VI.6 Anwendungen des Divergenzsatzes

1.1 Wozu der Divergenzsatz wirklich gut ist

Der Divergenzsatz ist nicht nur eine Identität, mit der man Klausur-Aufgaben verkürzt. Er ist das Werkzeug, mit dem die Physik vier ihrer wichtigsten Bilanzen schreibt. Hydrodynamik, Wärmeleitung, Elektrostatik, Hydrostatik: jede dieser Disziplinen beginnt mit einer Erhaltungsaussage, die als Volumen-Integral formuliert ist. Der Divergenzsatz dreht das Volumen-Integral in ein Oberflächen-Integral oder umgekehrt, und am Ende fällt eine differenzielle Bewegungsgleichung heraus.

Schau dir die vier Phänomene kurz an, bevor wir sie ausarbeiten:

(1) Strömung. Wasser fliesst durch ein Rohr; Masse darf weder erzeugt noch verschwinden. Bilanz: was netto durch die Hülle fliesst, muss innen verschwinden oder entstehen. Resultat: Kontinuitätsgleichung.

(2) Wärme. Eine heisse Pfanne kühlt ab; Energie strömt vom Warmen ins Kalte. Bilanz: Energie-Änderung im Volumen gleich Wärmestrom durch die Hülle. Resultat: Wärmeleitungsgleichung.

(3) Elektrostatik. Eine Punktladung sitzt im Raum; ihr Feld zeigt radial weg. Bilanz: Fluss durch eine Hülle ist proportional zur eingeschlossenen Ladung. Resultat: Grundgleichung von Maxwell.

(4) Auftrieb. Ein Stein fällt ins Wasser und wird leichter. Bilanz: Druckkraft auf die Hülle ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Resultat: Archimedisches Prinzip.

1.2 Übersichts-Tabelle

Bevor wir in die Details einsteigen, schau dir das ganze Kapitel auf einen Blick an. Die Tabelle zeigt, welche physikalische Bilanz hinter jeder Anwendung steht und welche Gleichung am Ende der Rechnung steht. Die Spalte „Bilanz-Aussage“ ist umgangssprachlich, die Spalte „Resultat“ ist die mathematische Form, die in den jeweiligen Sections hergeleitet wird.

2.1 Idee: einfachste Geometrie zuerst

Bevor wir den Divergenzsatz auf Strömungen oder Wärme anwenden, schauen wir kurz auf den Beweis. Nicht die volle technische Version, sondern die Beweis-Skizze für die einfachste Geometrie: einen achsenparallelen Quader. Diese Skizze macht greifbar, woher die Formel überhaupt kommt, und sie liefert das Vorzeichen-Muster, das auch bei den Anwendungen wiederkehrt.

Sei $B = [a,b] \times [c,d] \times [e,f]$ der Quader. Sein Rand $\partial B$ besteht aus sechs Rechtecken, die wir $S_1, S_2, \ldots, S_6$ nennen: zwei senkrechte zur $x$-Achse, zwei zur $y$-Achse, zwei zur $z$-Achse. Auf jeder Wand ist die Aussennormale konstant: $\pm \hat{\mathbf{e}}_x, \pm \hat{\mathbf{e}}_y, \pm \hat{\mathbf{e}}_z$.

Die allgemeine Form des Divergenzsatzes (für beliebige Volumen) folgt am Schluss daraus, dass man jeden krummen Bereich durch viele kleine Quader-Stücke approximieren kann. Wir machen also den Quader-Fall sauber, alles andere ist Verallgemeinerung.

2.2 Komponentenweise Zerlegung

Schreibe die Divergenz aus: $\nabla \cdot \mathbf{v} = v_{1,x} + v_{2,y} + v_{3,z}$, eine Summe aus drei partiellen Ableitungen. Das Volumen-Integral ist also auch eine Summe aus drei Stücken, eines pro Komponente:

Wir behandeln jede der drei Komponenten einzeln und zeigen, dass sie das Flussintegral über zwei Seitenwände ergibt. Aufaddieren liefert dann den Fluss über alle sechs Wände. Das machen wir jetzt für $v_1$ explizit; die anderen beiden laufen analog.

2.3 Erste Komponente per Hauptsatz

Schauen wir auf den ersten Term, $\iiint_B v_{1,x}\,dV$. Schreib das iteriert mit $x$ als innerster Variabel und nutze den Hauptsatz der Integralrechnung in $x$:

Jetzt der entscheidende Schritt: erkenne die rechten und linken Wände wieder. Auf $S_1$ (rechte Wand, $x=b$) ist die Aussennormale $\mathbf{n}_{S_1} = (1,0,0)^{\top}$, also $v_1(b,y,z) = \mathbf{v}(b,y,z) \cdot \hat{\mathbf{e}}_x = \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}_{S_1}$. Auf $S_2$ (linke Wand, $x=a$) ist die Aussennormale $\mathbf{n}_{S_2} = (-1,0,0)^{\top}$, also $-v_1(a,y,z) = \mathbf{v}(a,y,z) \cdot (-\hat{\mathbf{e}}_x) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}_{S_2}$.

Beide Doppel-Integrale sind also Flüsse über je eine Quader-Wand:

2.4 Analog für $v_2, v_3$ und Fazit

Dieselbe Rechnung läuft für die anderen beiden Komponenten. Die zweite Komponente $v_2$ liefert die Wände $S_3$ (vorne, $y=d$) und $S_4$ (hinten, $y=c$), die dritte Komponente $v_3$ die Wände $S_5$ (oben, $z=f$) und $S_6$ (unten, $z=e$). Jede Komponente trägt zwei Wände bei.

Aufsummieren der drei Komponenten ergibt den Fluss über alle sechs Wände, also über den ganzen Rand $\partial B$:

3.1 Frage zuerst: Masse pro Volumen

Stell dir ein Volumen $B$ in einer Strömung vor (zum Beispiel ein imaginärer Würfel mitten im Wasser eines Flusses). Die Masse darin kann sich mit der Zeit ändern, weil Flüssigkeit hinein- oder herausfliesst. Aber: Masse entsteht nicht aus dem Nichts und verschwindet nicht im Nichts. Wie verbinden wir das in eine Gleichung?

Wir brauchen zwei Felder: die Massendichte $\rho(x,y,z,t)$ (Masse pro Volumen, in kg/m³) und das Strömungsgeschwindigkeitsfeld $\mathbf{v}(x,y,z,t)$ (in m/s). Beide sind orts- und zeitabhängig. Das Produkt $\rho\mathbf{v}$ heisst Massenflussdichte (kg pro m² und Sekunde): wie viel Masse pro Zeit pro Querschnitts-Fläche fliesst.

3.2 Massen-Bilanz

Die Masse im Volumen $B$ zur Zeit $t$ ist das Volumen-Integral der Dichte. Die zeitliche Änderung folgt durch Differentiation unter dem Integral (Voraussetzung: $\rho$ stetig differenzierbar in $t$):

3.3 Erhaltungssatz und Divergenzsatz

Jetzt der physikalische Schritt: Masse entsteht und verschwindet nicht. Also kann sich die Masse in $B$ nur dadurch ändern, dass sie durch die Hülle $\partial B$ ein- oder ausströmt. Konkret: was netto durch die Hülle nach aussen fliesst, fehlt im Inneren. Das ist die Erhaltungs-Aussage.

Setze die beiden Ausdrücke für $m'(t)$ aus 3.2 und der Erhaltungs-Zeile gleich:

Die Identität gilt für jedes Volumen $B$. Das geht nur, wenn der Integrand punktweise verschwindet (sonst gäbe es ein kleines $B$, in dem das Integral nicht null wäre).

3.4 Hauptresultat: Kontinuitätsgleichung

In Worten: die zeitliche Abnahme der Dichte ($-\rho_t$) ist gleich der Divergenz der Massenflussdichte ($\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})$). Anschaulich: die Dichte sinkt genau dann, wenn netto Masse aus dem Punkt herausfliesst.

3.5 Spezialfälle: stationär und inkompressibel

Zwei Spezialfälle der Kontinuitätsgleichung tauchen in Klausur-Aufgaben und in der Praxis am häufigsten auf.

(a) Stationär. Eine Strömung heisst stationär, wenn sich die Dichte nicht mit der Zeit ändert: $\rho_t = 0$. Dann reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf die quellenfreie Massenflussdichte:

(b) Inkompressibel. Ein Medium heisst inkompressibel, wenn die Dichte $\rho$ räumlich und zeitlich konstant ist, also $\nabla\rho = 0$ und $\rho_t = 0$. Mit der Produkt-Identität $\nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = \mathbf{v}\cdot\nabla\rho + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{v}$ verschwindet der erste Term, und nach Teilen durch $\rho$ folgt:

4.1 Frage zuerst: wie verteilt sich Wärme?

Eine heisse Pfanne kühlt langsam ab; eine Heizkörper-Oberfläche wird warm. Die Temperatur ist nicht überall gleich, und sie ändert sich mit der Zeit. Wie beschreibt man die räumlich-zeitliche Verteilung der Temperatur $u(x,y,z,t)$ in einem Körper $K$?

Wir brauchen drei Material-Konstanten: die spezifische Wärme $c$ (Energie pro Masse pro Kelvin), die Massendichte $\rho$ (kg/m³) und die Wärmeleitfähigkeit $k$ (W pro m und K). Material gibt diese drei Zahlen vor. Für Wasser etwa $c \approx 4180$ J/(kg·K), $\rho \approx 1000$ kg/m³, $k \approx 0{,}6$ W/(m·K). Für Eisen: $c \approx 450$, $\rho \approx 7870$, $k \approx 80$.

4.2 Wärmemenge in einem Teilkörper

Sei $B \subset K$ ein Teilvolumen des Körpers. Die in $B$ gespeicherte Wärmemenge ist die Energie, die man bräuchte, um $B$ aus einem Referenzzustand auf die aktuelle Temperatur $u$ zu heben. Das ist Masse mal spezifische Wärme mal Temperatur, integriert über das Volumen:

Auch hier ist $\rho$ die Massendichte wie in Section 3, nicht die Ladungsdichte aus Section 5. Halte die Notation in der jeweiligen Section präsent.

4.3 Newton-Fourier-Gesetz

Wärme fliesst von warm nach kalt, und zwar um so schneller, je steiler das Temperatur-Gefälle ist. Quantitativ formuliert das das Newton-Fourier-Gesetz: die Wärmeflussdichte $\mathbf{q}$ ist proportional zum negativen Gradienten der Temperatur.

Auf einem Flächenstück $dO$ mit Aussennormale $\mathbf{n}$ tritt also die Wärmemenge $\mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\,dO = -k\,(\nabla u)\cdot\mathbf{n}\,dO$ pro Zeit aus. Negativ in Richtung $\mathbf{n}$, positiv beim Eintritt.

Vorzeichen merken: wenn die Temperatur in Richtung $\mathbf{n}$ ansteigt ($(\nabla u) \cdot \mathbf{n} > 0$), dann fliesst Wärme entgegen $\mathbf{n}$, also in das Volumen hinein. Das Minuszeichen im Newton-Fourier-Gesetz absorbiert genau das.

4.4 Energieerhaltung und Divergenzsatz

Energie wird im isolierten Körper weder erzeugt noch vernichtet. Die Änderung der Wärmemenge in $B$ kann also nur dadurch zustande kommen, dass Wärme durch die Hülle $\partial B$ ein- oder ausströmt. Wir setzen $W'(t)$ aus 4.2 gleich dem Wärmezufluss durch $\partial B$. Achtung Vorzeichen: $W$ wächst, wenn Wärme nach innen strömt, also gegen die Aussennormale; daraus folgt das Pluszeichen vor dem $k\nabla u$:

Setze die beiden Ausdrücke für $W'(t)$ gleich (aus 4.2 und der ersten Zeile hier) und sammle alles auf einer Seite:

4.5 Hauptresultat: Wärmeleitungsgleichung

Definiere die Temperaturleitfähigkeit $a^2 := k/(c\rho) > 0$. Dividieren der Volumen-Bilanz durch $c\rho$ und Anwenden des „für jedes $B$ gilt \ldots“-Arguments liefert:

In Worten: die zeitliche Änderung der Temperatur ist proportional zum Laplace der Temperatur. Anschaulich: die Temperatur an einem Punkt steigt, wenn die Umgebung im Mittel wärmer ist (positiver Laplace), und sinkt, wenn die Umgebung kälter ist (negativer Laplace).

4.6 Stationärer Spezialfall

Lässt man einen isolierten Körper lange genug Zeit, so kommt er in einen Gleichgewichtszustand, in dem sich die Temperatur nicht mehr ändert: $u_t = 0$. Die Wärmeleitungsgleichung reduziert sich dann auf:

5.1 Frage zuerst: vom Coulomb-Feld zur Maxwell-Gleichung

Eine Punktladung $e$ sitzt im Punkt $\mathbf{r}_0$ (sonst nichts im Raum). Wir wissen schon: ihr elektrisches Feld $\mathbf{E}$ zeigt radial weg von der Ladung und fällt mit $1/r^2$ ab. Das ist das Coulomb-Gesetz, eine empirische Aussage aus Experimenten.

Frage: wie verbindet sich das Coulomb-Feld einer einzelnen Punktladung mit einer kontinuierlichen Ladungsverteilung $\rho(x,y,z)$, die im Raum verteilt ist? Antwort: über den Divergenzsatz. Am Ende steht eine der vier Maxwell-Gleichungen: $\nabla\cdot\mathbf{E} = 4\pi\rho$. Die machen wir jetzt Schritt für Schritt.

5.2 Coulomb-Feld einer Punktladung

Sei $\mathbf{r}$ ein beliebiger Aufpunkt im Raum, $\mathbf{r}_0$ der Ort der Ladung, $\mathbf{r} - \mathbf{r}_0$ der Verbindungsvektor von Ladung zu Aufpunkt. Das Feld einer Punktladung $e$ ist (in Gauss-cgs-Konvention mit $C = 1$):

Definitionsbereich: $D(\mathbf{E}) = \mathbb{R}^3 \setminus \{\mathbf{r}_0\}$. Im Punkt $\mathbf{r}_0$ explodiert das Feld; dort ist $\mathbf{E}$ nicht definiert. Diese Singularität ist der entscheidende Punkt für alles, was folgt.

5.3 $\mathbf{E}$ ist quellenfrei ausserhalb der Ladung

Direktes Nachrechnen liefert eine zentrale Tatsache: überall dort, wo $\mathbf{E}$ definiert ist, ist die Divergenz null. Auf $D(\mathbf{E}) = \mathbb{R}^3 \setminus \{\mathbf{r}_0\}$ gilt $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$. Das Feld einer Punktladung ist also quellenfrei, ausserhalb der Ladung selbst.

Das klingt zunächst paradox: ein Feld, das aus einer Quelle kommt, soll quellenfrei sein? Auflösung: in jedem Punkt ausser $\mathbf{r}_0$ ist die Divergenz tatsächlich null. Die Quelle sitzt punktuell in $\mathbf{r}_0$, und genau dort ist $\mathbf{E}$ nicht differenzierbar (nicht einmal definiert). Die ganze „Quellstärke“ konzentriert sich in einem einzigen Punkt.

5.4 Trick mit dem Hilfsvolumen

Wir wollen den Fluss durch eine geschlossene Hülle $\partial B$ um die Ladung herum berechnen. Direkter Divergenzsatz scheitert wegen der Singularität in $\mathbf{r}_0 \in B$. Trick: schneide eine kleine Kugel $K \subset B$ mit Mittelpunkt $\mathbf{r}_0$ aus dem Volumen aus. Auf dem durchlöcherten Bereich $\bar B = B \setminus K$ ist $\mathbf{E}$ überall definiert, und der Divergenzsatz greift.

Ersetze $\mathbf{n}' = -\hat{\mathbf{r}}$ und sammle die Vorzeichen ein:

Den Fluss durch die kleine Kugel $\partial K$ rechnen wir direkt aus. Auf $\partial K$ mit Radius $r$ ist $\mathbf{E}\cdot\hat{\mathbf{r}} = e/r^2$ (radiale Komponente, alle anderen verschwinden). Multipliziert mit der Kugel-Oberfläche $4\pi r^2$:

5.5 Allgemeine Form: Gauss-Hülle

Setze die beiden Schritte aus 5.4 zusammen:

In Worten: der Fluss durch eine geschlossene Hülle hängt nur davon ab, ob die Ladung im Inneren sitzt oder nicht. Die genaue Form der Hülle ist egal, der Fluss ist immer $4\pi e$ (falls innen) oder $0$ (falls aussen).

5.6 Mehrere Ladungen und Ladungsdichte

Mehrere Punktladungen $e_1, e_2, \ldots$ an Orten $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots$: das Feld $\mathbf{E}$ ist die Summe der einzelnen Coulomb-Felder (Superpositions-Prinzip). Gauss-Hülle wendet sich auf jede Ladung einzeln an, Summen-Bilanz:

Beim Übergang zu einer kontinuierlichen Verteilung mit Ladungsdichte $\rho(\mathbf{r})$ (Coulomb pro m³) wird die Summe zu einem Volumen-Integral:

5.7 Hauptresultat: Differentialform per Divsatz

Wir wenden den Divergenzsatz auf die linke Seite der Integralform an. Auf jedem Volumen $B$, das vollständig im Definitionsbereich von $\mathbf{E}$ liegt (also keine Punktladungen mehr enthält, dafür haben wir die kontinuierliche Beschreibung gewählt), gilt:

Da das für jedes Volumen $B$ gilt und beide Seiten Volumen-Integrale derselben Variable sind, müssen die Integranden punktweise gleich sein:

6.1 Bild zuerst: ein Stein im Wasser

Tauche einen Stein in eine Badewanne. Er wird leichter. Genauer: er erfährt eine Auftriebskraft nach oben, die genau gleich gross ist wie das Gewicht des Wassers, das er verdrängt hat. Das ist das archimedische Prinzip, eine der ältesten quantitativen Aussagen der Physik (Archimedes, 3. Jahrhundert v. Chr.). Wir leiten es jetzt elegant aus dem Divergenzsatz her.

Anschaulich: das Wasser drückt von allen Seiten auf die Oberfläche des Steins. Der Druck ist tiefer unten höher (weil mehr Wasser darüber liegt) als oben. Resultat: nach oben drückt mehr als nach unten, eine Netto-Kraft nach oben. Die genaue Stärke berechnen wir gleich.

6.2 Druck-Setup

Sei $K$ ein beliebig geformter Körper, vollständig in eine Flüssigkeit getaucht. Die Flüssigkeit habe das spezifische Gewicht $\gamma$ (Gewichtskraft pro Volumen, in N/m³). Für Wasser etwa $\gamma = \rho_{\text{Wasser}} \cdot g \approx 1000 \cdot 9{,}81 \approx 9810$ N/m³.

Wähle Koordinaten so, dass die $z$-Achse nach oben zeigt und der Flüssigkeitsspiegel bei $z = 0$ liegt. Dann hat ein Punkt mit Koordinate $z < 0$ die Tiefe $-z$ unter dem Spiegel. Der Druck dort ist Atmosphärendruck plus der hydrostatische Druck der darüber liegenden Wassersäule:

6.3 Kraft auf ein Flächenstück

Auf ein Flächenelement $dO$ der Hülle $\partial K$ wirkt der Druck der Flüssigkeit. Die Druckkraft zeigt in den Körper hinein (Druck drückt auf Flächen), also entgegengesetzt zur Aussennormale $\mathbf{n}$:

Die Gesamt-Auftriebskraft ist das Hüllen-Integral über alle Flächenstücke:

6.4 Komponentenweise per Divergenzsatz

Die elegante Idee: jede Komponente von $\mathbf{A}$ ist ein Oberflächen-Integral der Form $\iint p(z)\,n_i\,dO$. Wähle ein Hilfs-Vektorfeld $\mathbf{u}$, dessen $i$-te Komponente $p(z)$ ist (und alle anderen null), dann ist $p(z)\,n_i = \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}$, und der Divergenzsatz wandelt das Hüllen-Integral in ein Volumen-Integral.

$x$-Komponente. Wähle $\mathbf{u} = (p(z), 0, 0)^{\top}$. Dann $\nabla\cdot\mathbf{u} = \partial_x p(z) = 0$ (denn $p$ hängt nur von $z$ ab):

$y$-Komponente. Analog mit $\mathbf{u} = (0, p(z), 0)^{\top}$. Wieder $\nabla\cdot\mathbf{u} = \partial_y p(z) = 0$, also $A_y = 0$.

$z$-Komponente. Wähle $\mathbf{u} = (0, 0, p(z))^{\top}$. Jetzt ist $\nabla\cdot\mathbf{u} = \partial_z p(z) = -\gamma$ (der Atmosphärendruck $p_0$ ist konstant in $z$, und $\partial_z(-\gamma z) = -\gamma$):

6.5 Hauptresultat: archimedisches Prinzip

Aus 6.4 folgt sofort die Gesamt-Auftriebskraft. Mit unserer Konvention ($z$-Achse nach oben, $K$ unter Wasser bei $z < 0$) ist der Auftrieb:

In Worten: die Auftriebskraft auf einen getauchten Körper ist gleich dem Gewicht der von ihm verdrängten Flüssigkeit. Die Form des Körpers spielt keine Rolle; nur sein Volumen zählt. Genau das hatte Archimedes vor 2300 Jahren behauptet.

7.1 Anwendungs-Tabelle und Hauptgleichungen

Das ist die Spickzettel-Section. Lies diese Tabelle in Klausur-Vorbereitung als ersten Anker; jede Hauptgleichung ist daneben in der Margin-Spalte als Compact-Formula nochmal aufgeführt.

7.2 Vier Strategien für jede Anwendung

Alle vier Anwendungen folgen demselben Schema. Wenn du eine neue Aufgabe siehst (zum Beispiel eine Diffusions-Gleichung in der Pharmazie oder eine Bilanz in der Strömungssimulation), läufst du diese vier Schritte ab.

(1) Erhaltungs-Ansatz. Schreibe die zu erhaltende Grösse (Masse, Energie, Ladung) als Volumen-Integral. Bilde die Zeitableitung. Identifiziere die rechte Seite als Fluss durch den Rand plus eventuelle Quellterme.

(2) Divergenzsatz tauschen. Wandle den Fluss durch den Rand in ein Volumen-Integral der Divergenz. So stehen auf beiden Seiten der Bilanz Volumen-Integrale.

(3) Punktweise Gleichheit. Da die Bilanz für jedes Volumen $B$ gelten muss, müssen die Integranden punktweise gleich sein. Daraus folgt eine differenzielle Gleichung ohne Integrale.

(4) Hilfs-Vektorfeld bei Druck- oder Skalar-Bilanzen. Tritt im Hüllen-Integral ein Skalar $\phi(\mathbf{r})$ auf, so wird daraus ein Vektor-Feld $\mathbf{u}_i = \phi\cdot\hat{\mathbf{e}}_i$ mit leicht ausrechenbarer Divergenz. So wandelt sich auch ein Druck- oder Schwerkraft-Integral in eine Volumen-Rechnung um.

Aufgaben mit Musterlösungen

Übungsaufgaben werden in Kürze ergänzt.

Die Aufgaben für dieses Kapitel werden in einer zukünftigen Version ergänzt.