2. Elektrisches Feld

Felder, Potential, Kondensatoren, Energie, Fluss

E-Felder & Gauss

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Kraft auf ein Teilchen:
F = q · E

Elektrische Feldstärke:
E = Fq = Ud ê
E_pot = Q · q4πε₀r

Satz von Gauss:
Φ = ∮_A E · dA = Qε₀
D = ε₀E [D] = C/m²

Zusammenhang E ↔ U:
U = ∫_a^b E(s) ds
Falls E konstant: U = E · l

Kugel (nichtleitend, R):
aussen: E(r) = Q4πε₀r² (r > R)
innen: E(r) = Qr4πε₀R³ (r < R)

Kugel (leitend, R):
aussen: E(r) = Q4πε₀r² (r > R)
innen: E(r) = 0 (r < R)

Draht: E(r) = λ2πε₀r
Platte: E = σ2ε₀

Unterabschnitt:

Prüfungstipp: E-Feld bestimmen mit Gauss

Rezept:
1. Symmetrie erkennen (Kugel / Zylinder / Platte)
2. Passende Gauss-Fläche wählen (gleiche Symmetrie!)
3. E · A_Gauss = Q_eingeschl./ε₀
4. Nach E auflösen

Wichtig: Feldlinien gehen von + nach −, stehen senkrecht zur Oberfläche, und schneiden sich nie!

Vergleich: Nichtleitend vs Leitend

Nichtleitend: Ladung gleichmässig im Volumen verteilt → E steigt linear innen
Leitend: Ladung NUR auf der Oberfläche → E = 0 innen
Aussen: identisches 1/r²-Verhalten (sieht von aussen gleich aus!)

Elektrisches Potential

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Potentialdifferenz (Spannung):
U_P₀P = φ(P) − φ(P₀) = −∫_P₀^P E · ds
= −∫_P₀^P E · cos α ds

Gradient:
E = −∇φ = −grad φ
Komponentenform: E_i = −∂φ∂x_i für i = 1, 2, 3

Ringintegral (konservatives Feld):
∮ E · ds = 0
Das Ringintegral der elektrischen Feldstärke ist immer 0!

Unterabschnitt:

Prüfungstipp: Potential vs Spannung

φ(P) = Potential an einem Punkt (relativ zum Bezugspunkt P₀)
U = φ(A) − φ(B) = Spannung = Potentialdifferenz

Konvention: P₀ im Unendlichen, dort gilt φ = 0.
Nur für stationäre (zeitunabhängige) Felder definiert!

E zeigt immer bergab im Potentialgebirge: E = −∇φ

Konservatives Feld

∮E·ds = 0 bedeutet:
• Arbeit hängt NICHT vom Weg ab, nur von Start & Ziel
• Ein Potential φ existiert (E = −∇φ)
• Auf geschlossener Bahn wird netto keine Arbeit verrichtet
Gilt nur für elektrostatische Felder, NICHT für induzierte!

Coulomb-Potential

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Punktladung:
φ(r) = 14πε₀ · Qr
Nullpunkt im Unendlichen:
φ(∞) = 0

Räumliche Ladungsverteilung:
φ(P) = 14πε₀ · ∫ ρ dV|r − r′|

Elektrisches Dipolmoment:
p = Q · l

Unterabschnitt:

Prüfungstipp: Coulomb-Potential

φ(r) = kQ/r — Potential fällt mit 1/r (nicht 1/r²!)
E(r) = kQ/r² — Feldstärke fällt mit 1/r²

Zusammenhang: E = −dφ/dr
d/dr(1/r) = −1/r² → passt!

Dipol: Im Fernfeld fällt φ ~ 1/r² und E ~ 1/r³
(schneller als Punktladung, weil sich + und − teilweise aufheben)

Kondensatoren

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Definition:
C = QU
[C] = CV = Farad = F

Kirchhoff für Kondensatoren:
Knotenregel: ∑_k Q_k = 0
Maschenregel: ∑_i U_i = ∑_k Q_kC_k

Serieschaltung: 1C_tot = ∑_i 1C_i

Parallelschaltung: C_tot = ∑_i C_i

Plattenkondensator: C = Aε₀d U = σdε₀
E = σε₀ = Ud

Zylinderkondensator: C = 2πε₀Lln(r_a/r_i)

Kugelkondensator: C = 4πε₀r_ar_ir_a − r_i

Energie & Energiedichte:
E_el = 12CU² = 12QU = Q²2C w = ε₀2|E|²

Unterabschnitt:

Prüfungstipp: Serie vs Parallel

Serie: Gleiche Ladung Q auf allen Kondensatoren, Spannungen addieren sich.
1/C_tot = ∑1/C_i → C_tot wird kleiner als kleinster Einzelwert!

Parallel: Gleiche Spannung U, Ladungen addieren sich.
C_tot = ∑C_i → C_tot wird grösser

Achtung: Genau umgekehrt wie bei Widerständen!

Kondensator-Geometrien

Platte: C = Aε₀/d — einfachster Fall, homogenes E-Feld
Zylinder: C = 2πε₀L/ln(r_a/r_i) — Koaxialkabel!
Kugel: C = 4πε₀r_ar_i/(r_a−r_i) — selten in Praxis

Alle abgeleitet über: C = Q/U und U = ∫E dr

Ladevorgang

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Zeitkonstante:
τ = R · C I₀ = U₀ / R

Laden:
U_C(t) = U₀(1 − e^−t/τ) Q(t) = CU₀(1 − e^−t/τ)
Strom: I = I₀ · e^−t/τ

DGL für Ladestrom:
dI(t)dt = −1RC I(t) = −1τ I(t)

Gespeicherte Arbeit:
W = ∫ U dq = 12CU²
w = ε₀2E² [w] = J/m³

Unterabschnitt:

Prüfungstipp: RC-Schaltkreis

Bei t = τ: I auf 37% von I₀, U_C auf 63% von U₀
Bei t = 3τ: ~95% geladen
Bei t = 5τ: ~99% geladen → «voll geladen»

Entladen: Gleiche Formeln, aber U_C = U₀ · e^−t/τ
Laden: U_C = U₀(1 − e^−t/τ)

Dielektrikum

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Dielektrizitätskonstante:
ε_r = E₀E C = ε_r · C₀
Q = ε_r · Q₀ (bei U = const)

Verschiebungsdichte:
D = ε_r · ε₀ · E
[D] = Cm²

Materialklassifikation:

Typ	ε_r	Abhängigkeit
dielektrisch	ε > 1	temp./feldunabh.
paraelektrisch	ε > 1	temp.abh.
ferroelektrisch	ε >> 1	temp. und feldabh.

Unterabschnitt:

Prüfungstipp: Dielektrikum

Dielektrikum rein bei isoliertem Kondensator (Q = const):
• E sinkt um Faktor ε_r
• U sinkt um Faktor ε_r
• C steigt um Faktor ε_r

Dielektrikum rein bei angeschlossener Batterie (U = const):
• C steigt um Faktor ε_r
• Q steigt um Faktor ε_r
• E bleibt gleich (weil U = const und d gleich)

Energie:
• Isoliert: W = Q²/(2C) → sinkt um Faktor ε_r
• Batterie: W = ½CU² → steigt um Faktor ε_r

Kraft, Arbeit & Energie

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Coulomb-Kraft:
F = 14πε₀ Q₁Q₂r² r̂

Arbeit:
W = U · Q
dW = U · dQ = U · I · dt
[W] = V·As = Ws

Kinetik im E-Feld:
W_el = E_kin → e · U = 12m_ev²

Momentanleistung:
P = dWdt = U · I [P] = W

Energie des E-Feldes:
W = 12ε₀AdU² = 12CU²

Energiedichte: ρ_el = ε₀2E²

Unterabschnitt:

Prüfungstipp: Energieerhaltung im E-Feld

Elektronenbeschleunigung: e·U = ½m_ev²
→ v = √(2eU/m_e)

Typische Aufgabe: Elektron wird durch U = 100V beschleunigt. Wie schnell?
v = √(2 · 1.6×10⁻¹⁹ · 100 / 9.11×10⁻³¹) ≈ 5.9 × 10⁶ m/s

Energieformeln — Zusammenfassung

• W = U·Q — Arbeit = Spannung × Ladung
• P = U·I — Leistung = Spannung × Strom
• W = ½CU² — im Kondensator gespeichert
• w = ½ε₀E² — Energiedichte im E-Feld
• W_AB = q(φ_A − φ_B) — Arbeit von A nach B

Elektrischer Fluss

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Definition:
Φ_E = ∮ E(r) · dA
homogen: Φ = E · A · cos φ
A = Flächennormale, φ = Zwischenwinkel

Satz von Gauss:
∮ E · dA
= 1ε₀ ∫ ρ dV
= Qε₀

Maxwell-Gleichung (Divergenzform):
div E = ρε₀ div D = ρ

∮ E · dA = ∫ div E dV

Analogie Analysis II:
Φ
= ∯_∂B v · n̂ dO
= ∭_B div v dV

Unterabschnitt:

Prüfungstipp: Elektrischer Fluss

Fluss Φ = «Anzahl Feldlinien durch Fläche»

• Fläche ⊥ E: maximaler Fluss (Φ = EA)
• Fläche ∥ E: kein Fluss (Φ = 0)
• Allgemein: Φ = EA cos φ

Gauss: Gesamtfluss durch geschlossene Fläche = Q_eingeschl./ε₀
Unabhängig von der Form der Gauss-Fläche!

Analogie zur Analysis II

Divergenzsatz (Gauss-Ostrogradsky):
∯_∂B v·n̂ dO = ∭_B div v dV

In der Physik:
• v = E (elektrisches Feld)
• div E = ρ/ε₀ (Ladungsdichte als Quelle)
• div E > 0: Quelle (positive Ladung)
• div E < 0: Senke (negative Ladung)
• div E = 0: quellenfrei

Aufgaben

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2.1 Elektrische Felder & Gauss

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