13. Knicken

Stell dir eine Kugel auf drei verschiedenen Untergründen vor. In einer Schüssel (Mulde) liegt die Kugel am tiefsten Punkt. Stösst du sie an, rollt sie zurück in die Mitte: das Gleichgewicht ist stabil. Auf einer ebenen Platte bleibt die Kugel einfach liegen, wo du sie hinschiebst: indifferentes Gleichgewicht. Auf der Kuppe eines Hügels balanciert die Kugel nur theoretisch; der kleinste Stoss lässt sie davonrollen: das Gleichgewicht ist instabil.

Genau dieses Bild beschreibt den Druckstab. Stör den geraden Stab durch einen winzigen seitlichen Schubs und schau, was passiert. Bei kleiner Druckkraft $F$ federt der Stab in die gerade Lage zurück, wie die Kugel in der Schüssel: die gerade Form ist stabil. Steigerst du $F$, wird das Rückstellen immer schwächer. Bei einem ganz bestimmten Wert, der kritischen Last $F_{\text{krit}}$, kehrt der Stab nicht mehr zurück und bleibt in der ausgelenkten Lage stehen: indifferent, wie die Kugel auf der Platte. Über $F_{\text{krit}}$ hinaus drückt jede kleine Störung den Stab immer weiter weg, die gerade Form ist instabil, und er knickt aus.

$F_{\text{krit}}$ ist die Grenze zwischen gerade und krumm. Diese kritische Last (man nennt sie auch Verzweigungslast, weil sich dort der gerade und der gebogene Lösungsast verzweigen) ist die zentrale Grösse des ganzen Kapitels. Liegt die wirkende Druckkraft darunter, ist der Stab sicher; erreicht sie $F_{\text{krit}}$, knickt er.

Ein ehrliches Wort vorab, von einem Mitstudenten an dich. Die Vorlesungsunterlagen zu Mechanik II behandeln das Knicken nicht im Detail. Die Resultate auf dieser Seite sind die klassische Knicktheorie nach Leonhard Euler (1744), das Standardresultat in jeder Festigkeitslehre und in jedem Maschinenbau-Lehrbuch. Sie sind sauber hergeleitet und überall anerkannt, aber sie stammen nicht aus dem Stoff, den wir in der Vorlesung gesehen haben.

Warum dieser Hinweis wichtig ist. In dieser Vorlesung zählt am Schluss die Konvention der Vorlesung. Eine andere Schreibweise für die Knicklänge, ein anderer Sicherheitsbeiwert oder eine leicht abweichende Definition könnten in der Prüfung erwartet werden. Nimm die folgenden Formeln also als das, was sie sind: das verlässliche Standard-Werkzeug, mit dem du das Phänomen verstehst und rechnest, aber gleiche es kurz mit den Knick-Folien der Vorlesung ab, sobald sie verfügbar sind.

Frage: Bei welcher Kraft hat die Knickgleichung eine ausgelenkte Lösung? Wir lösen die Gleichung $v'' + (F/EI)\,v = 0$ für den einfachsten Fall: einen Stab der Länge $L$, der an beiden Enden gelenkig gelagert ist (er kann sich an beiden Enden frei drehen, aber nicht seitlich verschieben). Die Lagerung verlangt $v(0) = 0$ und $v(L) = 0$: an beiden Enden ist die Auslenkung null.

Die Lösung ist eine Sinus-Halbwelle. Die Gleichung wird von $v(x) = C\,\sin(\sqrt{F/EI}\;x)$ gelöst. Die Randbedingung $v(L) = 0$ erzwingt, dass der Sinus bei $x = L$ wieder null wird. Das geht nur, wenn das Argument ein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ ist. Die kleinste nicht-triviale Möglichkeit ist eine einzige Halbwelle, die genau zwischen die beiden Lager passt:

Daraus fällt die kritische Last heraus. Setzt man diese Eigenform in die Knickgleichung ein, liefert die zweite Ableitung den Faktor $(\pi/L)^2$, und der Vergleich mit $F/EI$ ergibt direkt die gesuchte Kraft. Es ist die berühmte Euler-Knicklast für den beidseitig gelenkigen Stab.

Warum nur die erste Halbwelle zählt. Mathematisch erlaubt die Randbedingung auch zwei, drei oder $n$ Halbwellen; jede gehört zu einer höheren Last $F_n = n^2\,\pi^2 E I / L^2$. Aber der Stab knickt schon bei der kleinsten dieser Lasten aus, und das ist $n = 1$. Die höheren Moden ($n = 2, 3, \dots$) sind nur erreichbar, wenn man den Stab künstlich daran hindert, in der ersten Mode auszuweichen. Physikalisch relevant ist daher fast immer $n = 1$, also $F_{\text{krit}} = \pi^2 E I / L^2$.

Frage: Wann ist ein Stab schlank genug, um zu knicken? Wir haben bisher zwei Längen: die Knicklänge $L_k$ (wie lang ist der Stab effektiv?) und den Trägheitsradius $i$ (wie dick und gut verteilt ist der Querschnitt?). Es liegt nahe, beide ins Verhältnis zu setzen. Genau das ist der Schlankheitsgrad $\lambda$: eine einzige dimensionslose Zahl, die über die Knickgefahr entscheidet.

Anschauung. Der Schlankheitsgrad sagt, wie oft der Trägheitsradius in die Knicklänge passt. Ein langer, dünner Stab (grosses $L_k$, kleines $i$) hat ein grosses $\lambda$ und ist stark knickgefährdet. Ein kurzer, dicker Stab hat ein kleines $\lambda$ und knickt nicht, der wird eher gestaucht. $\lambda$ ist also das Mass für die Schlankheit im wörtlichen Sinn.

Frage: Welche Spannung herrscht im Stab im Moment des Knickens? Bisher haben wir die kritische Kraft $F_{\text{krit}}$. Für den Vergleich mit Materialkennwerten brauchen wir die kritische Spannung. Die bekommt man, indem man die Knicklast durch die Querschnittsfläche teilt: $\sigma_{\text{krit}} = F_{\text{krit}}/A$. Setzt man $F_{\text{krit}} = \pi^2 E I / L_k^2$ ein und benutzt die beiden Definitionen $i^2 = I/A$ und $\lambda = L_k/i$, kürzt sich die Geometrie zu einer überraschend einfachen Formel zusammen.

Die Rechnung in einem Schritt. Es ist $\sigma_{\text{krit}} = F_{\text{krit}}/A = \pi^2 E I / (L_k^2\,A)$. Mit $I/A = i^2$ wird der Bruch zu $\pi^2 E\,i^2/L_k^2 = \pi^2 E/(L_k/i)^2$, und $L_k/i$ ist gerade $\lambda$. Übrig bleibt:

Die Euler-Hyperbel. Trägt man $\sigma_{\text{krit}}$ über $\lambda$ auf, ergibt sich wegen des $1/\lambda^2$ eine fallende Kurve, die Euler-Hyperbel. Je schlanker der Stab (grosses $\lambda$), desto kleiner die Spannung, bei der er knickt. Sehr schlanke Stäbe knicken also schon bei winzigen Spannungen.

Achtung beim Vorzeichen. Knicken ist ein Druck-Phänomen. In der Vorzeichen-Konvention dieser Vorlesung ist Druck negativ: die wirklich im Stab herrschende Normalspannung ist $\sigma_x = N/A$ mit $N < 0$, also negativ. Die kritische Spannung $\sigma_{\text{krit}}$ dagegen ist ein Betrag (eine positive Kennzahl). Beim Nachweis vergleicht man deshalb den Betrag der wirkenden Druckspannung $|\sigma_x| = |N|/A$ mit $\sigma_{\text{krit}}$: solange $|\sigma_x| < \sigma_{\text{krit}}$, ist der Stab knicksicher.

Frage: Gilt die Euler-Formel immer? Nein, und das ist eine der wichtigsten Einsichten des Kapitels. Die ganze Herleitung steckte im Hookeschen Gesetz $E\,I\,v'' = M$, das nur gilt, solange das Material elastisch bleibt, also unterhalb der Fliessgrenze $\sigma_F$. Sobald die Euler-Spannung $\sigma_{\text{krit}}$ die Fliessgrenze $\sigma_F$ überschreiten würde, fliesst das Material vorher, und die Euler-Formel ist nicht mehr gültig.

Die Grenze findet man durch Gleichsetzen. Der Übergang liegt genau dort, wo die kritische Knickspannung gerade die Fliessgrenze erreicht: $\sigma_{\text{krit}} = \sigma_F$. Setzt man $\pi^2 E/\lambda^2 = \sigma_F$ und löst nach $\lambda$ auf, ergibt sich die Grenzschlankheit $\lambda_{\text{grenz}}$, ein reiner Materialkennwert (er hängt nur von $E$ und $\sigma_F$ ab).

Zwei Regime, eine Grenze. Die Grenzschlankheit teilt alle Druckstäbe in zwei Klassen. Ist $\lambda > \lambda_{\text{grenz}}$, ist der Stab schlank, die kritische Spannung bleibt unter der Fliessgrenze, und das elastische Euler-Knicken gilt: $F_{\text{krit}} = \pi^2 E I/L_k^2$ ist massgebend. Ist $\lambda < \lambda_{\text{grenz}}$, ist der Stab gedrungen, er versagt durch Stauchen / Fliessen (oder unelastisches Knicken), bevor Euler greifen kann. Dann darf man die Euler-Last nicht verwenden, sie würde eine viel zu hohe und damit unsichere Tragfähigkeit vortäuschen.