IV.6 Verallgemeinerte Kettenregel

1Motivation, Funktion entlang einer Kurve

1.1 Setup, Funktion entlang einer Kurve

In einem Gebiet A⊂D(f)A \subset D(f) liegt eine Kurve KK mit Parametrisierung r⃗:[a,b]→A\vec{r}: [a, b] \to A. Wie verhält sich die Funktion ff entlang dieser Kurve?

Stell dir vor, ff ist eine Höhen-Landschaft (Hügel und Täler), und die Kurve KK ist ein Wanderweg quer durchs Gelände. Die Frage 'wie verändert sich ff entlang KK' wird konkret zu 'wie steil geht es auf dem Weg bergauf oder bergab?'.

Wir definieren die Höhen-Funktion entlang des Weges als Komposition aus Bahn und Skalarfeld. Wichtig: FF ist eine Funktion in einer Variable tt (dem Wegparameter), obwohl ff in zwei Variablen lebt. Gesucht ist die Ableitung F′(t)F'(t).

Anwendungs-Vorschau. Sucht man Extremwerte von ff entlang einer Kurve KK (die z.B. den Rand des Definitionsbereichs bildet und durch t∈[a,b]t \in [a, b] parametrisiert ist), betrachtet man die Funktion F(t)F(t). Die Kandidaten für Extrema sind dann alle inneren Punkte mit F′(t0)=0F'(t_0) = 0 (siehe IV.5 §3.1, notwendige Bedingung Typ (i)) sowie zwingend die Randpunkte der Parametrisierung bei t=at=a und t=bt=b.

!!
Setup, Funktion entlang Kurve
F(t):=f(r⃗(t))=f(x(t),y(t))F(t) := f(\vec{r}(t)) = f(x(t), y(t))
Komposition aus Wegparametrisierung und Skalarfunktion. FF lebt in einer Variable tt, ff in zwei Variablen.
Bahnpunkt r(t₀) r(t₀) = (0.90, 0.00)
F(t₀) = f(r(t₀)) 0.000
Soll f(x(t₀), y(t₀)) getrennt ausgewertet
0.00
0.90
0.0
Abb. 1: f(x,y)f(x, y) ist eine Hügel-Landschaft (Hügel und Mulde, zwei Gauss-Buckel); F:R→RF: \mathbb{R} \to \mathbb{R} lebt in einer Variable tt, f:R2→Rf: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}. Hügel-Landschaft ff mit Wanderweg r⃗(t)\vec{r}(t) (links) und das Höhenprofil F(t)F(t) (rechts).
Definition F(t)=f(r⃗(t))F(t) = f(\vec{r}(t))
Komposition aus Wegparametrisierung r⃗:[a,b]→D(f)\vec{r}: [a, b] \to D(f) und Skalarfunktion ff. FF ist Funktion in einer Variable tt, Werte in R\mathbb{R}.
Notation FF in einer Variable trotz ff in zwei (Pflicht)
Pflicht-Hinweis: F:R→RF: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(t)=f(r⃗(t))F(t) = f(\vec{r}(t)). Wegparameter tt ist die einzige verbleibende Variable, (x(t),y(t))(x(t), y(t)) wird durch r⃗\vec{r} festgelegt. Trotz Skalarfeld ff in zwei Variablen ist FF eindimensional.
Querverweis Verweise
→ IV.5 §3.1 notwendige Bedingung
→ IV.2 §4.1 Gradient
Formel Spickzettel
F=f∘r⃗F = f \circ \vec{r}
Komposition kompakt geschrieben. FF ist Skalar-Funktion in einer Variable.

2Verallgemeinerte Kettenregel

2.1 Limes-Definition und φ\varphi-Trick

Die Ableitung F′(t)F'(t) berechnen wir ganz klassisch über den Differenzenquotienten. Wenn wir die Schrittweite auf der Bahn kurz Δx=x(t+Δt)−x(t)\Delta x = x(t+\Delta t) - x(t) und Δy=y(t+Δt)−y(t)\Delta y = y(t+\Delta t) - y(t) nennen, wird der Zähler der Formel zu f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x, y).

Differenzenquotient und Substitution
F′(t)=lim⁡Δt→0f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)ΔtF'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y)}{\Delta t}
Mit Δx→0\Delta x \to 0 und Δy→0\Delta y \to 0 für Δt→0\Delta t \to 0.

Genau diese Zähler-Differenz kennen wir aus IV.4: Wir können sie durch ihren linearen Teil (die Tangentialebene) annähern, plus einen Fehlerterm φ\varphi. Setzen wir f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=φ(Δx,Δy)+fx Δx+fy Δyf(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y) = \varphi(\Delta x, \Delta y) + f_x\,\Delta x + f_y\,\Delta y in den Bruch ein, zerfällt er in drei Teile:

!!
F′(t)F'(t) mit φ\varphi
F′(t)=lim⁡Δt→0φ(Δx,Δy)+fx Δx+fy ΔyΔtF'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\varphi(\Delta x, \Delta y) + f_x\,\Delta x + f_y\,\Delta y}{\Delta t}
Drei Terme im Zähler. Den linearen Teil dürfen wir direkt durch Δt\Delta t teilen, der φ\varphi-Teil braucht eine Erweiterung (siehe §2.2).
Sekante ΔF/Δt 0.000
Tangente F′(t₀) (analytisch) 0.000
Abstand |Sekante − Tangente| → 0 für Δt → 0
zweiter Punkt (t₀, t₀+Δt) = (2.00, 3.20)
1.20
2.00
Abb. 2: Glattes Beispielprofil F(t)=sin⁡t+0.35 tF(t) = \sin t + 0.35\,t. Beim Schrumpfen von Δt\Delta t kippt die Sekante von F(t)F(t) in die Tangente F′(t0)F'(t_0).
Definition Approximations-Differenz φ\varphi
φ(Δx,Δy)=f(Punkt)−t(Punkt)\varphi(\Delta x, \Delta y) = f(\text{Punkt}) - t(\text{Punkt}) aus IV.4 §3.1. Misst die Abweichung von der Tangentialebene.
Notation φ\varphi in §2.1 (Pflicht)
Pflicht-Hinweis: φ\varphi hier ist die Approximations-Differenz aus IV.4 §3.1 (φ=f−t\varphi = f - t). DRITTE Bedeutung in der IV-Reihe: IV.3 §2.2 (Hilfsfunktion in einer Variable), IV.3 §3 (IB-Komponente), jetzt IV.4-Übernahme.
Querverweis Verweise
→ IV.4 §3.1 Approximations-Differenz
→ IV.4 §2.2 Tangentialebene
Formel Spickzettel: φ\varphi
φ=f−t=o((Δx)2+(Δy)2)\varphi = f - t = o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})
Klein-o gegen den Schritt-Abstand. Verschwindet schneller als Δt\Delta t im Limes.

2.2 Limes-Schluss, Klein-o und stetige Differenzierbarkeit

Was passiert mit diesen Termen, wenn Δt→0\Delta t \to 0? Die letzten beiden sind einfach: Δx/Δt→x˙(t)\Delta x/\Delta t \to \dot{x}(t). Aber für den φ\varphi-Term brauchen wir einen Trick: Wir erweitern den ersten Bruch mit der räumlichen Schrittweite (Δx)2+(Δy)2\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}. Das führt zu unserer Hauptgleichung:

!!!
Die Limes-Gleichung
F′(t)=lim⁡Δt→0(φ(Δx,Δy)(Δx)2+(Δy)2⏟→0⋅(Δx)2+(Δy)2Δt⏟→∣r⃗˙(t)∣+fxΔxΔt⏟→x˙(t)+fyΔyΔt⏟→y˙(t))F'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \left( \underbrace{\frac{\varphi(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}}_{\to 0} \cdot \underbrace{\frac{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}{\Delta t}}_{\to |\dot{\vec{r}}(t)|} + f_x \underbrace{\frac{\Delta x}{\Delta t}}_{\to \dot{x}(t)} + f_y \underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta t}}_{\to \dot{y}(t)} \right)
Der φ\varphi-Bruch wird mit der Schrittweite erweitert. Jedes Element strebt gegen einen bekannten Grenzwert.

Schauen wir uns an, wohin die einzelnen Bausteine konvergieren:

1. Der Klein-o-Rest: Der erste Bruch geht gegen 0 (das ist exakt die Definition der Approximationsdifferenz φ\varphi aus IV.4).

2. Die Bahngeschwindigkeit: Der Erweiterungsfaktor lässt sich umschreiben zu (Δx/Δt)2+(Δy/Δt)2\sqrt{(\Delta x/\Delta t)^2 + (\Delta y/\Delta t)^2} und konvergiert gegen ∣r⃗˙(t)∣|\dot{\vec{r}}(t)|. Da diese Geschwindigkeit endlich ist, ergibt 0⋅∣r⃗˙(t)∣=00 \cdot |\dot{\vec{r}}(t)| = 0. Der gesamte φ\varphi-Fehler stirbt also im Limes!

3. Der lineare Teil: Die Differentialquotienten am Ende werden zu den Geschwindigkeitskomponenten x˙\dot{x} und y˙\dot{y}.

Was übrig bleibt, ist null plus der lineare Anteil, und damit exakt die Verallgemeinerte Kettenregel: F′(t)=fx⋅x˙+fy⋅y˙F'(t) = f_x \cdot \dot{x} + f_y \cdot \dot{y}.

Höhenfehler φ = g(Δs) − t(Δs) 0.000
Schritt Δs 1.500
Verhältnis φ/Δs (→ 0) 0.000
Produkt φ/Δs · Δs/Δt (→ 0) 0.000 (Bahngeschw. endlich)
1.50
0.70
Abb. 3: Querschnitt durch die Landschaft, Hügel-Kurve g(s)g(s) und Tangente t(s)t(s) bei s=0s = 0. φ\varphi-Trick im Querschnitt: φ\varphi (Abstand Hügel zu Tangente) schmilzt, φ/Δs→0\varphi/\Delta s \to 0.
Merke Beweis-Pattern
Merke: Klein-o-Anteil isolieren, durch Δt\Delta t teilen, Stetigkeit lässt den Limes durch. Genau wie im IV.4 §3.2-Beweis, nur mit Δt\Delta t statt mit dem Schritt-Abstand.
Notation ∣r⃗˙(t)∣|\dot{\vec{r}}(t)|
Bahngeschwindigkeit, also Länge des Geschwindigkeitsvektors. ∣r⃗˙(t)∣=x˙2+y˙2|\dot{\vec{r}}(t)| = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} in zwei Variablen.
Formel Spickzettel
φ/Δt→0 via ∣r⃗˙∣\varphi/\Delta t \to 0 \text{ via } |\dot{\vec{r}}|
Bahngeschwindigkeit ist endlich, φ\varphi ist Klein-o, Produkt geht gegen 00.

2.3 Hauptsatz und Beispiel f=xy2f = xy^2 mit Trochoiden-Bahn

Der Limes liefert die Hauptaussage des Kapitels.

!!!
Verallgemeinerte Kettenregel
F′(t)=fx(x(t),y(t))⋅x˙(t)+fy(x(t),y(t))⋅y˙(t)=(fxfy)⋅(x˙y˙)=grad⁡(f(r⃗(t)))⋅r⃗˙(t)\begin{aligned} F'(t) &= f_x(x(t), y(t)) \cdot \dot{x}(t) + f_y(x(t), y(t)) \cdot \dot{y}(t) \\ &= \begin{pmatrix} f_x \\ f_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \operatorname{grad}(f(\vec{r}(t))) \cdot \dot{\vec{r}}(t) \end{aligned}
Drei äquivalente Schreibweisen in einer Zeile. Skalarprodukt aus Gradient und Bahngeschwindigkeit, am Bahnpunkt r⃗(t)\vec{r}(t) ausgewertet.

Vier äquivalente Schreibweisen sammeln wir in §2.4 als Cheat-Sheet. Anwendungs-Beispiel jetzt: nehmen wir f(x,y)=xy2f(x, y) = xy^2 und die Trochoiden-artige Bahn r⃗(t)=(−32tcos⁡(t),  tsin⁡(t))\vec{r}(t) = (-\tfrac{3}{2} t \cos(t),\; t \sin(t)).

Beispiel-Funktion und Bahn
f(x,y)=x y2r⃗(t)=(−32 tcos⁡(t),    tsin⁡(t))\begin{aligned} f(x, y) &= x\,y^2 \\ \vec{r}(t) &= \bigl(-\tfrac{3}{2}\,t \cos(t),\;\; t \sin(t)\bigr) \end{aligned}
Skalarfunktion plus Bahn. Die Bahn beschreibt eine sich aufweitende Spirale.
grad f am Punkt grad f = (y², 2xy) = (0.00, 0.00)
Bahngeschwindigkeit ṙ ṙ(t₀) = (1.50, 0.00)
F'(t₀) = grad f · ṙ 0.000
numerisch (F(t₀+h)−F(t₀−h))/2h 0.000
Hinweis bei t₀ = π bei t = π: y = 0 ⟹ grad f = 0 ⟹ F′ = 0
1.20
0.0
Abb. 4: f(x,y)=x y2f(x, y) = x\,y^2 mit Bahn r⃗(t)=(−32tcos⁡t,  tsin⁡t)\vec{r}(t) = (-\tfrac{3}{2} t \cos t,\; t \sin t). Bahn r⃗(t)\vec{r}(t) über den Niveaulinien von f=xy2f = xy^2; grad f (blau), Geschwindigkeit (gold).

Bahngeschwindigkeit per Produktregel: x˙(t)=−32(cos⁡(t)−tsin⁡(t))\dot{x}(t) = -\tfrac{3}{2}(\cos(t) - t \sin(t)) und y˙(t)=sin⁡(t)+tcos⁡(t)\dot{y}(t) = \sin(t) + t \cos(t). Beide explizit ausschreiben:

Bahngeschwindigkeit r⃗˙(t)\dot{\vec{r}}(t)
r⃗˙(t)=(−32(cos⁡(t)−tsin⁡(t)),  sin⁡(t)+tcos⁡(t))\dot{\vec{r}}(t) = \bigl(-\tfrac{3}{2}(\cos(t) - t \sin(t)),\; \sin(t) + t \cos(t)\bigr)
Komponentenweise Produktregel. Wird gleich in die Kettenregel-Formel eingesetzt.

Partielle Ableitungen von ff: fx=y2f_x = y^2 und fy=2xyf_y = 2xy. Wenn wir die Ableitung F′(t)F'(t) als allgemeinen Term brauchen, müssen wir alles stur einsetzen:

!!
Beispiel F′(t)F'(t)
F′(t)=y2⋅x˙+2xy⋅y˙=t2sin⁡2t⋅(−32)(cos⁡(t)−tsin⁡(t))    +2⋅(−32)tcos⁡(t)⋅tsin⁡(t)⋅(sin⁡(t)+tcos⁡(t))\begin{aligned} F'(t) &= y^2 \cdot \dot{x} + 2 x y \cdot \dot{y} \\ &= t^2 \sin^2 t \cdot \bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)(\cos(t) - t \sin(t)) \\ &\;\; + 2 \cdot \bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) t \cos(t) \cdot t \sin(t) \cdot (\sin(t) + t \cos(t)) \end{aligned}
Extrem unhandlich. Das komplette Einsetzen der Parametrisierung führt oft zu solchen Monster-Termen.

Die smarte Auswertung: Wenn wir F′(t)F'(t) nur an einer konkreten Stelle (z.B. t=πt = \pi) ausrechnen wollen, stecken wir tt nicht in diesen Riesen-Term. Stattdessen werten wir die Bausteine einzeln bei t=πt = \pi aus:

1. Bahn-Punkt: r⃗(π)=(32π,0)\vec{r}(\pi) = (\frac{3}{2}\pi, 0). Also x=32πx = \frac{3}{2}\pi und y=0y = 0.

2. Gradient an diesem Punkt: Da y=0y=0 ist, liefert grad⁡(f)=(y2,2xy)\operatorname{grad}(f) = (y^2, 2xy) sofort (0,0)(0, 0).

Damit ist das Skalarprodukt F′(π)=(0,0)⋅r⃗˙(π)=0F'(\pi) = (0,0) \cdot \dot{\vec{r}}(\pi) = 0. Wir mussten die Geschwindigkeit r⃗˙(π)\dot{\vec{r}}(\pi) nicht einmal ausrechnen!

F′F' punktweise ausgewertet
F′(π)=grad⁡(f(r⃗(π)))⋅r⃗˙(π)=(00)⋅r⃗˙(π)=0F'(\pi) = \operatorname{grad}(f(\vec{r}(\pi))) \cdot \dot{\vec{r}}(\pi) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \dot{\vec{r}}(\pi) = 0
Rechne Bausteine vor dem Skalarprodukt punktweise aus, anstatt erst symbolisch auszumultiplizieren!
Definition Hauptsatz
Verallgemeinerte Kettenregel: F′(t)=grad⁡(f(r⃗(t)))⋅r⃗˙(t)F'(t) = \operatorname{grad}(f(\vec{r}(t))) \cdot \dot{\vec{r}}(t). Skalarprodukt aus Gradient und Bahngeschwindigkeit am Bahnpunkt.
Notation r⃗˙\dot{\vec{r}} vs r⃗t\vec{r}_t
Beide Schreibweisen für die Bahngeschwindigkeit sind gängig. Mitschrift schreibt x˙,y˙\dot{x}, \dot{y} (Newton-Punkt), manche Texte xt,ytx_t, y_t (Subscript). Inhalt identisch.
Querverweis Verweise
→ IV.2 §4.1 Gradient
→ IV.5 §3.1 notwendige Bedingung
Formel Spickzettel
F′=grad⁡(f)⋅r⃗˙F' = \operatorname{grad}(f) \cdot \dot{\vec{r}}
Kompakteste Form. Skalarprodukt aus Gradient und Bahngeschwindigkeit.

2.4 Cheat-Sheet, vier Schreibweisen

Die Verallgemeinerte Kettenregel hat vier Schreibweisen, alle inhaltlich identisch. Welche du wann nutzt, entscheidet die Aufgabenstellung und der Geschmack. Im Klausur-Lösungsweg lohnt es sich, immer die Form zu wählen, die zur Anwendung am besten passt.

Form Ausdruck Wann nutzen
explizit fx(r⃗(t)) x˙(t)+fy(r⃗(t)) y˙(t)f_x(\vec{r}(t))\,\dot{x}(t) + f_y(\vec{r}(t))\,\dot{y}(t) wenn x˙,y˙\dot{x}, \dot{y} ausrechenbar; konkretes Beispiel
subscript fx xt+fy ytf_x\,x_t + f_y\,y_t kompakte Mitschrift-Notation; schnell hinschreiben
Vektor (fx,fy)⋅(x˙,y˙)(f_x, f_y) \cdot (\dot{x}, \dot{y}) Skalarprodukt sichtbar; wenn die Geometrie zählt
Gradient grad⁡(f)⋅r⃗˙\operatorname{grad}(f) \cdot \dot{\vec{r}} koordinatenfrei; für Beweise und Niveaulinien-Argumente (§3)
Vier Schreibweisen der Verallgemeinerten Kettenregel. Alle inhaltlich identisch, nur Notation und Anwendungs-Kontext unterscheiden sich.
Bausteine grad f = (fx, fy), ṙ = (ẋ, ẏ)
explizit fx·ẋ + fy·ẏ 0.000
subscript fx·xₜ + fy·yₜ 0.000
Vektor (fx, fy)·(ẋ, ẏ) 0.000
Gradient grad f · ṙ 0.000
alle vier gleich? identisch ✓
1.10
Abb. 5: Vier Schreibweisen, eine Zahl: Gradient mal Bahngeschwindigkeit ergibt F′(t0)F'(t_0).
Merke Inhalt vs Notation
Merke: alle vier Schreibweisen sind dasselbe Objekt (Skalarprodukt aus Gradient und Bahngeschwindigkeit). Nur die Notation wechselt.
Formel Spickzettel
F′=grad⁡(f)⋅r⃗˙=fxx˙+fyy˙F' = \operatorname{grad}(f) \cdot \dot{\vec{r}} = f_x \dot{x} + f_y \dot{y}
Beide Hauptformen nebeneinander. Kompakt-geometrische plus explizit-rechnerische Variante.

3Tangenten an Niveaulinien

3.1 Niveaulinien sind Kurven, auf denen ff konstant ist

Niveaulinien wurden in IV.1 eingeführt: die Menge {(x,y)∣f(x,y)=C}\{(x, y) \mid f(x, y) = C\} aller Punkte, an denen ff einen festen Wert CC annimmt. Jetzt holen wir ihre Tangenten ein, mit der Verallgemeinerten Kettenregel als Werkzeug.

Sei r⃗(t)\vec{r}(t) eine Parametrisierung einer Niveaulinie, also f(r⃗(t))=Cf(\vec{r}(t)) = C für alle tt aus dem zulässigen Bereich. Dann ist die Höhen-Funktion entlang der Bahn F(t)=f(r⃗(t))=CF(t) = f(\vec{r}(t)) = C konstant in tt. Konstante Funktion, Ableitung null. Setzen wir das mit der Kettenregel zusammen:

!!!
Niveaulinie und Kettenregel
F(t)≡C(auf {f=C})  ⟹    F′(t)=0  ⟹    grad⁡(f)⋅r⃗˙=0  ⟹    grad⁡(f)⊥r⃗˙\begin{aligned} &F(t) \equiv C \quad (\text{auf } \{f = C\}) \\ \implies\; &F'(t) = 0 \\ \implies\; &\operatorname{grad}(f) \cdot \dot{\vec{r}} = 0 \\ \implies\; &\operatorname{grad}(f) \perp \dot{\vec{r}} \end{aligned}
Drei Schritte: konstante Höhe entlang der Bahn, also Ableitung null, also Skalarprodukt null, also Senkrecht-Stehung.

Geometrische Bedeutung: der Gradient steht an jedem Punkt senkrecht auf der Niveaulinie durch diesen Punkt. Das ist eine Eigenschaft des Gradienten, die in IV.2 §4.2 nur als Vorschau erwähnt war (ohne Beweis); hier folgt sie direkt aus 'Höhe konstant entlang Niveaulinie + Kettenregel'.

Geometrisches Bild zum Mitnehmen: stehst du auf einem Wanderweg, der genau einer Höhenlinie folgt, dann zeigt der Gradient (Richtung des steilsten Anstiegs) immer rechtwinklig zum Weg. Mathematisch formuliert ist die momentane Höhenänderung beim Gehen exakt das Skalarprodukt F′(t)=grad⁡(f)⋅r⃗˙F'(t) = \operatorname{grad}(f) \cdot \dot{\vec{r}}. Da wir auf der Niveaulinie bleiben, ist die Änderung 00. Also muss das Skalarprodukt null sein, was geometrisch bedeutet, dass die Vektoren senkrecht stehen.

Funktion f(x, y) = x² + y²
Punkt P P = (x₀, y₀) = (1.41, 0.00)
grad f bei P grad f = (2.83, 0.00)
Tangentenrichtung ṙ ṙ = (0.00, 1.00)
Skalarprodukt grad f · ṙ 0.000
Winkel ∠(grad f, ṙ) 90.0°
0.00
2.00
Abb. 6: Höhenkarte von ff: am Punkt PP steht grad f (blau) senkrecht zur Höhenlinie (Tangente gold).
Merke grad⁡(f)⊥\operatorname{grad}(f) \perp Niveaulinien
Merke: der Gradient steht an jedem Punkt senkrecht auf der Niveaulinie durch diesen Punkt. Direkte geometrische Folge der Verallgemeinerten Kettenregel.
Querverweis Verweise
→ IV.2 §4.2 Gradient-Vorschau
→ IV.2 §4.1 Gradient-Definition
Formel Spickzettel
f≡C auf K  ⟹  grad⁡(f)⊥Kf \equiv C \text{ auf } K \;\Longrightarrow\; \operatorname{grad}(f) \perp K
Höhe konstant auf Kurve, also Gradient senkrecht zur Kurve. Ein-Zeilen-Folgerung aus der Kettenregel.

4Tangenten an implizit gegebene Kurven

4.1 Setup und Satz Tangentensteigung

Eine Kurve KK ist oft implizit durch eine Gleichung f(x,y)=0f(x, y) = 0 gegeben, ohne dass man yy explizit als Funktion von xx auflösen kann. Beispiel: die Hyperbel x2/a2−y2/b2=1x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 liefert y=±bx2/a2−1y = \pm b\sqrt{x^2/a^2 - 1} nur stückweise mit Vorzeichen-Wahl. Trotzdem gibt es eine Tangentensteigung an jedem Punkt der Kurve, und die Verallgemeinerte Kettenregel liefert sie ohne explizite Auflösung.

Setup: Sei K={(x,y)∣f(x,y)=0}K = \{(x, y) \mid f(x, y) = 0\} und (x0,y0)∈K(x_0, y_0) \in K ein Punkt auf der Kurve. In einem Bereich um (x0,y0)(x_0, y_0) existiert eine lokale Auflösung y=φ(x)y = \varphi(x) mit φ(x0)=y0\varphi(x_0) = y_0. Damit gilt:

Implizite Auflösung y=φ(x)y = \varphi(x)
f(x,φ(x))=0f(x, \varphi(x)) = 0
Identisch null als Funktion in xx. Lokale Existenz von φ\varphi aus dem Satz der impliziten Funktion (Analysis III oder Aufbau-Vorlesung).

Wenn wir xx selbst als Kurvenparameter nutzen, können wir diese lokale Kurve parametrisieren als r⃗(x)=(x,φ(x))\vec{r}(x) = (x, \varphi(x)). Der Tangentenvektor lautet dann logischerweise r⃗˙(x)=(1,φ′(x))\dot{\vec{r}}(x) = (1, \varphi'(x)).

Aus Abschnitt 3.1 wissen wir: Der Gradient steht immer senkrecht auf der Niveaulinie f=0f=0. Also muss das Skalarprodukt aus Gradient und Tangentenvektor an jedem Punkt null sein:

!!!
Geometrische Herleitung der Tangentensteigung
grad⁡(f)⋅r⃗˙=0  ⟹    (fxfy)⋅(1φ′(x))=0  ⟹    fx+fy⋅φ′(x)=0  ⟹    φ′(x)=−fxfy\begin{aligned} &\operatorname{grad}(f) \cdot \dot{\vec{r}} = 0 \\ \implies\; &\begin{pmatrix} f_x \\ f_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \varphi'(x) \end{pmatrix} = 0 \\ \implies\; &f_x + f_y \cdot \varphi'(x) = 0 \\ \implies\; &\varphi'(x) = -\frac{f_x}{f_y} \end{aligned}
Brillante geometrische Abkürzung: Aus der Orthogonalität von Gradient und Tangente folgt sofort die Formel. Voraussetzung: fy≠0f_y \neq 0.

Satz Tangentensteigung. An einem Punkt (x0,y0)(x_0, y_0) auf der impliziten Kurve {f=0}\{f = 0\} mit fy(x0,y0)≠0f_y(x_0, y_0) \neq 0 ist die Tangentensteigung der lokalen Auflösung y=φ(x)y = \varphi(x) gegeben durch φ′(x0)=−fx/fy\varphi'(x_0) = -f_x/f_y, beide Ableitungen am Punkt (x0,y0)(x_0, y_0) ausgewertet. Geometrisch: die Tangente an die Kurve hat genau diese Steigung.

implizite Kurve f(x, y) = 0 (lokal y = φ(x))
Punkt P P = (x₀, y₀) = (0.00, 0.00)
partielle Ableitungen bei P fx = 0.00, fy = 0.00
Steigung φ′ = −fx/fy 0.00
numerisch (zwei Kurvenpunkte) 0.00
Auflösbarkeit fy ≠ 0 ✓ y = φ(x) lokal möglich
0.18
1.00
Abb. 7: Lokale Auflösung y=φ(x)y = \varphi(x), Tangente (1,φ′)(1, \varphi') mit φ′=−fx/fy\varphi' = -f_x/f_y; bei fy=0f_y = 0 keine.
Definition Lokale Auflösung
y=φ(x)y = \varphi(x) mit φ(x0)=y0\varphi(x_0) = y_0 und f(x,φ(x))=0f(x, \varphi(x)) = 0 auf einem Intervall um x0x_0. Existenz aus Satz der impliziten Funktion.
Notation φ\varphi in §4.1 (Pflicht)
Pflicht-Hinweis: φ\varphi hier ist die lokal aufgelöste Funktion y=φ(x)y = \varphi(x). VIERTE Bedeutung in der Kapitel-Reihe: nicht IV.3 §2.2 (Hilfsfunktion), §3 (IB-Komponente), IV.4 §3.1 (Approx.-Differenz); jetzt implizite Auflösung.
Notation y=φ(x)y = \varphi(x) vs x=ψ(y)x = \psi(y)
Bei fy(x0,y0)≠0f_y(x_0, y_0) \neq 0: yy als Funktion von xx auflösbar. Bei fy=0,fx≠0f_y = 0, f_x \neq 0: stattdessen x=ψ(y)x = \psi(y) mit ψ′(y0)=−fy/fx\psi'(y_0) = -f_y/f_x. Eine der beiden Auflösungen geht immer.
Formel Spickzettel
φ′(x0)=−fxfy∣(x0,y0)\varphi'(x_0) = -\frac{f_x}{f_y}\bigl|_{(x_0, y_0)}
Tangentensteigung als negativer Quotient der partiellen Ableitungen, am Kurvenpunkt ausgewertet.

4.2 Beispiel, Tangente an Hyperbel x2/a2−y2/b2=1x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

Standard-Klausur-Beispiel ohne explizite Parametrisierung. Die Hyperbel H={f=0}H = \{f = 0\} mit f(x,y)=x2/a2−y2/b2−1f(x, y) = x^2/a^2 - y^2/b^2 - 1 und Halbachsen a,b>0a, b > 0. Sei (x0,y0)∈H(x_0, y_0) \in H ein beliebiger Kurvenpunkt mit y0≠0y_0 \neq 0.

Partielle Ableitungen direkt: fx=2x/a2f_x = 2x/a^2 und fy=−2y/b2f_y = -2y/b^2. Mit dem Satz aus §4.1 folgt die Tangentensteigung:

Tangentensteigung Hyperbel
m=−fxfy=−2x0/a2−2y0/b2=b2a2⋅x0y0m = -\frac{f_x}{f_y} = -\frac{2 x_0 / a^2}{-2 y_0 / b^2} = \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_0}{y_0}
Voraussetzung y0≠0y_0 \neq 0 (sonst fy=0f_y = 0, vertikale Tangente). Negative Quotientenregel mit Doppel-Minus, was sich zu Plus auflöst.

Die Punkt-Steigungs-Form der Tangente lautet y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0). Wenn wir mm einsetzen und die Gleichung Schritt für Schritt umformen, können wir die Hyperbel-Bedingung x02a2−y02b2=1\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1 ausnutzen:

!!
Umformung zur Tangentengleichung
y−y0=b2x0a2y0(x−x0)∣⋅y0b2y0b2y−y02b2=x0a2x−x02a2x02a2−y02b2=x0a2x−y0b2y1=x0a2x−y0b2y\begin{aligned} y - y_0 &= \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} (x - x_0) \quad \bigg| \cdot \frac{y_0}{b^2} \\ \frac{y_0}{b^2} y - \frac{y_0^2}{b^2} &= \frac{x_0}{a^2} x - \frac{x_0^2}{a^2} \\ \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} &= \frac{x_0}{a^2} x - \frac{y_0}{b^2} y \\ 1 &= \frac{x_0}{a^2} x - \frac{y_0}{b^2} y \end{aligned}
Vier Schritte: Einsetzen, multiplizieren, Variablen sortieren und zuletzt die Hyperbelgleichung (linke Seite) durch 1 ersetzen. Gleicher Aufbau wie die Hyperbel selbst!
implizite Kurve f = x²/1.4² − y²/1.2² − 1 = 0
Berührpunkt P P = (x₀, y₀) = (1.56, 0.59)
partielle Ableitungen bei P fx = 1.59, fy = −0.82
Tangentensteigung m = −fx/fy 1.94
numerische Sekanten-Steigung 1.94
Scheitel-Check fy ≠ 0 ✓ (sonst vertikale Tangente)
0.68
1.40
1.20
Abb. 8: Implizite Kurve f=0f = 0: am Punkt PP die Tangente m=−fx/fym = -f_x/f_y, Gradient (blau) senkrecht dazu.
Merke Elegante implizite Form
Merke: für jeden Kegelschnitt liefert die implizite Methode eine Tangentengleichung mit derselben Struktur wie die Kurve, nur mit (x0,y0)(x_0, y_0) als linearen Koeffizienten. Spart Parametrisierungs-Arbeit.
Formel Spickzettel Hyperbel-Tangente
T:x0a2 x−y0b2 y=1T: \frac{x_0}{a^2}\, x - \frac{y_0}{b^2}\, y = 1
Implizite Form. x0,y0x_0, y_0 sind die Koordinaten des Berührpunkts.

5Anwendung, Zustandsgrössen Gas

5.1 Ausdehnungs-, Spannungs-, Kompressibilitätskoeffizient

Warum tauchen plötzlich Gas-Gleichungen in einem Mathe-Skript über implizite Funktionen auf? Weil thermodynamische Zustandsgleichungen der Form F(p,V,T)=0F(p, V, T) = 0 das absolute Paradebeispiel für implizite Funktionen in den Naturwissenschaften sind!

Genau wie wir in Abschnitt 4 eine Kurve f(x,y)=0f(x,y)=0 lokal nach y(x)y(x) aufgelöst haben, können wir ein Gas lokal nach p(V,T)p(V,T), V(p,T)V(p,T) oder T(p,V)T(p,V) auflösen.

Drei implizite Funktionen
p(V,T),    V(p,T),    T(p,V)p(V, T),\;\; V(p, T),\;\; T(p, V)
Drei Sichtweisen auf dieselbe Zustands-Gleichung F(p,V,T)=0F(p,V,T)=0. Je nachdem, welche Variable wir als abhängig betrachten.

Die partiellen Ableitungen dieser impliziten Auflösungen beschreiben messbare Materialeigenschaften. Sie sind in der Physik so extrem wichtig, dass sie eigene Namen bekommen haben:

Ausdehnungskoeffizient
α=1V⋅VT\alpha = \frac{1}{V} \cdot V_T
Wie stark wächst das Volumen mit der Temperatur (bei festem Druck)? Pro Volumen-Einheit. Einheit 1/K1/\mathrm{K}.
Spannungskoeffizient
β=1p⋅pT\beta = \frac{1}{p} \cdot p_T
Wie stark wächst der Druck mit der Temperatur (bei festem Volumen)? Pro Druck-Einheit. Einheit 1/K1/\mathrm{K}.
Kompressibilität
κ=−1V⋅Vp\kappa = -\frac{1}{V} \cdot V_p
Wie stark schrumpft das Volumen mit dem Druck (bei fester Temperatur)? Pro Volumen-Einheit. Minus-Vorzeichen für Konventions-Positivität. Einheit 1/Pa1/\mathrm{Pa}.

Vorzeichen-Vorsicht. Bei steigendem Druck nimmt das Volumen ab, also ist Vp<0V_p < 0. Per Konvention will man κ>0\kappa > 0 als positive Materialkonstante, daher steht das Minus-Vorzeichen vor dem Quotienten in der Definition. Das Minus ist kein Schreibfehler, sondern bewusste Vorzeichen-Korrektur.

Vorschau auf IV.7. Die drei Koeffizienten hängen über eine implizite Relation zusammen, die direkt aus der Verallgemeinerten Kettenregel auf die Zustands-Gleichung folgt. Die volle Herleitung folgt in IV.7, sobald wir formal mit Funktionen in drei Variablen arbeiten. Hier reichen die Definitionen.

Arbeitspunkt (p₀, V₀, T₀) = (1.00, 2.00, 2.00)
Ausdehnung α = (∂V/∂T)/V num 0.500 | 1/T₀ = 0.500
Kompressibilität κ = −(∂V/∂p)/V num 1.000 | 1/p₀ = 1.000
geschlossene Form α = β = 1/T = 0.500, κ = 1/p = 1.000
Vorzeichen-Check ∂V/∂p < 0 ⟹ Minus macht κ > 0 ✓
1.00
2.00
0.0
Abb. 9: Zustandsgleichung p V=n R Tp\,V = n\,R\,T mit n R=1n\,R = 1, also T=p VT = p\,V. Zustandsfläche T=p VT = p\,V: zwei Spuren lesen VTV_T (gold, α\alpha) und VpV_p (blau, κ\kappa) ab.
Definition Drei Gas-Koeffizienten
Ausdehnung α=VT/V\alpha = V_T/V (Volumen-Temperatur, bei festem pp). Spannung β=pT/p\beta = p_T/p (Druck-Temperatur, bei festem VV). Kompressibilität κ=−Vp/V\kappa = -V_p/V (Volumen-Druck, bei fester TT, Vorzeichen-Korrektur).
Notation Vorzeichen κ\kappa (Pflicht)
Pflicht-Hinweis: Vp<0V_p < 0 (Volumen nimmt mit Druck ab), per Konvention κ>0\kappa > 0. Daher Minus vor dem Quotienten in der Definition κ=−Vp/V\kappa = -V_p/V. Das Minus ist Vorzeichen-Korrektur, kein Schreibfehler.
Merke Drei Sichtweisen, ein Gesetz
Merke: drei Funktionen p(V,T)p(V,T), V(p,T)V(p,T), T(p,V)T(p,V) aus einer einzigen Zustands-Gleichung. Jede liefert eigene Stoff-Konstanten via partieller Ableitung.
Querverweis Verweise
→ IV.7 Funktionen in drei Variablen

6Aufgaben

6.1 Aufgaben

Aufgaben werden vom Nutzer geliefert. Standard-Vorgehen: bei 'Funktion entlang Kurve'-Aufgaben Verallgemeinerte Kettenregel in der passenden Schreibweise (Cheat-Sheet §2.4) aufstellen, r⃗˙\dot{\vec{r}} und grad⁡(f)\operatorname{grad}(f) ausrechnen, Skalarprodukt bilden. Bei impliziten Tangenten-Aufgaben Voraussetzung fy≠0f_y \neq 0 prüfen, −fx/fy-f_x/f_y einsetzen, gegebenenfalls mit der Implizit-Bedingung umformen (siehe §4.2 Hyperbel-Beispiel). Bei Niveaulinien-Argumenten direkt die Senkrechtstellung grad⁡(f)⊥K\operatorname{grad}(f) \perp K aus §3.1 nutzen.