VI.4 Der Fluss

1.1 Die Grundfrage und ihre Anwendungen

Stell dir vor: ein leichter Sommerwind weht durch ein offenes Fenster. Wie viel Luft strömt pro Sekunde durch? Oder konkreter: Wasser durch ein Sieb, Wärme durch eine Hauswand, ein Geschoss von Magnetfeldlinien durch eine Spule. Diese eine Frage ist der Anker des ganzen Kapitels.

Wir geben dem Ganzen Namen, damit wir präzise reden können. Das Feld, dessen Stärke und Richtung wir an jedem Punkt kennen, ist ein Vektorfeld $\mathbf{v}: D \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$. Das „Fenster“ ist eine Fläche $S$ im Raum, die ganz im Definitionsbereich $D$ liegt. Die durchströmende Menge pro Zeit nennen wir Fluss und schreiben sie als $\Phi$ (gross-Phi).

Du wirst denselben Begriff in vielen Anwendungen wiederfinden. Bei einer Strömung (Wasser, Luft, Gas) ist $\mathbf{v}$ die Geschwindigkeit, und der Fluss ist das Volumen pro Sekunde, das durch $S$ hindurchläuft. Bei der Wärmeleitung ist $\mathbf{v}$ die Wärmestromdichte, und der Fluss misst die Energie pro Sekunde. Auch elektrischer und magnetischer Fluss durch eine Fläche werden genau gleich definiert (Maxwell-Gleichungen kommen darauf zurück).

Wichtig: wir bestimmen den Fluss nicht punktweise, sondern aggregieren über die ganze Fläche. Eine Stelle, an der das Feld stark durchstösst, kann durch eine Stelle weiter weg ausgeglichen werden, an der es schwächer ist oder gar in die andere Richtung zeigt. Erst die Summe (in mathematisch sauberer Form: das Integral) ergibt $\Phi$.

1.2 Drei Abhängigkeiten beim einfachsten Fall

Bevor wir den allgemeinen Fluss formal angehen, machen wir uns das Leben kurz einfach: gleichmässiger Wind (das Feld ist überall derselbe Vektor) und ebenes Fenster (die Fläche ist eben, mit einer einzigen Durchtritts-Richtung). Wovon hängt der Fluss da anschaulich ab? Drei Sachen, die du sofort herausfindest, ohne irgendetwas zu rechnen.

Erstens: die Stärke $|\mathbf{v}|$ des Felds. Stärkerer Wind = mehr Luft pro Sekunde durchs Fenster. Doppelt so stark, doppelt so viel Fluss. Linear.

Zweitens: die Grösse der Fläche. Wir nennen sie $O$ (Oberflächeninhalt). Doppelt so grosses Fenster, doppelter Fluss. Auch linear.

Drittens: der Winkel $\alpha$ zwischen Wind und Fenster. Das ist der spannendste Punkt. Steht der Wind senkrecht aufs Fenster, knallt das Maximum durch. Weht der Wind parallel zur Scheibe, geht überhaupt nichts durch, weil er einfach daran vorbeistreicht. Dazwischen alles im Mix.

1.3 Spezialfall-Formel

Diese drei Abhängigkeiten lassen sich in eine schicke Formel pressen. Wir brauchen dafür einen Begriff, der die ausgezeichnete Richtung kodiert: den Normaleneinheitsvektor der Fläche, abgekürzt NEV.

Wir schreiben ihn $\mathbf{n}$. Drei Eigenschaften: $\mathbf{n}$ steht senkrecht auf $S$, hat Länge $1$ (deshalb der Zusatz „Einheits“), und seine Richtung legen wir bewusst fest. Bei einem Fenster zum Beispiel: zeigt $\mathbf{n}$ nach draussen oder nach drinnen? Das entscheidet, in welche Richtung wir den Fluss messen wollen. Beide Wahlen sind erlaubt, sie unterscheiden sich nur im Vorzeichen.

Anschaulich: das Skalarprodukt $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}$ pickt aus $\mathbf{v}$ den Anteil heraus, der wirklich durch die Fläche zeigt, und liefert genau $|\mathbf{v}|\cos\alpha$ (weil $|\mathbf{n}|=1$). Das mal Fläche $O$ ergibt das Volumen pro Sekunde, das durch $S$ hindurchgeht.

Beobachtung als Sanity-Check: Wind senkrecht zu $S$ heisst $\alpha = 0$, $\cos\alpha = 1$, voller Fluss. Wind parallel zu $S$ heisst $\alpha = \pi/2$, $\cos\alpha = 0$, kein Fluss. Wind in Gegenrichtung heisst $\alpha = \pi$, $\cos\alpha = -1$, gleicher Betrag mit umgekehrtem Vorzeichen. Genau wie wir's anschaulich wollten.

2.1 Drei Verallgemeinerungen

Echte Aufgaben sind selten so brav wie ein gleichmässiger Wind durch ein ebenes Fenster. Was passiert, wenn das Feld nicht mehr überall gleich ist und die Fläche gewölbt? Drei Dinge ändern sich; die Spezialfall-Formel muss in jedem Punkt nachgebessert werden.

Erstens: $\mathbf{v}$ hängt vom Ort ab. Statt einem festen Vektor $\mathbf{v}$ haben wir das Feld $\mathbf{v}(\mathbf{r})$, an jedem Punkt $\mathbf{r}$ der Fläche möglicherweise anders. Wir gehen davon aus, dass wir $\mathbf{v}$ überall, wo wir es brauchen, ausrechnen können.

Zweitens: $\mathbf{n}$ variiert mit der Stelle. Bei einer gewölbten Fläche zeigt der NEV in jedem Punkt in eine etwas andere Richtung. Auch hier: an jedem Punkt der Fläche lässt er sich aus der Geometrie berechnen (siehe Kap. VI.3).

Drittens: der Oberflächeninhalt $O$ wird zum Doppelintegral. Statt einer einzigen Zahl $O$ summieren wir winzige Flächenstücke auf, sogenannte Oberflächenelemente $\mathrm{d}O$. Geschrieben als $\iint_S \ldots \, \mathrm{d}O$. Achtung Notation: in manchen Büchern findest du dafür auch $\mathrm{d}A$ oder $\mathrm{d}S$. Bedeutet dasselbe, ist nur eine andere Schreibweise.

2.2 Patch-Beitrag $\mathrm{d}\hat{F}$

Trick: zerlege die Fläche in winzige Stückchen. Auf jedem dieser Mini-Patches ist die Fläche näherungsweise eben und das Feld näherungsweise konstant. Wie wenn du eine Pizza in winzige Stücke schneidest: jedes einzelne Stück ist so klein, dass die Krümmung der ganzen Pizza darauf keine Rolle mehr spielt.

Auf so einem Patch greift die Spezialfall-Formel aus 1.3 wieder: das Feld ist lokal homogen, die Fläche lokal eben, der NEV $\mathbf{n}$ punktweise definiert. Der Inhalt des Patches ist nicht mehr $O$, sondern das winzige $\mathrm{d}O$. Der Patch-Beitrag zum Gesamtfluss heisst $\mathrm{d}\hat{F}$:

Anschaulich: $\mathrm{d}\hat{F}$ ist die Menge, die in einer Sekunde durch das winzige Patch-Stück fliesst. Über die ganze Fläche aufsummieren ergibt den Gesamtfluss. Das machen wir gleich in 2.3.

2.3 Allgemeine Definition

Aufsummieren über alle Patches gibt das Doppelintegral. Damit haben wir die offizielle, in der ganzen Vektoranalysis verwendete Definition.

Anschaulich: an jedem Punkt nimmst du die senkrechte Komponente von $\mathbf{v}$, gewichtest mit dem Patch-Inhalt $\mathrm{d}O$ und integrierst über die ganze Fläche. Die Formel definiert den Fluss $\Phi$ von $\mathbf{v}$ durch $S$ in Richtung $\mathbf{n}$.

Eine Forderung muss noch ausgesprochen werden: $\mathbf{n}$ bleibt für die ganze Fläche $S$ auf derselben Seite. Die Richtung darf von Punkt zu Punkt variieren (auf einer gewölbten Fläche tut sie das ja), aber sie darf nicht plötzlich auf die andere Seite springen.

3.1 Anknüpfung an VI.3

Wir haben jetzt eine schöne Definition $\Phi = \iint_S (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})\,\mathrm{d}O$. Wie integriert man das aber konkret? Weder $\mathbf{n}$ noch $\mathrm{d}O$ stehen im Allgemeinen einfach da. Antwort: parametrisieren, genau so, wie wir's in Kap. VI.3 gelernt haben.

Eine Parametrisierung ist eine Funktion $\mathbf{r}: B \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, die jedem Paar $(u, v)$ aus einem ebenen Parameterbereich $B$ einen Punkt $\mathbf{r}(u, v)$ auf der Fläche $S$ zuordnet. Die zwei Variablen heissen $u$ und $v$. Der Parameterbereich $B$ ist eine Region in der Ebene, über die wir am Schluss integrieren werden.

Aus dieser Parametrisierung gewinnen wir zwei Tangentenvektoren. Die partiellen Ableitungen $\mathbf{r}_u = \partial \mathbf{r}/\partial u$ und $\mathbf{r}_v = \partial \mathbf{r}/\partial v$ zeigen entlang der u-Linie beziehungsweise v-Linie der Fläche und spannen lokal die Tangentialebene auf. Die zwei zentralen Resultate aus VI.3, die wir hier brauchen, lauten:

Die linke Formel besagt: der NEV ist (bis aufs Vorzeichen) das normalisierte Kreuzprodukt der zwei Tangenten. Das ist sinnvoll, weil das Kreuzprodukt zweier Vektoren immer senkrecht auf beiden steht. Die rechte Formel sagt: das Patch-Stück $\mathrm{d}O$ ist die Länge des unnormierten Kreuzprodukts mal $\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$. Beide Formeln sind in Kap. VI.3 ausführlich hergeleitet.

3.2 Die zentrale Beobachtung

Schau, was passiert, wenn du die zwei Bausteine aus 3.1 zusammen einsetzt. Im Integranden der Hauptdefinition steht $\mathbf{n}\,\mathrm{d}O$. Wir setzen ein und sehen, dass sich der Betrag $|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|$ exakt einmal aufhebt:

3.3 Hauptformel

Mit der Aufhebung wird die allgemeine Definition zu etwas, das man wirklich rechnen kann. Wir setzen $\mathbf{n}\,\mathrm{d}O = \pm(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$ in $\Phi = \iint_S (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})\,\mathrm{d}O$ ein und werten $\mathbf{v}$ am Punkt $\mathbf{r}(u,v)$ aus. Heraus kommt die zentrale Berechnungsformel des Kapitels.

Anschaulich: das Flussintegral über die gewölbte Fläche $S$ wird zu einem gewöhnlichen Doppelintegral über den ebenen Bereich $B$. Letzteres rechnest du mit Standard-Integrationsregeln. Das Vorzeichen $\pm$ wählst du nach der Anwendung (siehe 3.5).

Ab jetzt arbeitest du fast immer mit dieser Formel. Die Integraldefinition aus 2.3 bleibt der konzeptionelle Anker; die Hauptformel ist das Werkzeug für die Rechnung.

3.4 Spatprodukt-Lesart

Der Integrand $\mathbf{v} \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)$ in der Hauptformel hat einen eigenen Namen: Spatprodukt. Was ist das? Drei Vektoren spannen ein Parallelepiped auf. Stell dir das wie einen verzerrten Schuhkarton vor: die drei Vektoren sind drei Kanten, die alle vom selben Eckpunkt ausgehen. Das Spatprodukt ist genau das Volumen dieses verzerrten Schuhkartons, mit Vorzeichen je nach Reihenfolge der Vektoren.

Anwendung im Fluss-Integranden: die zwei Tangentenvektoren $\mathbf{r}_u$ und $\mathbf{r}_v$ spannen einen winzigen Patch der Fläche auf (das ist genau das Patch-Stück mit Inhalt $|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|$ aus 3.1). Der Vektor $\mathbf{v}$ kommt in dritter Richtung dazu. Das Spatprodukt liefert dann das Volumen, das in einer Sekunde durch genau diesen Patch fliesst, falls $\mathbf{v}$ ein Geschwindigkeitsfeld ist.

3.5 Vorzeichenwahl

Wieso steht in der Hauptformel überhaupt ein $\pm$? Der Grund ist subtil, aber wichtig. Das Kreuzprodukt $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ hat schon eine Richtung (rechtshändig aus den zwei Tangenten). Aber diese Richtung kann genau die falsche sein im Sinne dessen, was du als ausgezeichnete $\mathbf{n}$-Richtung haben wolltest.

Beispiel: du parametrisierst eine Sphäre mit Standard-Kugelkoordinaten. $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ zeigt vielleicht nach innen (also zum Mittelpunkt), aber für deine Aufgabe willst du den Fluss nach aussen. Dann musst du das Vorzeichen flippen.

Es gibt zwei zuverlässige Methoden, das Vorzeichen zu finden. Beide kommen aus der Mitschrift und liefern dasselbe Ergebnis.

Methode A: Punkt-Auswertung. Wähle einen Punkt der Fläche, an dem du die geometrische Richtung von $\mathbf{n}$ unmittelbar siehst (zum Beispiel den Nordpol einer Sphäre, einen Eckpunkt eines Kegels, einen Mittelpunkt einer Ebene). Berechne $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ an den Parametern dieses Punkts und vergleiche das Ergebnis mit deiner gewünschten Richtung. Stimmen sie überein, ist das Vorzeichen $+$. Zeigen sie entgegengesetzt, ist es $-$.

Methode B: Rechte-Hand-Regel. Lege Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand orthogonal zueinander. Daumen entlang $\mathbf{r}_u$, Zeigefinger entlang $\mathbf{r}_v$. Dein Mittelfinger zeigt dann in Richtung $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$. Stimmt das mit der gewünschten $\mathbf{n}$-Richtung überein, ist das Vorzeichen $+$, sonst $-$.

4.1 Niemals normalisieren

Klassischer Klausur-Fauxpas: $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ in der Hauptformel auf Länge $1$ bringen. Niemals tun. Gar nicht.

Warum so streng? Schau zurück auf die Aufhebung in 3.2. Im Schritt $\mathbf{n}\,\mathrm{d}O = \pm(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$ kürzt sich der Betrag $|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|$ genau einmal heraus. Würdest du jetzt auch noch das verbleibende, unnormierte Kreuzprodukt durch seinen Betrag teilen, hättest du den Korrekturfaktor zweimal weggenommen. Effektiv integrierst du dann über eine andere, kleinere Fläche.

Faustregel: in der Parameter-Hauptformel darf das Kreuzprodukt seinen ungeschönten Betrag behalten. Das einzige Mal, wo $\mathbf{n}$ tatsächlich auf Länge $1$ erscheint, ist die abstrakte Definition $\Phi = \iint_S (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})\,\mathrm{d}O$, und dort wird $\mathbf{n}$ im selben Atemzug mit dem skalaren $\mathrm{d}O$ multipliziert.

4.2 Wann es einfach wird

Manchmal hast du Glück. Liegt die Fläche flach in einer der drei Koordinatenebenen, sparst du dir das Parametrisieren komplett. Der NEV ist konstant, das Oberflächenelement reduziert sich auf das gewohnte Flächenelement der Ebene, und das Flussintegral wird zu einem ganz gewöhnlichen Doppelintegral.

Liegt $S$ parallel zur $xy$-Ebene, ist $\mathbf{n} = \pm\hat{\mathbf{e}}_z$ überall derselbe Vektor. Die hier $z$-Komponente von $\mathbf{v}$ ist der einzige relevante Anteil. Analog für $yz$-Ebene mit $\hat{\mathbf{e}}_x$ und $xz$-Ebene mit $\hat{\mathbf{e}}_y$.

4.3 Vorzeichen-Disziplin in der Klausur

Drei Worte, die in jede Lösung gehören, ohne Ausnahme: „in welche Richtung“. Schreib in jede Aufgabe explizit rein, in welche Richtung dein gewählter $\mathbf{n}$ zeigt: nach aussen, nach oben, in $+z$-Richtung, weg von der Achse, was auch immer der Sachverhalt vorgibt.

Warum so penibel? Der Vorzeichenfehler ist die Nummer-eins-Fehlerquelle in Fluss-Aufgaben. Du machst eine inhaltlich saubere Rechnung, vergisst nur, deine Richtungswahl zu dokumentieren, und die Korrektur kann nicht entscheiden, ob dein Resultat $+\Phi$ oder $-\Phi$ richtig ist. Ein Satz vorab kostet nichts und schliesst genau diese Mehrdeutigkeit aus.

4.4 Verbindung zum Divergenzsatz

Eine Abkürzung, die du schon ahnst. Für geschlossene Oberflächen, also wenn $S$ ein ganzes Volumen umrandet (eine Kugel, ein Würfel, ein Kegelmantel mit Boden), gibt's eine viel schnellere Methode als die Parameter-Formel: den Divergenzsatz. Er kommt im nächsten Kapitel (VI.5).

Das Versprechen vorab: bei einer geschlossenen Hülle wird das Flussintegral zum Volumenintegral der Divergenz $\nabla \cdot \mathbf{v}$. Statt eine schwer zu parametrisierende Hülle zu integrieren, integrierst du eine Skalarfunktion über das Volumen im Inneren. Bei vielen Vektorfeldern ist das drastisch einfacher. Mehr dazu in VI.5.

5.1 Übersicht: die fünf Standard-Flächen

In Klausur-Aufgaben tauchen immer wieder dieselben Flächen auf: Ebenen parallel zu Koordinatenebenen, Sphären, Zylindermäntel, Graphen und Kegel. Die Tabelle hier listet die Standard-Parametrisierungen, das Kreuzprodukt $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ und die Default-Richtung. Die folgenden Subsections holen jede Geometrie einzeln raus mit Herleitung.

5.2 Ebene parallel zu einer Koordinatenebene

Die einfachste Standard-Fläche. Liegt $S$ in einer Ebene parallel zu einer der drei Koordinatenebenen, ist der NEV überall derselbe Vektor und die Parametrisierung trivial. Drei Fälle, je nach Ebene.

5.3 Sphäre Radius $R$

Die Sphäre vom Radius $R$ um den Ursprung parametrisiert man mit Standard-Kugelkoordinaten. Polarwinkel $v$ misst von der $+z$-Achse weg ($v=0$ am Nordpol, $v=\pi$ am Südpol), Azimut $u$ läuft um die $z$-Achse. Achtung: in der Physik heissen die Symbole oft $\theta$ (Polarwinkel) und $\varphi$ (Azimut); inhaltlich identisch.

Anschaulich: das Kreuzprodukt ist ein radialer Vektor der Länge $R^2 \sin v$, allerdings mit Vorzeichen $-1$, also nach innen zeigend. Diese Länge $R^2 \sin v$ ist genau das skalare Oberflächenelement: am Äquator ($v = \pi/2$, $\sin v = 1$) maximal, an den Polen ($v = 0$ oder $\pi$) verschwindet es. Das passt zur Geometrie, weil ein $\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$-Patch nahe dem Pol viel kleiner ist als am Äquator.

Vorzeichen-Hinweis: in dieser Reihenfolge zeigt $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ nach innen. Für die Aussennormale (Standard-Wahl bei geschlossenen Hüllen) flippe das Vorzeichen oder kehre die Faktoren zu $\mathbf{r}_v \times \mathbf{r}_u$ um. Die Mitschrift macht das in ihrem Beispiel zur Sphäre genau so.

5.4 Zylindermantel Radius $R$

Der Mantel eines Kreiszylinders mit Radius $R$ und Höhe $z \in [a, b]$ parametrisiert man mit Zylinderkoordinaten. Azimut $\varphi$ läuft um die $z$-Achse, $z$ direkt entlang der Achse.

Im Vergleich zur Sphäre ist die Geometrie hier deutlich einfacher: das Oberflächenelement $\mathrm{d}O = R\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z$ ist konstant (kein $\sin$-Faktor), weil der Mantel überall gleich gekrümmt ist. Das Kreuzprodukt zeigt in jedem Punkt direkt nach aussen, parallel zum Radius an dieser Stelle.

Aufintegriert ergibt $|\mathbf{r}_\varphi \times \mathbf{r}_z|$ über $\varphi \in [0,2\pi], z \in [a,b]$ die Mantelfläche $2\pi R (b-a)$.

5.5 Graph $z = f(x, y)$

Wenn die Fläche der Graph einer Funktion $f: B \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ ist, ist die Parametrisierung extrem natürlich: $u = x$, $v = y$, und $z$ ist die Höhe $f(x,y)$ darüber.

Anschaulich: $-f_x$ und $-f_y$ kodieren, wie steil die Fläche in $x$- und $y$-Richtung kippt. Bei $f_x = f_y = 0$ (Fläche horizontal) ist das Kreuzprodukt $(0, 0, 1)$, also reiner $\hat{\mathbf{e}}_z$. Das passt zur Spezialfall-Formel aus 5.2 (Ebene parallel zu $xy$).

Diese Parametrisierung ist die einfachste, wenn die Fläche als Graph beschrieben werden kann. Beispiele: Parabolschüssel $z = x^2 + y^2$, schräge Ebene $z = ax + by + c$, Hügel $z = e^{-x^2 - y^2}$.

5.6 Kegelmantel

Der Kegelmantel mit Spitze im Ursprung, Achse entlang der $z$-Achse, Halbwinkel $\alpha$ (zwischen Achse und Mantellinie) und Höhe bis $h$ parametrisiert man mit slant-Distanz $s$ entlang der Mantellinie und Azimut $\varphi$ um die $z$-Achse.

Direction-Check: setze $\alpha = \pi/4$ und $\varphi = 0$ ein. Punkt der Fläche: $(s/\sqrt{2}, 0, s/\sqrt{2})$, also $+x, +z$ Quadrant. Kreuzprodukt: $s/\sqrt{2} \cdot (-1/\sqrt{2}, 0, 1/\sqrt{2}) = (-s/2, 0, s/2)$. Das zeigt in $-x, +z$, also zur $z$-Achse hin und nach oben. Nicht nach aussen.

Daher: für die meisten Aufgaben mit Aussennormalen-Konvention ist hier ein Vorzeichen-Flip nötig. Alternativ kannst du für $\alpha = \pi/4$ die Mitschrift-Konvention mit dem xy-Radius $\rho$ als Parameter (statt der Slant-Distanz $s$) verwenden: $\mathbf{r}(\rho, \varphi) = (\rho\cos\varphi, \rho\sin\varphi, \rho)$ mit $\mathbf{r}_\rho \times \mathbf{r}_\varphi = (-\rho\cos\varphi, -\rho\sin\varphi, \rho)$ (ebenfalls innen). Achtung: die zwei Variablen $s$ (Slant) und $\rho$ (xy-Radius) unterscheiden sich um $\sin\alpha$, in unserem Fall $1/\sqrt{2}$.

6.1 Übersicht: wo der Fluss in der Physik auftaucht

Der Fluss ist eines der vielseitigsten Werkzeuge der Vektoranalysis. Die Tabelle listet die wichtigsten Anwendungsgebiete und welche physikalische Grösse $\Phi$ jeweils misst. Die Subsections darunter holen jede einzeln raus mit konkreten Formeln.

6.2 Strömung und Massenfluss

Bei einer inkompressiblen Strömung mit Geschwindigkeitsfeld $\mathbf{u}(\mathbf{r})$ misst der Fluss durch eine Fläche $S$ direkt das Volumen pro Sekunde, das durch $S$ hindurchläuft.

Wenn die Strömung kompressibel ist (Dichte $\rho$ ortsabhängig), ist nicht das Volumen, sondern die Masse pro Zeit die natürliche Grösse. Wir setzen $\mathbf{v} = \rho\,\mathbf{u}$ und erhalten den Massenfluss.

6.3 Wärmeleitung (Fourier)

In einem Körper mit Temperaturfeld $T(\mathbf{r})$ fliesst Wärme von warm nach kalt. Das Fouriersche Gesetz beschreibt diesen Fluss als Vektorfeld.

Anwendung: für eine Wand zwischen warmem Innenraum und kaltem Aussenraum ist $\nabla T$ in Wandrichtung von innen nach aussen positiv. Mit $\mathbf{n}$ nach aussen wird $\mathbf{q} \cdot \mathbf{n} > 0$, also Wärme fliesst nach aussen ($\Phi_E > 0$). Wie das mit der Wärmeleitungsgleichung in VI.6 zusammenhängt, sehen wir dort.

6.4 Elektromagnetismus: Gauss und Faraday

Drei der vier Maxwell-Gleichungen sind Aussagen über Flüsse. Sie verbinden integrale Ladungs- und Strom-Bilanzen mit den Feldern $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$. Hier die kompakten Formeln; ausführliche physikalische Bedeutung steht in deinem Physik-Skript.

Notations-Hinweis: $\mathrm{d}\mathbf{A}$ ist hier $\mathbf{n}\,\mathrm{d}O$ (vektorielles Flächenelement); in der Mitschrift wird das auch $\mathrm{d}\vec{O}$ geschrieben. Inhaltlich identisch.

Praktisch: in Klausur-Aufgaben stehen die Maxwell-Gleichungen oft als Eingangs-Information; die eigentliche Rechnung ist immer ein Flussintegral oder ein Volumenintegral, also brauchst du die Werkzeuge aus Section 3 (parametrisieren) oder Section 4.4 (Divergenzsatz).

6.5 Hydrostatik und Archimedes

In einer Flüssigkeit mit Druckfeld $p(\mathbf{r})$ wirkt auf die Oberfläche eines eingetauchten Körpers eine Kraft. Diese Auftriebskraft lässt sich als Flussintegral schreiben.

Über den Divergenzsatz und das hydrostatische Druckfeld $p(\mathbf{r}) = p_0 + \rho g z$ ergibt sich daraus das berühmte Archimedes-Prinzip: der Auftrieb ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Konkrete Herleitung kommt in VI.6; hier merken wir uns nur den Fluss-Charakter der Formel.

7.1 Wie greife ich eine Fluss-Aufgabe an?

Bevor du mechanisch parametrisierst, lohnt sich ein Blick auf die Aufgaben-Geometrie. Die folgenden fünf Strategien sparen oft die halbe Rechnung. Lege dir die Reihenfolge zu, dann wirst du nie wieder eine Sphären-Aufgabe direkt mit der Hauptformel quälen, wenn der Divergenzsatz das in zwei Zeilen erledigt.

Strategie 1: Spezialfall checken. Liegt die Fläche flach in einer Koordinatenebene? Dann reduziert sich der Fluss auf ein Doppelintegral der entsprechenden Feldkomponente, ohne Parametrisierung. Siehe Section 4.2 und 5.2.

Strategie 2: Symmetrie ausnutzen. Bei radial symmetrischen Problemen (sphärisch oder zylindrisch) verschwinden oft Komponenten aus Symmetrie-Gründen, oder du integrierst über zwei Hälften, von denen die zweite gleich der ersten ist. Beispiel: ein konstantes Feld $\mathbf{v} = (a, 0, 0)$ durch eine Sphäre vom Radius $R$ liefert Null aus Symmetrie.

Strategie 3: Fläche zerlegen. Bei zusammengesetzten Flächen (Würfel-Oberfläche, Kegel mit Boden, Halbsphäre mit Kreisscheibe) rechne jedes Stück einzeln und summiere. Auf jedem Stück ist die Geometrie meist eine Standard-Form aus Section 5.

Strategie 4: Fehlendes Stück hinzufügen. Wenn die Fläche fast geschlossen ist, ergänze die fehlenden Stücke (z. B. die Kreisscheibe an der Öffnung einer Halbkugel), nutze auf der so geschlossenen Hülle den Divergenzsatz, und subtrahiere am Ende den Fluss durch die Hilfsstücke. Für Hilfsstücke wähle Geometrien aus Section 5, die einfach zu integrieren sind.

Strategie 5: Divergenzsatz prüfen. Geschlossene Hülle plus stetig differenzierbares Feld: Divergenzsatz ist meist drastisch schneller als die direkte Hauptformel. Berechne $\nabla \cdot \mathbf{v}$ zuerst; ist es null oder eine einfache Konstante, ist das Volumenintegral fast geschenkt. Mehr in VI.5.

Aufgaben mit Musterlösungen

Übungsaufgaben werden in Kürze ergänzt.

Die Aufgaben für dieses Kapitel werden in einer zukünftigen Version ergänzt.