IV.8 Koordinatentransformation

Anwendungs-Vorschau. Oft lässt sich die mathematische Formulierung eines Problems durch die Wahl von geeigneten Koordinaten vereinfachen. Wenn die Symmetrie der Funktion zu den Koordinaten passt, schrumpfen Rechnungen zusammen, die in kartesischen Variablen seitenlang wären.

Bild im Kopf für Polar: ein gleichmässiges $(\rho, \varphi)$-Gitter in der neuen Koordinaten-Ebene wird unter der Polar-Transformation zu einem krummlinigen Gitter aus Kreisen (festes $\rho$) und Strahlen (festes $\varphi$) in der $(x, y)$-Ebene. Eine Funktion $f(x, y)$ als Skalarfeld auf der Ebene wird in den neuen Variablen zu einer transformierten Funktion $\tilde{f}(\rho, \varphi) = f(x(\rho, \varphi), y(\rho, \varphi))$.

Drei Standard-Wechsel begleiten dich durch das ganze Studium: Polarkoordinaten in $\mathbb{R}^2$ (für radiale Symmetrie um einen Punkt), Zylinderkoordinaten in $\mathbb{R}^3$ (für axial-symmetrische Probleme um eine Achse) und Kugelkoordinaten in $\mathbb{R}^3$ (für punkt-symmetrische Probleme um den Ursprung). Mitschrift S. 33 nennt diese drei explizit als Standard-Repertoire.

Die Tilde markiert: gleicher Funktionswert, andere Variablen. $f$ lebt über $(x, y)$, $\tilde{f}$ über $(\rho, \varphi)$. Inhaltlich derselbe Skalar an jedem Raumpunkt, nur mit anderen Adressen versehen.

Kernfrage des Kapitels. Wie verhalten sich partielle Ableitungen unter solchen Transformationen? Konkret: wie hängt $\tilde{f}_\rho$ mit $f_x$ und $f_y$ zusammen, und wie sieht der Laplace-Operator $\Delta f = f_{xx} + f_{yy}$ in den neuen Variablen aus? Antwort kommt in §2 bis §5, Anwendung auf die Wellengleichung in §6.

Wir starten mit dem Standard-Beispiel: Polarkoordinaten. Jeder Punkt der Ebene ausser dem Ursprung wird durch einen Abstand $\rho > 0$ zum Ursprung und einen Winkel $\varphi \in [0, 2\pi)$ zur positiven $x$-Achse eindeutig adressiert. Das ist die Polar-Parametrisierung der Ebene.

Eine Skalarfunktion $f(x, y)$ wird über die Polar-Parametrisierung in den neuen Variablen ausgedrückt. Wert identisch, Adresse anders:

Für die Verallgemeinerte Kettenregel aus IV.6 §2.3 brauchen wir die partiellen Ableitungen der Polar-Parametrisierung. Das sind vier Ableitungen: jede der beiden Komponenten $x, y$ einmal nach $\rho$ und einmal nach $\varphi$.

Geometrische Lesart: für ein festes $\varphi$ ist die Abbildung $\rho \mapsto (x(\rho, \varphi), y(\rho, \varphi)) = (\rho \cos(\varphi), \rho \sin(\varphi))$ die Parametrisierung eines Strahls aus dem Ursprung mit Steigungs-Richtung $(\cos(\varphi), \sin(\varphi))$. Für ein festes $\rho$ wird die Abbildung $\varphi \mapsto (\rho \cos(\varphi), \rho \sin(\varphi))$ zur Kreislinie mit Radius $\rho$. Strahlen und Kreise zusammen bilden das Polar-Gitter in der $(x, y)$-Ebene.

Die vier Ableitungen sind nicht abstrakt: sie sind genau die zwei Richtungspfeile, in die du am Punkt $P$ läufst, wenn du an einem der beiden Regler drehst. Drehst du nur an $\rho$ (radial nach aussen), bewegt sich $P$ in Richtung $(x_\rho, y_\rho) = (\cos(\varphi), \sin(\varphi))$, dem radialen Pfeil $\vec{e}_\rho$ mit Länge $1$. Drehst du nur an $\varphi$ (entlang des Kreises), bewegt sich $P$ in Richtung $(x_\varphi, y_\varphi) = (-\rho \sin(\varphi), \rho \cos(\varphi))$, dem tangentialen Pfeil $\vec{e}_\varphi$ mit Länge $\rho$. Abb. 2 zeigt beide Pfeile direkt am Polargitter.

Schreibt man $\tilde{f}_\rho$ und $\tilde{f}_\varphi$ als Zeilenvektor und packt die vier Jacobi-Komponenten in eine Matrix, wird die Verallgemeinerte Kettenregel zu einer Matrix-Multiplikation. Das ist die kompakte Form, die im Bachelor- und Master-Studium der Standard ist.

Diese Form ist die Verallgemeinerte Kettenregel für mehrere Variablen in Matrix-Vektor-Schreibweise. Sie skaliert direkt auf drei und mehr Variablen mit grösserer Jacobi-Matrix. Vergleich zur Form in IV.7 §4.1: dort hatten wir das Skalarprodukt $\operatorname{grad}(f) \cdot \dot{\vec{r}}$ für eine Raumkurve. Hier ist es Vektor mal Matrix statt Skalarprodukt, also analog. Genau genommen ist $\operatorname{grad}(f) \cdot \dot{\vec{r}}$ der Spezialfall mit einer Variable $t$ als 'neuer Koordinate', dann ist $J$ einspaltig und das Matrix-Produkt wird zum Skalarprodukt.

Manchmal hat man die transformierten Ableitungen $\tilde{f}_\rho, \tilde{f}_\varphi$ und sucht die kartesischen $f_x, f_y$ zurück. Multiplikation mit $J^{-1}$ von rechts dreht die Transformation um. Die Inverse $J^{-1}$ existiert genau dann, wenn $\det J \neq 0$. Für Polar gilt $\det J = \rho \cos^2(\varphi) + \rho \sin^2(\varphi) = \rho$, also überall regulär ausser am Pol $\rho = 0$.

Aus $(\tilde{f}_\rho, \tilde{f}_\varphi) = (f_x, f_y) \cdot J$ folgt durch Rechts-Multiplikation mit $J^{-1}$ direkt $(f_x, f_y) = (\tilde{f}_\rho, \tilde{f}_\varphi) \cdot J^{-1}$. Komponentenweise ausgeschrieben:

Die kartesische Ableitung ist also eine gewichtete Summe der Polar-Ableitungen: ein Stück 'Radialgewicht' (Faktoren $\cos(\varphi), \sin(\varphi)$) plus ein Stück 'Tangentialgewicht' (Faktoren mit $1/\rho$). Der Faktor $1/\rho$ in den tangentialen Beiträgen ist die Bogenlängen-Korrektur: am Polargitter ist der Bogen pro Winkel-Schritt $\rho \, d\varphi$, beim Wechsel von Bogenlänge auf Winkel teilt man durch $\rho$.

Zweite Ableitungen in den neuen Koordinaten sind die nächste Stufe. Die Rechnung ist mechanisch, aber lang: Verallgemeinerte Kettenregel zweimal hintereinander, plus Produktregel, plus Schwarz für die Mischableitungen. Genau dasselbe Pattern wie im Beweis aus IV.4 §3.2, hier nur ohne Klein-o-Limes.

Aus §2.2 wissen wir $\tilde{f}_\rho = f_x \cos(\varphi) + f_y \sin(\varphi)$. Erneut nach $\rho$ ableiten: $\cos(\varphi)$ und $\sin(\varphi)$ sind konstant in $\rho$, daher entfällt die Produktregel. Jeder Faktor $f_x, f_y$ ist Funktion in $(x(\rho, \varphi), y(\rho, \varphi))$, also wirkt die Verallgemeinerte Kettenregel: $(f_x)_\rho = f_{xx} \cos(\varphi) + f_{xy} \sin(\varphi)$ und analog $(f_y)_\rho = f_{yx} \cos(\varphi) + f_{yy} \sin(\varphi)$. Mit Schwarz $f_{xy} = f_{yx}$ und Sortieren ergibt sich:

Symmetrische Rolle für $\tilde{f}_{\varphi\varphi}$, aber jetzt hängen $\sin(\varphi)$ und $\cos(\varphi)$ von $\varphi$ ab, daher Produktregel notwendig. Aus $\tilde{f}_\varphi = \rho(-f_x \sin(\varphi) + f_y \cos(\varphi))$ erneut nach $\varphi$ ableiten: $\rho$ ist konstant in $\varphi$, $f_x, f_y$ sind Funktionen in $(x, y)$ und damit auch in $\varphi$ via Substitution, $\sin(\varphi), \cos(\varphi)$ direkt $\varphi$-abhängig. Drei Anwendungen der Produktregel plus Verallgemeinerte Kettenregel:

Die eindimensionale Wellengleichung wird durch die richtige Substitution in die einfachste mögliche partielle Differentialgleichung überführt: $\tilde{f}_{uv} \equiv 0$. Daraus folgt direkt die Form jeder Lösung. Das ist d'Alembert-Substitution, und sie ist das Standard-Werkzeug für hyperbolische PDEs in einer räumlichen Variable.

Die transformierte Funktion ist die Komposition von $f$ mit der Substitution. Wir wenden gleich die Verallgemeinerte Kettenregel zweimal an, um $\tilde{f}_{uv}$ in den kartesischen Ableitungen $f_{xx}, f_{xt}, f_{tt}$ auszudrücken. Erst die transformierte Funktion explizit, dann die Jacobi-Komponenten:

Aus $\tilde{f}_{uv} \equiv 0$ folgt per IV.2 §5.3-Resultat (Lösung von $f_{xy} \equiv 0$ in zwei Variablen): $\tilde{f}(u, v) = F(u) + G(v)$ mit beliebigen Funktionen $F, G$ in einer Variable. Rück-Substitution mit $u = x + ct$ und $v = x - ct$ liefert die volle Lösungsstruktur:

Beispiel. Die harmonische Welle aus IV.1 lautet $f(x, t) = A \sin\bigl(\tfrac{2\pi}{T}(\tfrac{x}{c} - t) + \varphi_0\bigr)$. Sie hat die Form $G(x - ct)$ (mit $G(\xi) = A \sin(\tfrac{2\pi}{Tc}\xi + \varphi_0)$) und ist damit ein Spezialfall der d'Alembert-Lösung, also automatisch Lösung der Wellengleichung.

Aufgaben werden vom Nutzer geliefert. Standard-Vorgehen: bei Polar-Aufgaben Jacobi-Komponenten aus Cheat-Sheet A in §2.2 anwenden, gegebenenfalls $M^{-1}$ aus §4.1 für die Umkehrung. Bei höheren Ableitungen das Pattern aus §5.1 zweimal anwenden (Verallgemeinerte Kettenregel plus Produktregel plus Schwarz). Bei PDE-Aufgaben passende Substitution wählen (charakteristische Variablen $u = x+ct$, $v = x-ct$ für hyperbolische PDEs wie die Wellengleichung, Polar $\rho, \varphi$ für radial-symmetrische Probleme), dann auf $\tilde{f}$-Gleichung reduzieren und gegebenenfalls IV.2 §5.3 für die Lösungsstruktur einsetzen.