3. Magnetisches Feld

Magnetismus, Induktion, Wechselstrom

Magnetisches Feld

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Lorentzkraft:
F = q(v × B)
[F] = N

Magnetische Flussdichte:
[B] = T = V · sm² = Wbm²

Kreisbahn geladener Teilchen:
r = mvqB ω = qBm T = 2πmqB

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Rechte-Hand-Regel & Lorentzkraft

Rechte-Hand-Regel: Daumen = v, Zeigefinger = B, Mittelfinger = F (für positive Ladung).

Lorentzkraft steht immer senkrecht auf v und B → verrichtet keine Arbeit!
• |F| = qvB sin α (α = Winkel zwischen v und B)
• v ∥ B → F = 0 (keine Ablenkung)
• v ⊥ B → maximale Kraft, Kreisbahn

Kreisbahn: Zentripetalkraft = Lorentzkraft
mv²/r = qvB → r = mv/(qB)
Zyklotronfrequenz: ω = qB/m (unabhängig von v!)

Magnetfeld vs Elektrisches Feld

E-Feld: F = qE — Kraft parallel zum Feld, beschleunigt Ladungen
B-Feld: F = qv×B — Kraft senkrecht zu v und B, lenkt ab ohne zu beschleunigen

Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen (keine magnetischen Monopole!):
div B = 0 (2. Maxwell-Gleichung)

Feldgrössen H und B

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Zusammenhang H und B:
B = μ₀μ_rH
μ₀ = 4π×10⁻⁷ H/m

Kraft auf stromdurchflossenen Leiter:
F = IL × B

Drehmoment auf Leiterschleife:
τ = m × B
m = NIA
(magnetisches Dipolmoment)

Lorentzkraft (Betrag):
|F| = BIL sin α
α = Winkel zwischen L und B

Hall-Effekt:
U_H = IBned
n = Ladungsträgerdichte,
e = Elementarladung,
d = Probendicke

Kreisbahn & Massenspektrometer:
r = mvqB ω = qBm
T = 2πmqB

Magnetischer Fluss:
Φ = ∫ B · dA
[Φ] = Wb = Vs = T·m²

Homogenes Feld:
Φ_m = B · A · cos β
β = Winkel zwischen B und A

Hall-Koeffizient:
R_H = 1ne
Geschwindigkeitsfilter: v = EB

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: H vs B

H = magnetische Feldstärke — hängt nur von den freien Strömen ab
B = magnetische Flussdichte — berücksichtigt auch das Material

B = μ₀μ_rH (analog zu D = ε₀ε_rE)

Hall-Effekt: U_H = IBned — Messung von B über Querspannung

Kraft auf Leiter & Drehmoment

Gerader Leiter: F = BIL sin α
Leiterschleife: τ = NIAB sin θ

Anwendung: Elektromotor — Drehmoment auf Spule im B-Feld
Das magnetische Moment m = NIA ist die Schlüsselgrösse.

Durchflutungsgesetz

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Durchflutungsgesetz (Ampère):
∮ H · dℓ = Θ
Θ = Durchflutung = Summe aller eingeschlossenen Ströme
• Einzelner Leiter: Θ = I
• Spule mit N Windungen: Θ = N · I

Gerader Leiter (ein Draht, Θ = I):
H(r) = I2πr ⇒ B(r) = μ₀I2πr

Lange Spule (Solenoid) (N Windungen, Θ = NI):
B = μ₀n · I = μ₀ · N · Iℓ
n = N/ℓ (Windungsdichte, ℓ = Spulenlänge)

Ringspule (Toroid) (N Windungen, Θ = NI):
B(r) = μ₀ · N · I2πr
r_i < r < r_a B = 0 ausserhalb

H-Feld explizit:
Gerader Leiter: H(r) = I2πr
Solenoid: H = NIℓ = n·I
(H = 0 aussen)

Feldstärke vs. Flussdichte:
H = Bμ₀μ_r
[H] = Am [B] = T = Vsm²

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Durchflutungsgesetz anwenden

Rezept (analog zu Gauss für E-Feld):
1. Symmetrie erkennen (Draht / Toroid / Solenoid)
2. Passenden Ampère-Weg wählen (Kreis um Draht, Rechteck durch Spule)
3. ∮H·dl = I_eingeschl. aufstellen
4. Nach H bzw. B auflösen

Gerader Draht: B = μ₀I/(2πr) — fällt mit 1/r
Solenoid: B = μ₀n·I — homogen im Inneren!
Toroid: B(r) = μ₀NI/(2πr) — nur im Ring

Maxwell-Gleichung

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Faraday (Induktionsgesetz):
∮ E · dl = −dΦ_Bdt

Ampère-Maxwell:
∮ H · dl = I + dΦ_Ddt

Differentialform:
rot E = −∂B∂t rot H = J + ∂D∂t

Alle 4 Maxwell-Gleichungen (integral):
∮ D · dA = Q ∮ B · dA = 0
∮ E · dl = −dΦ_Bdt
∮ H · dl = I + dΦ_Ddt

Verschiebungsstrom:
I_V = dΦ_Ddt = ε₀dΦ_Edt

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Alle 4 Maxwell-Gleichungen

1. div D = ρ (Gauss für E)
2. div B = 0 (keine magn. Monopole)
3. rot E = −∂B/∂t (Faraday)
4. rot H = J + ∂D/∂t (Ampère-Maxwell)

Verschiebungsstrom: ∂D/∂t = ε₀∂E/∂t
→ Maxwell ergänzte diesen Term, damit die Kontinuitätsgleichung erfüllt ist (z.B. im Kondensator fliesst kein Leitungsstrom, aber ∂D/∂t ≠ 0).

Biot-Savart Gesetz

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Biot-Savart Grundgesetz:
dB = μ₀I4π · dl × r̂r²

Gerader Draht (endlich):
B = μ₀I4πd(sin α₂ − sin α₁)

Kreisring auf der Achse:
B(z) = μ₀IR²2(R² + z²)^3/2

Unendlich langer Draht:
B = μ₀I2πd
(α₁ → −π/2, α₂ → π/2)

Kreisring im Zentrum (z = 0):
B(0) = μ₀I2R
(N Windungen: B = μ₀NI2R)

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Biot-Savart vs Durchflutungsgesetz

Durchflutungsgesetz (Ampère): Einfach bei hoher Symmetrie (Draht, Solenoid, Toroid)
Biot-Savart: Für beliebige Leitergeometrien (endlicher Draht, Ring, Helmholtz-Spulen)

Unendlich langer Draht: α₁ → −π/2, α₂ → π/2
→ sin(π/2) − sin(−π/2) = 2
→ B = μ₀I/(2πd) — gleich wie Durchflutungsgesetz!

Kreisring auf Achse: B(z) = μ₀IR²2(R²+z²)^3/2

Induktion

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Induktionsgesetz (Faraday):
EMK = −dΦdt

Magnetischer Fluss:
Φ = ∫ B · dA

Lenz’sche Regel:
Induzierter Strom wirkt der Ursache entgegen
→ Daher das Minuszeichen in EMK = −dΦ/dt

Induzierte Spannung (N Windungen):
U_ind = −NdΦdt

Flächenänderung bei konstantem B:
EMK = −B · dAdt EMK = −Blv
(bewegter Leiter)

Rotierende Spule im B-Feld:
EMK = NBAω · sin(ωt)

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Induktion

Φ kann sich ändern durch:
1. B ändert sich (dB/dt ≠ 0)
2. Fläche A ändert sich (dA/dt ≠ 0)
3. Winkel zwischen B und A ändert sich

Lenz: Der induzierte Strom erzeugt ein B-Feld, das der Änderung von Φ entgegenwirkt.
• Φ nimmt zu → I_ind erzeugt Gegen-B
• Φ nimmt ab → I_ind verstärkt B

Ruhend vs. Bewegt

Ruhende Spule, änderndes B: EMK = −dΦ/dt direkt
Bewegte Spule, konstantes B: EMK entsteht durch Lorentzkraft auf bewegte Ladungen

Beide Fälle liefern das gleiche Ergebnis — Relativitätsprinzip!

Selbstinduktion

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Definition Induktivität:
L = NΦI [L] = H = VsA

Selbstinduzierte Spannung:
U_L = −L · dIdt

Lange Spule:
L = μ₀n²Aℓ = μ₀N²Aℓ

Energie in der Spule:
W = 12LI²

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Selbstinduktion

Spule widersteht Stromänderungen!
• Strom steigt → U_L bremst (negativ)
• Strom sinkt → U_L treibt weiter (positiv)

Analogie: Induktivität L ↔ Masse m (Trägheit)
U_L = −L dI/dt ↔ F = ma = m dv/dt

Lange Spule: L = μ₀N²A/ℓ
→ L steigt quadratisch mit N!

Gegeninduktivität

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Induzierte Spannung (Kopplung):
ε₂ = −M · dI₁dt

Gegeninduktivität:
M = k√(L₁L₂)
k = Kopplungsfaktor (0 ≤ k ≤ 1)
ε₂₁ = −M · dI₁dt ε₁₂ = −M · dI₂dt

Idealer Transformator:
U₂U₁ = N₂N₁ I₁I₂ = N₂N₁ P₁ = P₂

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Gegeninduktivität & Transformator

M = Gegeninduktivität — beschreibt die Kopplung zweier Spulen
M = k√(L₁L₂) (k = Kopplungsfaktor, 0 ≤ k ≤ 1)

Idealer Transformator:
• U₂/U₁ = N₂/N₁ (Spannungsübersetzung)
• I₂/I₁ = N₁/N₂ (Stromübersetzung, umgekehrt!)
• P₁ = P₂ (Leistungserhaltung)

Achtung: Nur für Wechselstrom! Gleichstrom wird nicht transformiert.

Schaltkreis mit Spule

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Zeitkonstante:
τ = LR

Einschalten (RL-Kreis):
I(t) = I₀(1 − e^−t/τ)

Ausschalten (RL-Kreis):
I(t) = I₀ · e^−t/τ

DGL:
dIdt = −RL I(t)
(analog: dIdt = −1τ I)

Spannung an Spule:
U_L = −LdIdt U_R = RI

Kirchhoff (Maschenregel):
U₀ = RI + LdIdt

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: RL-Schaltkreis

Einschalten: I steigt von 0 auf I₀ = U/R
I(t) = I₀(1 − e^−t/τ) mit τ = L/R

Ausschalten: I fällt von I₀ auf 0
I(t) = I₀e^−t/τ

Analogie RC ↔ RL:
• RC: τ = RC RL: τ = L/R
• RC: U_C langsam RL: I_L langsam
• Kondensator speichert U Spule speichert I

Energiedichte B-Feld

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Energie in Spule:
W = 12LI²

Energiedichte des B-Feldes:
w = B²2μ₀ [w] = J/m³

Serieschaltung Spulen:
L_ges = L₁ + L₂ + L₃ + …

Parallelschaltung Spulen:
1L_ges = 1L₁ + 1L₂ + 1L₃ + …

Gesamtenergie:
W = ∫ B²2μ₀ dV

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Magnetische Energie

Analogie E-Feld ↔ B-Feld:
• E-Feld: w = ½ε₀E² B-Feld: w = B²/(2μ₀)
• Kondensator: W = ½CU² Spule: W = ½LI²

Serieschaltung Spulen: L_tot = ∑L_i (wie Widerstände!)
Parallelschaltung: 1/L_tot = ∑1/L_i

Achtung: Gegeninduktivität M berücksichtigen, wenn Spulen gekoppelt!

Erw. Induktionsgesetz

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Allgemeines Induktionsgesetz:
EMK = −dΦdt
(allgemein, auch für bewegte Ränder)

Bewegter Leiter im B-Feld:
EMK = Bvl

Ruhende Spule, änderndes B:
EMK = −dΦdt = −ddt∫B·dA

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Bewegter Leiter

Stab der Länge l bewegt sich mit Geschwindigkeit v senkrecht zu B:
EMK = Bvl

Herleitung: Lorentzkraft auf Ladung im Stab:
F = qvB → E_ind = vB → U = E_ind · l = Bvl

Alternativ: Φ = B · A = B · l · x
dΦ/dt = Bl · dx/dt = Blv → EMK = −dΦ/dt = −Blv

Beide Methoden liefern das gleiche Ergebnis!

Materie im mag. Feld

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Magnetisierung:
B = μ₀(H + M) = μ₀μ_rH

Materialklassifikation:

Typ	μ_r	χ_m
diamagnetisch	μ_r ≲ 1	χ_m < 0
paramagnetisch	μ_r ≳ 1	χ_m > 0 (klein)
ferromagnetisch	μ_r >> 1	χ_m >> 0

Suszeptibilität:
χ_m = μ_r − 1 M = χ_mH

Typische μ_r-Werte:
Diamagnetisch:
μ_r < 1 (z.B. Cu: 0.999990)
Paramagnetisch:
μ_r > 1 (z.B. Al: 1.000022)
Ferromagnetisch:
μ_r ≫ 1 (z.B. Fe: 5000)

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Magnetische Materialien

Diamagnetisch (χ_m < 0): Schwächt B leicht ab. Alle Stoffe! (Cu, Au, Bi)
Paramagnetisch (χ_m > 0, klein): Verstärkt B leicht. (Al, Pt, O₂)
Ferromagnetisch (χ_m >> 0): Verstärkt B stark! (Fe, Co, Ni)

Analogie zum E-Feld:
D = ε₀ε_rE ↔ B = μ₀μ_rH
χ_e = ε_r−1 ↔ χ_m = μ_r−1

Hysterese bei Ferromagneten: B(H)-Kurve ist nicht eindeutig → Remanenz, Koerzitivfeldstärke

Wechselstrom

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Wirkleistung:
P = U · I · cos φ

Widerstände im Wechselstromkreis:
Ohm: Z_R = R (Strom in Phase)
Spule: X_L = ωL (Strom eilt nach)
Kondensator: X_C = 1ωC (Strom eilt vor)

Wechselspannung:
u(t) = û · sin(ωt) i(t) = î · sin(ωt + φ)

Effektivwerte:
U_eff = û√2 I_eff = î√2

Spannungen an Bauteilen:
u_R = Ri u_L = Ldidt u_C = 1C∫i dt

Phasenverschiebung:
R: φ = 0 (U, I in Phase)
L: I eilt U um π/2 nach
C: I eilt U um π/2 vor

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Wechselstrom-Basics

Effektivwerte:
U_eff = û/√2 I_eff = î/√2

Phasenverschiebung merken:
• R: U und I in Phase (φ = 0)
• L: Spannung eilt Strom vor (φ = +90°) — «Spule: Strom spät»
• C: Strom eilt Spannung vor (φ = −90°) — «Kondensator: Strom früh»

Merkspruch: «Bei Induktivitäten die Ströme sich verspäten»

Komplexe Wechselstromrechnung

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Impedanz:
Z = R + j(X_L − X_C)

Betrag der Impedanz:
|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²)

Resonanz (RLC-Serienschwingkreis):
ω₀ = 1√(LC) q(t) = q₀ cos(ω₀t)

Komplexe Widerstände:
Z_R = R Z_L = jωL Z_C = 1jωC = −jωC

Phasoren:
U = û · e^jωt I = î · e^j(ωt−φ)

Leistung:
P = UI cos φ (Wirkleistung)
Q = UI sin φ (Blindleistung)
S = UI (Scheinleistung)

Schaltungen:
Serie: Z_ges = Z₁ + Z₂ + …
Parallel: 1Z_ges = 1Z₁ + 1Z₂ + …

Phasenwinkel:
tan φ = X_L − X_CR

LC-Schwingkreis Energie:
W = 12LI² + Q²2C = const

Unterabschnitt:

Geschwindigkeit 1.0

Prüfungstipp: Komplexe Wechselstromrechnung

Grundidee: Sinusschwingungen → komplexe Zeiger (Phasoren)
u(t) = û sin(ωt + φ) ↔ U = û · e^jφ

Impedanz-Dreieck:
• Realteil = R (Wirkwiderstand)
• Imaginärteil = X_L−X_C (Blindwiderstand)
• |Z| = Hypotenuse, tan φ = (X_L−X_C)/R

Resonanz: X_L = X_C → ωL = 1/(ωC)
→ ω₀ = 1/√(LC) |Z|_min = R
→ Maximaler Strom bei Resonanzfrequenz!

Leistung im Wechselstromkreis

Wirkleistung: P = UI cos φ [P] = W
Blindleistung: Q = UI sin φ [Q] = var
Scheinleistung: S = UI [S] = VA

S² = P² + Q²
cos φ = Leistungsfaktor (möglichst nahe 1 erwünscht)

Aufgaben

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3.1 Magnetisches Feld

Section 1 | Physik — Magnetisches Feld

3. Magnetisches Feld

Magnetisches Feld

Feldgrössen H und B

Durchflutungsgesetz

Maxwell-Gleichung

Biot-Savart Gesetz

Induktion

Selbstinduktion

Gegeninduktivität

Schaltkreis mit Spule

Energiedichte B-Feld

Erw. Induktionsgesetz

Materie im mag. Feld

Wechselstrom

Komplexe Wechselstromrechnung

Aufgaben

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Field Line Settings

Bedienung