei besonders einfache Bauformen treten häufig auf. Ein homogenes Vektorfeld ist konstant: $\mathbf{v}(\mathbf{r}) = \mathbf{a}$ mit einem festen Vektor $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^3$. Beispiele sind die Strömung einer idealen Flüssigkeit in einem reibungsfreien Rohr und das elektrische Feld im Inneren eines dünnen Plattenkondensators. Die Feldlinien sind parallele Geraden in Richtung von $\mathbf{a}$.

Ein Rotationsfeld entsteht aus einer konstanten Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$: $\mathbf{v}(\mathbf{r}) = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$. An jedem Ort steht der Feldvektor senkrecht zu $\mathbf{r}$ und zu $\boldsymbol{\omega}$, sein Betrag wächst linear mit dem senkrechten Abstand zur Drehachse. Die Feldlinien sind Kreise um die Drehachse, deren Normalenvektor parallel zu $\boldsymbol{\omega}$ liegt.

2.3 Kraftfeld

Ein Kraftfeld ordnet jedem Ort die Kraft zu, die ein dort befindliches Probeobjekt erfahren würde. Beispiele: das elektrische Feld $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ wirkt auf Probeladungen mit $\mathbf{F} = q\,\mathbf{E}$, das Gravitationsfeld $\mathbf{g}(\mathbf{r})$ wirkt auf Probemassen mit $\mathbf{F} = m\,\mathbf{g}$.

Kraftfelder sind eines der zentralen physikalischen Modelle. Statt für jedes Paar wechselwirkender Objekte die Kraft direkt zu berechnen, definiert man ein Feld, das ein einzelnes Quellobjekt im Raum erzeugt, und liest die Kraft auf andere Objekte aus dem Feldwert ab.

3.1 Definition

Eine Feldlinie eines Vektorfelds $\mathbf{v}$ ist eine Kurve, deren Tangente an jedem Punkt parallel zum Feldvektor am selben Ort verläuft. Formal: eine differenzierbare Kurve $\mathbf{s}(t): I \to D$ heißt Feldlinie zu $\mathbf{v}$, wenn $\mathbf{v}(\mathbf{s}(t)) = \dot{\mathbf{s}}(t)\,\lambda(t)$ mit einem Skalar $\lambda(t) \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ für alle Parameter $t \in I$ gilt.

Der skalare Faktor $\lambda(t)$ trägt der Tatsache Rechnung, dass nur die Richtung der Tangente, nicht ihr Betrag, durch das Feld festgelegt ist. Die geometrische Linie selbst bleibt invariant unter Reparametrisierung. Im Spezialfall $\lambda \equiv 1$ liest sich die Bedingung als $\dot{\mathbf{s}}(t) = \mathbf{v}(\mathbf{s}(t))$.

Feldlinien sind eine geometrische Visualisierungshilfe, kein dynamisches Konzept. Bei einem stationären Strömungsfeld stimmen sie mit den Bahnen von Fluidteilchen überein, sofern diese mit der Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ mitschwimmen. Bei einem instationären Feld unterscheiden sich Feldlinien (Momentaufnahme der Tangentenrichtung) und Teilchenbahnen (zeitintegrierte Trajektorien) im Allgemeinen.

Zwei Feldlinien schneiden sich nie. An einem Schnittpunkt müsste die Feldrichtung in zwei verschiedene Richtungen zeigen, was bei einer wohldefinierten Funktion $\mathbf{v}$ ausgeschlossen ist.

3.2 Konstruktion und Tangenteneigenschaft

Eine Feldlinie wird konstruktiv durch Wahl eines Startpunkts $\mathbf{r}_0$ und Fortführung in der lokalen Feldrichtung erzeugt. Mit der allgemeinen Tangentenbedingung $\mathbf{v}(\mathbf{s}(t)) = \dot{\mathbf{s}}(t)\,\lambda(t)$ aus Abschnitt 3.1 darf die Parametrisierung beliebig gewählt werden; der Skalar $\lambda(t) \neq 0$ regelt die Reparametrisierungsfreiheit, die geometrische Linie selbst bleibt invariant.

Ist $\mathbf{v}$ ein stationäres Strömungsfeld, so stimmen die Feldlinien gerade mit den Bahnen der Teilchen überein, die mit der lokalen Geschwindigkeit mitschwimmen. Genau diese Eigenschaft macht Feldlinien zu einem natürlichen Werkzeug für die Visualisierung stationärer Strömungen. Die Visualisierung selbst (Streamlines plus Partikel) ist in Abschnitt 3.1, Abb. 5 gezeigt.

Die Dichte der Feldlinien in einem Bereich kann als grobes Maß für die Feldstärke gedeutet werden. Dort wo viele Feldlinien dicht beieinander verlaufen, ist $|\mathbf{v}|$ tendenziell groß. Für quantitative Aussagen ist diese Heuristik nur begrenzt zuverlässig; exakte Aussagen liefert das Flussintegral (Kap. VI.4).

4.1 Definition und Vergleich

Ein Vektorfeld $\mathbf{v}(\mathbf{r}, t)$ heißt stationär, wenn es nicht von der Zeit abhängt: $\partial \mathbf{v} / \partial t = \mathbf{0}$. In diesem Fall schreibt man kurz $\mathbf{v}(\mathbf{r})$. Andernfalls heißt das Feld instationär.

In einem stationären Feld bleibt das Strömungsmuster zeitlich konstant. Ein Teilchen, das mit der lokalen Geschwindigkeit mitschwimmt, bewegt sich entlang einer festen Feldlinie. In einem instationären Feld ändern sich die Feldlinien selbst mit der Zeit; Teilchenbahnen (zeitintegrierte Trajektorien) und Feldlinien (Momentaufnahme der Tangentenrichtung) stimmen im Allgemeinen nicht mehr überein.

Die meisten in dieser Vorlesung behandelten Felder sind stationär: das Coulombfeld einer ruhenden Ladung, das Magnetfeld eines konstanten Stroms, das Gravitationsfeld einer ruhenden Masse, die laminare Hagen-Poiseuille-Strömung. Instationäre Felder treten im weiteren Verlauf der Vorlesung an verschiedenen Stellen auf.

5.1 Coulombfeld

Das Coulombfeld einer Punktladung $Q$ am Ursprung ist das elektrische Feld, das diese Ladung im umgebenden Raum erzeugt. Es ist gegeben durch $\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}$, wobei $r = |\mathbf{r}|$ und $\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r$ der radiale Einheitsvektor ist.

Das Coulombfeld zeigt für $Q > 0$ radial nach außen, für $Q < 0$ radial nach innen. Sein Betrag fällt mit $1/r^2$. Diese Form folgt aus der Kugelsymmetrie der Punktladung in Verbindung mit der Erhaltung der Feldlinien (siehe Satz von Gauss in Kap. VI.5 sowie die ausführliche Behandlung in Kap. 2 Elektrische Felder).

Auf eine Probeladung $q$ am Ort $\mathbf{r}$ wirkt die Coulomb-Kraft $\mathbf{F} = q\,\mathbf{E}(\mathbf{r})$. Bei gleichem Vorzeichen von $q$ und $Q$ ist sie abstoßend, bei ungleichem anziehend.

5.2 Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters

Das Magnetfeld eines unendlich langen, geraden Leiters mit Stromstärke $I$ verläuft auf konzentrischen Kreisen um den Leiter. In Zylinderkoordinaten mit Leiter entlang der z-Achse: $\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}$, wobei $\rho$ der senkrechte Abstand zum Leiter und $\hat{\boldsymbol{\varphi}}$ der azimutale Einheitsvektor ist.

Die Richtung von $\mathbf{B}$ folgt der Rechten-Hand-Regel: zeigt der Daumen in Stromrichtung, geben die gekrümmten Finger die Feldrichtung an. Der Betrag fällt mit $1/\rho$ (nicht $1/\rho^2$ wie beim Coulombfeld), eine Konsequenz der zylindrischen anstatt sphärischen Symmetrie.

Im Gegensatz zum Coulombfeld hat dieses Feld keine Quellen oder Senken. Mathematisch: $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ überall (eine der Maxwell-Gleichungen). Ausführliche Behandlung in Kap. 3 Magnetisches Feld.

5.3 Gravitationsfeld

Das Gravitationsfeld einer Punktmasse $M$ am Ursprung beschreibt die Beschleunigung, die eine Probemasse an jedem Ort erfahren würde. Es ist gegeben durch $\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\frac{GM}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}$, mit der Gravitationskonstanten $G \approx 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$.

Das Minuszeichen drückt die Anziehung aus: $\mathbf{g}$ zeigt zur Quellmasse hin, nicht von ihr weg. Die Struktur ist sonst identisch zu der des Coulombfelds einer negativen Ladung: zentral, $1/r^2$-Abfall, kugelsymmetrisch. Auf eine Probemasse $m$ wirkt die Kraft $\mathbf{F} = m\,\mathbf{g}$.

Bedeutung: Trotz formaler Ähnlichkeit zum Coulombfeld gibt es keine negativen Massen. Gravitation ist immer anziehend, das Gravitationsfeld einer Quelle bricht keine Symmetrie.

5.4 Hagen-Poiseuille-Strömung

Die Hagen-Poiseuille-Strömung beschreibt die laminare, stationäre Strömung einer inkompressiblen, viskosen Flüssigkeit durch ein gerades Rohr mit kreisförmigem Querschnitt. Bei vorgegebenem Druckgradienten $\Delta p / L$ und Rohrradius $R$ ergibt sich ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil über den Querschnitt: $v(\rho) = v_{\max}\,\bigl(1 - \rho^2 / R^2\bigr)$, mit $\rho \in [0, R]$ als radialem Abstand zur Rohrachse.

Die maximale Geschwindigkeit liegt im Zentrum ($\rho = 0$) und beträgt $v_{\max} = \frac{\Delta p\,R^2}{4\eta L}$, mit der dynamischen Viskosität $\eta$. An der Rohrwand ($\rho = R$) ist die Geschwindigkeit null. Diese Haftbedingung ist eine charakteristische Eigenschaft viskoser Flüssigkeiten an festen Wänden.

Hagen-Poiseuille ist das Modellbeispiel für eine stationäre, laminare, viskose Strömung. Es zeigt, dass auch in einem makroskopisch homogenen Druckgefälle die Geschwindigkeit räumlich variiert, sobald innere Reibung (Viskosität) ins Spiel kommt.

Aufgaben mit Musterlösungen

Übungsaufgaben werden in Kürze ergänzt.

Die Aufgaben für dieses Kapitel werden in einer zukünftigen Version ergänzt.