VI.3 Flächen im Raum

1.0 Notations-Konventionen

Bevor wir Flächen integrieren, klären wir die Symbole. Dieses Kapitel und die folgenden in VI.4 bis VI.10 nutzen eine ganze Familie infinitesimaler Elemente ($ds$, $dA$, $dO$, $dV$), eine Vektor-Variante davon ($d\vec{l}$, $d\vec{O}$), und das überladene Symbol $\partial$ in zwei verschiedenen Rollen. Wer den Symbol-Salat einmal sortiert hat, liest die Sätze in VI.5 bis VI.10 ohne Mühe.

Differential-Elemente. $ds$ ist das Bogenlängen-Element einer Kurve (1D). $dA$ ist das Flächen-Element in der Ebene (2D in $\mathbb{R}^2$). $dO$ ist das Flächen-Element einer Fläche im Raum (2D in $\mathbb{R}^3$); manche Texte schreiben dafür $dS$. $dV$ ist das Volumen-Element im Raum (3D). Faustregel: der Buchstabe sagt die Dimension; das vorangestellte $d$ heisst infinitesimal klein.

Skalar gegenüber Vektor. $dO$ ist ein Skalar (positiver Flächeninhalt eines kleinen Patches). Der orientierte Flächenelement-Vektor $d\vec{O} = \vec{n}\,dO$ trägt zusätzlich die Richtung des Normaleneinheitsvektors. Analog: $ds$ ist die skalare Bogenlänge, $d\vec{l}$ das orientierte Linienelement entlang einer Kurve. Bei reinen Flächeninhalts-Berechnungen (Section 4) brauchen wir $dO$. Bei Fluss-Integralen ab VI.4 brauchen wir $d\vec{O}$.

Rand-Symbol $\partial$. $\partial V$ ist der Rand der Region $V$. Bei einem 3D-Volumen $V$ ist $\partial V$ die geschlossene 2D-Oberfläche; bei einer 2D-Region $B$ in der Ebene ist $\partial B$ der geschlossene Randkurven-Pfad. Achtung: dasselbe $\partial$-Symbol bezeichnet auch die partielle Ableitung $\partial f / \partial x$. Welche Bedeutung gemeint ist, sagt der Kontext: $\partial$ vor einer Region (Index am Integralzeichen) heisst Rand; $\partial$ vor einer Funktion (mit Variablen-Bruch) heisst Ableitung.

Integralzeichen. $\int$ steht über einer Kurve, $\iint$ über einer Fläche, $\iiint$ über einem Volumen. Geschlossene Linie: $\oint$. Geschlossene Fläche: $\oiint$. Beispiel: $\oint_K \vec{F} \cdot d\vec{l}$ ist die Zirkulation um eine geschlossene Kurve $K$; $\oiint_{\partial V} \vec{F} \cdot d\vec{O}$ ist der Gesamtfluss durch die geschlossene Randfläche eines Volumens.

1.1 Funktionen mehrerer Parameter und Standard-Volumen-/Flächenelemente

Multiparametrige Funktionen $\vec{f}: B \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ verallgemeinern den Funktionsbegriff aus Analysis I. In der Vektoranalysis treten dabei wenige Spezialfälle besonders häufig auf: Skalarfelder ($n = 2$ oder $n = 3$, $m = 1$), Vektorfelder ($n = m$), Raumkurven ($n = 1$, $m = 3$). Kapitel VI.3 widmet sich dem Spezialfall $n = 2$, $m = 3$. Eine Fläche im Raum ist nichts anderes als das Bild einer geeigneten Funktion $\vec{r}: B \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$.

Die partielle Ableitung $\partial f_i / \partial x_j$ misst die Änderungsrate der $i$-ten Komponente $f_i$ bei einer Variation der $j$-ten Eingangsvariablen $x_j$, während alle übrigen Variablen festgehalten bleiben. Sie ist die mehrdimensionale Verallgemeinerung der gewöhnlichen Ableitung: ein Schnappschuss, in welche Richtung die Funktion lokal in Koordinatenrichtung $x_j$ läuft.

Ordnet man alle partiellen Ableitungen erster Ordnung in einer Matrix an, erhält man die Jacobi-Matrix $D\vec{f} \in \mathbb{R}^{m \times n}$. Im Fall $n = m$ ist die Jacobi-Determinante $\det(D\vec{f})$ ein lokaler Volumenfaktor: ein winziges $n$-dimensionales Volumenelement $dV'$ im Definitionsbereich wird durch $\vec{f}$ auf ein Volumenelement der Grösse $|\det(D\vec{f})|\,dV'$ im Bildbereich abgebildet. Genau dieser Faktor erscheint in der Substitutionsregel und wird uns in Section 4.3 wieder begegnen, wenn wir von der 2D-Substitution zum Oberflächenelement im 3D-Raum übergehen.

Aus der Substitutionsregel folgen die Standard-Volumen- und Flächenelemente in den gängigen Koordinatensystemen. Diese Identitäten brauchen wir praktisch in jeder Aufgabe; sie sind Auswendig-Material und sollten nicht jedesmal neu hergeleitet werden. Die Tabelle unten fasst die wichtigsten Fälle zusammen. Insbesondere $dA = r\,dr\,d\varphi$ in Polarkoordinaten und $dV = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$ in Kugelkoordinaten kommen ständig vor; aus letzterem folgt durch Festhalten von $r = R$ direkt das Flächenelement der Kugeloberfläche $dO = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$, das in Section 4.5 für die Berechnung von $4\pi R^2$ gebraucht wird.

1.2 Drei Darstellungsformen einer Fläche

Eine Fläche im Raum ist anschaulich ein zweidimensionales Gebilde, das sich in den $\mathbb{R}^3$ einbettet. Formal: lokal homöomorph zu einer offenen Menge im $\mathbb{R}^2$, sodass jedes Flächenstück ein "flach gemachtes" Bild eines ebenen Gebiets ist. Drei Darstellungsformen sind in Vorlesung und Prüfung gebräuchlich, jede mit eigenen Stärken.

Parameterdarstellung. Eine Funktion $\vec{r}: B \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ bildet einen 2D-Parameterbereich $B$ direkt auf die Fläche ab. Vorteil: konstruktiv und damit ideal für Animationen, Integrationen, Riemann-Summen. Nachteil: dieselbe Fläche hat unendlich viele Parametrisierungen, was Eindeutigkeitsfragen aufwirft (Section 4.3 zeigt allerdings, dass der Oberflächeninhalt von der Wahl unabhängig ist).

Implizite Darstellung. Eine Fläche kann als Niveaumenge $\{F = 0\}$ einer Funktion $F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ geschrieben werden. Vorteil: Punkt-auf-Fläche-Tests sind trivial ($F(\vec{r}) = 0$ einsetzen), und der Gradient $\nabla F$ liefert sofort einen Normalenvektor. Brücke zu VI.1: Niveauflächen waren bereits bei der geometrischen Lesart des Gradienten zentral.

Explizite Darstellung. Spezialfall der Parameterdarstellung mit $u = x$, $v = y$ und $z = f(x, y)$. Die Fläche ist also der Graph einer skalaren Funktion $f: B \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Funktioniert nur, wenn die Fläche gegenüber der xy-Ebene als Funktion $z = f(x, y)$ aufgelöst werden kann; die Kugel etwa lässt sich so nur in zwei Halbkugel-Stücken abdecken.

1.3 Beispiel: Ebene im Raum

Sei $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ ein Punkt mit Ortsvektor $\vec{r}_0$, und seien $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$ zwei linear unabhängige Vektoren. Die durch $P_0$ aufgespannte Ebene mit Spannvektoren $\vec{a}, \vec{b}$ besitzt elegante Darstellungen in allen drei Formen.

1.4 Beispiel: Kugel

Die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius $R > 0$ ist die Standardfläche schlechthin. Wir leiten alle drei Darstellungen her und sehen unterwegs, warum die Kugel nicht durch eine einzige globale Höhenfunktion $z = f(x, y)$ beschrieben werden kann.

1.5 Beispiel: Kegel- und Schraubenfläche

Zwei weitere Standardflächen mit jeweils sehr natürlicher Parameterform, aber sperriger impliziter Darstellung. Die Kegelfläche mit Spitze im Ursprung, Rotationsachse z-Achse und halbem Öffnungswinkel $\alpha \in (0, \pi/2)$, sowie die Schraubenfläche (Helikoid) mit Steigung $h > 0$.

2.1 Parameterlinien

Bei einer Parametrisierung $\vec{r}(u, v)$ einer Fläche $S$ definieren wir zwei natürliche Kurvenscharen. Die v-Linie entsteht durch Festhalten von $u = u_0$ und Variieren von $v$; sie ist die Raumkurve $v \mapsto \vec{r}(u_0, v)$. Analog ist die u-Linie die Raumkurve $u \mapsto \vec{r}(u, v_0)$ bei festem $v = v_0$. Diese Linien stehen für ein einfaches geometrisches Bild: ein rechteckiges Gitter im Parameterbereich $B$ wird durch $\vec{r}$ auf ein Netz auf der Fläche abgebildet, und die Maschen dieses Netzes sind die natürlichen "Pixel" der Parametrisierung.

Beispiel Kugel. Bei der Standardparametrisierung in Kugelkoordinaten sind die u-Linien (festes $v$) genau die Breitenkreise (Parallelen) auf der Kugel; die v-Linien (festes $u$) sind die Längenkreise (Meridiane) von Pol zu Pol. An den Polen $v = 0$ und $v = \pi$ entartet die u-Linie zu einem Punkt: alle Werte von $u$ liefern denselben Punkt. Das ist eine Stelle, an der die Parametrisierung nicht regulär ist (Section 2.3).

Beispiel Schraubenfläche. Bei $\vec{r}(u, v) = (v\cos u, v\sin u, hu)^\top$ sind die u-Linien (festes $v$) Schraubenkurven mit Radius $|v|$ und Steigung $h$; die v-Linien (festes $u$) sind radiale Strecken in einer Halbebene durch die z-Achse. Das Gitter aus diesen Linien zeigt die schraubenförmige Geometrie unmittelbar.

2.2 Tangentialvektoren

Die partiellen Ableitungen $\vec{r}_u = \partial \vec{r}/\partial u$ und $\vec{r}_v = \partial \vec{r}/\partial v$ sind genau die Geschwindigkeitsvektoren beim Durchlaufen der u- bzw. v-Linie. Damit liegen sie tangential zur Fläche im Punkt $\vec{r}(u, v)$. Sie sind die mehrdimensionale Verallgemeinerung der Tangente an eine Kurve und werden im Folgenden die zentrale Rolle spielen.

Berechnet werden $\vec{r}_u$ und $\vec{r}_v$ komponentenweise: jede der drei Koordinatenfunktionen $x(u, v)$, $y(u, v)$, $z(u, v)$ wird einmal partiell nach $u$ bzw. $v$ abgeleitet. Anschliessend lassen sich beide Vektoren als Spalten der Jacobi-Matrix $D\vec{r} = (\vec{r}_u \,|\, \vec{r}_v)$ identifizieren, was die Brücke zur allgemeinen Theorie aus Section 1.1 schliesst.

Beispiel Kugel. Mit $\vec{r}(u, v) = R(\sin v\cos u, \sin v\sin u, \cos v)^\top$ erhält man durch komponentenweises Ableiten zwei klar interpretierbare Tangentialvektoren: $\vec{r}_u$ zeigt entlang des Breitenkreises (in Längenrichtung), $\vec{r}_v$ entlang des Meridians (in Polrichtung). Diese Vektoren bereiten die Oberflächenintegrationsrechnung in Section 4.4 vor.

2.3 Tangentialebene und reguläre Parametrisierung

Die Tangentialebene $T_pS$ an die Fläche $S$ in einem Punkt $p = \vec{r}(u_0, v_0)$ ist die affine Ebene, die von den Tangentialvektoren $\vec{r}_u(u_0, v_0)$ und $\vec{r}_v(u_0, v_0)$ aufgespannt wird, mit Aufhängepunkt $p$. Sie ist die beste lineare Approximation der Fläche bei $p$ und das mehrdimensionale Pendant zur Tangente an eine Kurve. Lokal kann man die Fläche durch die Tangentialebene ersetzen, ohne die Geometrie erster Ordnung zu verlieren.

Damit die Tangentialebene überhaupt wohldefiniert ist, müssen $\vec{r}_u$ und $\vec{r}_v$ linear unabhängig sein; sonst spannen sie nur eine Gerade oder nichts. Genau das fordert die reguläre Parametrisierung: $\vec{r}_u \times \vec{r}_v \neq \vec{0}$ überall in $B$. Punkte, an denen das versagt, heissen singulär. Standardbeispiele sind die Pole der Kugel-Standardparametrisierung (dort entartet die u-Linie zu einem Punkt) und die Spitze des Kegels (alle Mantellinien laufen zusammen).

Brücke zur impliziten Form. Wird die Fläche als Niveaumenge $\{F = 0\}$ einer differenzierbaren Funktion $F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ beschrieben, so ist der Gradient $\nabla F$ überall ein Normalenvektor. Das implizite Funktionentheorem garantiert: an Stellen mit $\nabla F \neq \vec{0}$ kann man $S$ lokal als Graphen einer Funktion $z = f(x, y)$ schreiben (oder $x$ bzw. $y$ als abhängige Variable, je nachdem, welche Komponente von $\nabla F$ nicht verschwindet).

Konsequenz: ist die Niveaufläche an einem Punkt regulär ($\nabla F \neq \vec{0}$), kann man sie dort auch parametrisieren, und die so gewonnene lokale Parametrisierung ist regulär ($\vec{r}_u \times \vec{r}_v \neq \vec{0}$). Die drei Begriffe regulär parametrisiert, regulär implizit, regulär explizit decken sich also an glatten Punkten.

2.4 Tangentenfläche zu einer Raumkurve

Aus einer differenzierbaren Raumkurve $K$ mit Parametrisierung $\vec{s}(u)$ konstruieren wir eine Fläche, indem wir an jeden Kurvenpunkt die Tangente anhängen und den Tangentenparameter $v$ frei laufen lassen. So entsteht eine zweidimensionale Fläche im Raum, die die Kurve enthält und überall die Geschwindigkeitsrichtung der Kurve fortsetzt. Diese Konstruktion heisst Tangentenfläche der Raumkurve.

Formal lautet die Definition $\vec{r}(u, v) = \vec{s}(u) + v\,\dot{\vec{s}}(u)$. Die Bedeutung der Parameterlinien ist anschaulich: bei $v = 0$ läuft die u-Linie genau die Ausgangskurve $K$ ab, weil $\vec{r}(u, 0) = \vec{s}(u)$. Bei festem $u = u_0$ ist die v-Linie die Tangente $\vec{s}(u_0) + v\,\dot{\vec{s}}(u_0)$ an die Kurve im Punkt $\vec{s}(u_0)$. Die ganze Tangentenfläche besteht also aus allen Tangenten an $K$, ausgespannt zu einer Fläche.

Anwendung in der Mechanik. Ist $\vec{s}(u)$ die Bahn eines Teilchens und $u$ die Zeit, so ist die Tangentenfläche der "kinematisch erreichbare" Raum unter Annahme der momentanen Geschwindigkeit. Anwendung in der Differentialgeometrie. Tangentenflächen sind ein Standardbeispiel für abwickelbare Flächen, also Flächen mit verschwindender Gauss-Krümmung; sie lassen sich ohne Verzerrung in die Ebene ausrollen.

2.5 Beispiel: Schraubenlinie und ihre Tangentenfläche

Wir wenden die Tangentenflächen-Konstruktion aus Section 2.4 auf die Schraubenlinie $\vec{s}(u) = (\cos u, \sin u, h\,u)^\top$ an. Die ersten beiden Ableitungen $\dot{\vec{s}}, \ddot{\vec{s}}$ nehmen wir gleich mit, weil sie in Section 3.4 für den NEV gebraucht werden.

3.1 Definition und Konstruktion

Für die Berechnung von Oberflächenintegralen, insbesondere des Flusses eines Vektorfelds durch eine Fläche, brauchen wir an jeder Stelle der Fläche einen ausgezeichneten Vektor, der senkrecht auf der Fläche steht und Einheitslänge hat: den Normaleneinheitsvektor (NEV). Die Tangentialvektoren $\vec{r}_u, \vec{r}_v$ liefern uns die Tangentialebene; das Kreuzprodukt $\vec{r}_u \times \vec{r}_v$ steht algebraisch senkrecht auf beiden Vektoren und damit auf der ganzen Tangentialebene.

Normalisieren liefert Einheitslänge: $\vec{n} = \pm(\vec{r}_u \times \vec{r}_v)/|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$. Das Vorzeichen $\pm$ bleibt frei, weil eine Fläche im Raum zwei Seiten hat und die Mathematik ohne weitere Information nicht weiss, welche gemeint ist. Die Anwendung (Flussrichtung, Aussennormale, Stokes-Konvention) wählt das Vorzeichen.

Charakterisierung der Tangentialebene. Der NEV ist (bis aufs Vorzeichen) der eindeutige Einheitsvektor, der senkrecht auf $T_p S$ steht. Diese koordinatenfreie Lesart macht klar: $\vec{n}$ hängt nur von der Fläche $S$ am Punkt $p$ ab, nicht von der speziell gewählten Parametrisierung (siehe Section 3.2 für den Beweis).